1、. 1.数与式数与式 1.2 分母有理化与分子有理化分母有理化与分子有理化 形如()0a a?的代数式叫做二次根式 根号下含有字母且不能够开得尽方的式子称为 无理根式 例如， 2 1a ?， 22 3aab?等都是无理根式， 而 2 ()aa?， 22 2xxyy?， 442222 2()aba bab?等仍是有理式 当无理根式出现在分式中时，根据解题的要求或实际变形的需要，常对分式进行有理化 处理分式的有理化有分母有理化和分子有理化两种，前者是初中生所熟知的，具体操作如 下：分母和分子都乘以分母的有理化因式1，从而化去分母中的根号（但分子中含根号） 这 里提及分母有理化完全是复习与过渡，到必
2、修 1“指数与指数幂的运算”一节，我们还会遇 到一些分母有理化的题目 而初中生对分子有理化却十分陌生，初中数学里似乎从未碰到过其实，它的操作与分 母有理化类似：分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而化去分子中的根号（但分母中含 根号） 分子有理化在高中数学教材中多次出现并有重要应用，大致有以下几处： （1）证明某些函数（如yx?）的单调性； （2）求某些函数（如11yxx? ?）的值域； （3）证明某些函数（如 2 2 11 11 xx y xx ? ? ? ， ? 2 ln1yxx?）的奇偶性； （4）判断某些数列的单调性； （5）比较大小与不等式证明； （6）椭圆和双曲线标准方程的推导；
3、（7）用定义法求某些函数（如yx?）的导数 课堂课堂例题例题 分母有理化分母有理化 例例 1 求值： 1111 1223322 23 ? ? 解解：原式122334892? ? 例例 2 已知 1 2 x ?， 2 3 y ?，求 xyxy xyxy ? ? ? 的值 1两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因 式例如3 a与a，36?与36?等一般地，a x与x，a xb?与a xb?， a xb y?与a xb y?互为有理化因式 . 解解：原式 ? 2212 4 4 23 8 3 12 23 xyxy xy xyxyxy ? ? ? ?
4、? ? 例例 3 已知 33 421a ?，那么 23 331 aaa ?_ 解解：观察所求值式子的特点，我们先算 33 11 421a ? ? ，这就需要分母有理化分母 的有理化因式是谁呢？再看特征，联想到立方差公式便可 ? ? 33 3 3 233 2333 3 112121 21 ( 2)2121( 2)21 21 a ? ? ? ? ? ? ，则 323 23 3311111 ( )3( )3( ) 1 1(1)11 aaaaaaa ? ? ? ? 注：此题也可直接对a进行变形 ? 2333 23333 333 21( 2)21 ( 2)21( 2)11 1212121 a ? ? ?
5、 ? ? ? ， 再得 3 1 21 a ?，这就是分子有理化由此可见两种变形方法并无本质区别，因为我们可以 取倒数使分子分母的位置颠倒 分子有理化分子有理化 例例 4 比较76?与65?的大小 解解： 题中所给皆为整式， 何来分式？又何谈分子有理化呢？其实， 我们可将76?看 作是 76 1 ? 并实施分子有理化这对比较大小有什么好处呢？且往下看 ? 7676 761 76 17676 ? ? ? ? ； 同理，有 1 65 65 ? ? 由76650?，得 11 7665 ? ? ，即7665? 注：一般地，对于1n ?，我们有11nnnn? ? 例例 5 比较37Paa? ?与25Qa?
6、（3a ? ?）的大小 . 解解： ? ? 7553PQaaaa? 22 0 7553aaaa ? ? ， 所以PQ? 注：此题将P与Q的大小关系转化为75aa?与53aa?的大小关系， 与例 1 并无本质区别，因为7665572 6?另外，此题结论也可 在均值不等式? 22 ,0 22 xyxy x y ? ?中令3xa?，7ya?证得这样的方法 未必讲给学生，但老师备课时却需要知道 例例 6 求式子22yxx?的最大值 解解：由 20 20 x x ? ? ? ? 得2x ? 4 22 22 yxx xx ? ? ，当2x ?时，分 母22xx?有最小值 2，此时y有最大值 2 注：题干中
7、用“式子”一词代替了“函数” ，解答中也避开了单调性的描述，相信初中 学生完全可以明白“当2x ?时，分母有最小值 2” 老师在讲解时可以“暗示”学生：y 是 x 的函数，2x?随着 x 的增大而增大 （增函数） ，2x?随着 x 的增大而增大 （增函数） 点 到为止，千万不要“口无遮拦” ，渲染过多 例例 7 已知0a ?，0b ?，求证： 2222 acbcab? 证明证明： ? ? 2222 2222 22222222 acbc abab acbc acbcacbc ? ? ? ? ? 22 ab abab ab ab ab ab ? ? ? ? 课后作业课后作业 1.化简 11 11 xxxx xxxx ? ? ? ? ? ? ? 2.设 1 84 3 x ? ? ，求 11 11 xx xx ? ? 的值 3.比较710?与314?的大小 . 4.试证：在? ? 265 n ?的小数表达式中，小数点后至少有连续 n 个零
