1、. 2012011 1 年年华约自主招生华约自主招生数学试题数学试题 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设复数 z 满足1z ?且 15 2 z z ?，则z ?（ ） A、 4 5 B、 3 4 C、 2 3 D、 1 2 2. 在正四棱锥 P-ABCD 中，M，N 分别为 PA，PB 的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为2则 异面直线 DM 与 AN 所成交角的余弦值为（ ） A、 1 3 B、 1 6 C、 1 8 D、 1 12 3. 过点?1,1?的直线 l 与曲线 32 21yxxx?相切，且?1,1?不
2、是切点，则直线 l 的斜率是（ ） A、2 B、1 C、1? D、2? 4. 若 2 3 AB ? ?，则 22 coscosAB?的最小值和最大值分别为（ ） A、 3 3 1, 22 ? B、 1 3 , 2 2 C、 33 1,1 22 ? D、 12 ,1 22 ? 5. 如图， 1 O和 2 O外切于点 C， 1 O， 2 O又都和O 内切， 切点分别为 A，B,AOBACB?，则（ ） A、cossin0 2 ? ? B、sincos0 2 ? ? C、sin2sin0? D、sin2sin0? 6. 已知异面直线, a b所成60角，A 为空间中一点，则过 A 与, a b都 成
3、45角的平面（ ） A、有且只有一个 B、有且只有两个 C、有且只有三个 D、有且只有四个 7. 已知向量?0,1?a， 31 , 22 ? ? ? ? ? ? b， 31 , 22 ? ? ? ? ? c，?1,1xyz?abc则 222 xyz?的最小值为 （ ） A、1 B、 4 3 C、 3 2 D、2 8. AB 为过抛物线 2 4yx?焦点 F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA?，C 为抛物线准线与 x 轴的交点， B A O1 O O2 C . 则ACB?的正切值为（ ） A、2 2 B、 4 2 5 C、 4 2 3 D、 2 2 3 9. 如图， 已知ABC的面积为 2，
4、 D， E 分别为边 AB， 边 AC 上的点， F 为线段 DE 上一点，设, ADAEDF xyz ABACDE ?，且1yzx? ?， 则BDF面积的最大值为（ ） A、 8 27 B、 10 27 C、 14 27 D、 16 27 10. 将一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形，这些对角线在正 11 边形内两两不相交，则（ ） A、存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B、存在某种分法，所分出的三角形恰有 2 个是锐角三角形 C、存在某种分法，所分出的三角形至少有 3 个锐角三角形 D、任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 二、解答题：解答应写出文字说
5、明，证明过程或演算步骤 11. （本小题满分 14 分） 已知ABC不是直角三角形 （）证明：tantantantantantanABCABC?； （）若 tantan 3tan1 tan BC C A ? ? ?，且sin2 ,sin2 ,sin2ABC的倒数成等差数列，求cos 2 AC? 的值 12. （本小题满分 14 分） 已知圆柱形水杯质量为 a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放 置） 质量为 b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处 （）若2ba?，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （）水杯内装多少克
6、水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 13. （本小题满分 14 分） 已知函数 2 ( ) x f x axb ? ? ，(1)1f?， 12 23 f ? ? ? ? ，令 1 1 2 x ?， 1 () nn xf x ? ? （）求数列 n x的通项公式； （）证明： 1 2 1 2 n x xx e ? 14. （本小题满分 14 分） 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab ?（0,0ab?） ， 1 F， 2 F分别为 C 的左、右焦点，P 为 C 右支上一点，且使 12 3 FPF ? ?，又 12 FPF的面积为 2 3 3a （）求 C 的离心率 e； B A C D E F . （）设 A 为 C 的左顶点，Q 为第一象限内 C 上的任意一点，问是否存在常数(0)? ?，使得 22 QF AQAF? ?恒成立若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由 15. （本小题满分 14 分） 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次，以 n p表示未出现连续 3 次正面的概率 （）求 123 ,p pp和 4 p； （）探究数列 n p的递推公式，并给出证明； （）讨论数列 n p的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义
