1、. 2012014 4 年年北约自主招生北约自主招生数学数学答案答案 1. B 解析：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为 r， 2 6 ,6 6 r r ? ?， 2 2, 1 6 r r r ? ?， 因此67S? 2. C 解析： 10! 2100 2 3! 3! 4! ? ? ? ? 3. A 解析：设? ? ? ?,11,47f xaxb ff?，因此? ?21f xx?，?20144027f? 4. D 解析： 2 440,0,1aaaa? ? 5. D 解析： 利用均值不等式， 易知 ? 1 12,0 4 xyxyxy?， 因此 1117 4 44 xy xy ? 6. B 解析：
2、? ?00f?，则有arctan2C ? ?，证明只需利用arctanarctanarctan 1 AB AB AB ? ? ? 即 可 7. 解析： （反证） 设tan3a? ?为有理数， 利用 3 2 3tantan tan3 1 3tan ? ? ? ? ? ? ， 易知tan9 ,tan27?均 是有理数，则? tan27tan3 tan30tan 273 1tan27 tan3 ? ? ? ? ? 为有理数，这与事实矛盾，因此 tan3?为无理数 8. 解析：设可知? ? ? ? ? 22 12 3,f xg xa xxf xg xb xx?，则 ? ? ? ? ? ? 2222 1
3、212 3 , 44 a xxb xxa xxb xx f xg x ? ? 因为? ?0f x ?有两个不同实根，因此, a b异号，且 12 xx?，所以? ?0g x ?没有实根 . 9. 解析： （反证）假设可以同时存在，不妨设 333 716 30,3,3,6, ,36 23 ijk aaai j k?，且 , ,i j k互不相等 将上三式作差相减， 则有 711 3,3 3236 jikj dd ? ?， 所以 21 11 ji kj ? ? ? ， 因此11,21kjji? ?，32ki? ?，这与6, ,36i j k?矛盾 10. 解析： （数学归纳法）当1,2n ?时显然成立； 假设当nk?时成立，即? ? ? ? 12 22221 k k xxx?， 当1nk?时， 不妨假设 1 1,1 kk xx ? ?， 则有? ? ? 11 22221 kkkk xxx x ? ?， 因此 ? ? ? ? ? 121 1211 1 2222 222221 21 kk kkk k xxxx xxxx x ? ? ? ? ? ? 证毕
