1、. 20201010 年年清华大学清华大学自主招生自主招生数学试题数学试题 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设复数 2 1 ai w i ? ? ? ? ? ，其中 a 为实数.若 w 的实部为 2，则 w 的虚部为（ ） A、 3 2 ? B、 1 2 ? C、 1 2 D、 3 2 2. 设向量 a，b 满足1ab?，a bm?，则atb?（Rt?）的最小值为（ ） A、2 B、 2 1m? C、1 D、 2 1m? 3. 如果平面?，?，直线 m，n，点 A，B 满足：?，m?，n?，A?，B?，且 AB 与?
2、所成的角为 4 ? ，mAB?，n 与 AB 所成的角为 3 ? ，那么 m 与 n 所成角的大小为（ ） A、 3 ? B、 4 ? C、 6 ? D、 8 ? 4. 在四棱锥 V-ABCD 中， 1 B， 1 D分别为侧棱 VB， VD 的中点， 则四面体 11 ABCD的体积与四棱锥 V-ABCD 的体积之比为（ ） A、1:6 B、1:5 C、1:4 D、1:3 5. 在ABC中，三边长 a，b，c 满足3acb?，则tantan 22 AC 的值为（ ） A、 1 5 B、 1 4 C、 1 2 D、 2 3 6. 如图，ABC的两条高线 AD，BE 交于 H，其外接圆圆心为 O，
3、过 O 作 OF 垂直 BC 于 F， OH 与 AF 相交于 G 则OFG与GAH 面积之比为（ ） A、1:4 B、1:3 C、2 :5 D、1:2 7. 设? ? ax f xe?（0a ?）.过点?,0P a且平行于 y 轴的直线与曲线 C：? ?yf x?的交点为 Q，曲线 C 过点 Q 的切线交 x 轴于点 R，则PQR的面积的最小值是（ ） A、1 B、 2 2 e C、 2 e D、 2 4 e A E C O G H B D F . 8. 设双曲线 1 C： 22 2 4 xy k a ?（2a ?，0k ?） ，椭圆 2 C： 22 2 1 4 xy a ?.若 2 C的短
4、轴长与 1 C的实轴长的比 值等于 2 C的离心率，则 1 C在 2 C的一条准线上截得线段的长为（ ） A、2 2k? B、2 C、4 4k? D、4 9. 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 n 种颜色之一，使得以正六边形的任何 3 个顶点作为顶点的 三角形有 3 种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的 3 色组合，则 n 的最小值为（ ） A、6 B、7 C、8 D、9 10. 设定点A、 B、 C、 D是以O点为中心的正四面体的顶点， 用?表示空间以直线OA为轴满足条件( )BC? 的旋转，用?表示空间关于 OCD 所在平面的镜面反射，设 l 为过 AB 中点与 CD 中点的直线
5、，用?表 示空间以 l 为轴的 180旋转设? ?表示变换的复合，先作?，再作?则?可以表示为（ ） A、? ? ? ? ? B、? ? ? ? ? ? C、? ? ? ? ? D、? ? ? ? ? ? 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 11. （本题满分 14 分） 在ABC中，已知 2 2sincos21 2 AB C ? ?，外接圆半径2R? （1）求角 C 的大小； （2）求ABC面积的最大值 12. （本小题满分 14 分） 设 A，B，C，D 为抛物线 2 4xy?上不同的四点，A，D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛 物线在点 D 处的切线 l设 D
6、 到直线 AB，直线 AC 的距离分别为 1 d， 2 d，已知 12 2ddAD? （1）判断ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由： （2）若ABC的面积为 240，求点 A 的坐标及直线 BC 的方程 13. （本小题满分 14 分） （1）正四棱锥的体积 2 3 V ?，求正四棱锥的表面积的最小值； （2）一般地，设正 n 棱锥的体积 V 为定值，试给出不依赖于 n 的一个充分必要条件，使得正 n 棱锥 的表面积取得最小值 14. （本小题满分 14 分） 假定亲本总体中三种基因型式：AA，Aa，aa 的比例为:2 :uv w（0u ?，0v ?，0w
7、?，21uvw?） 且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个 （1）求子一代中，三种基因型式的比例； （2）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由 15. （本小题满分 14 分） . 设函数( ) 1 xm f x x ? ? ? ，且存在函数( )statb?（ 1 2 t ?，0a ?） ，满足 2121 () ts f ts ? ? （1）证明：存在函数( )tscsd?（0s ?） ，满足 2121 () st f st ? ?； （2）设 1 3x ?， 1 () nn xf x ? ?，1,2,n ?.证明： 1 1 2 3 n n x ? ?
