1、. 1.数与式数与式 1.4 解解高次高次方程方程 本节属于选讲内容高次方程在高考中遇到的比较少，即使遇到（可能会在集合、圆锥 曲线和导数章节的某些题目里遇到）也不过是 3 次的（方程） 我们本节课要解的高次方程 都是特殊（可因式分解）的方程，而一般的三次、四次方程虽有求根公式，但过于复杂，并 不实用；五次及五次以上的方程没有（显性的）求根公式 本节课所涉及的方程不局限于 3 次和 4 次， 主要是巩固因式分解， 而且向高难度的因式 分解挑战，算作一节习题课下面我们均在实数范围内解方程 课堂例题课堂例题 例例 1 解方程?1230xxx? 解解：由?1230xxx?，得1x ?或2x ?或3x
2、 ?，则原方程的实数根为 1， 2 和 3 注：本例是一个三次方程，但并不可怕，只要能写成乘积（等于 0）的形式，则问题迎 刃而解由此可见，解高次方程的关键是将一个高次多项式因式分解 例例 2 解方程 3 980xx? 解法解法 1：? 33 98881181xxxxxx xxx? ? 2 180xxx?， 解得1x ?或 133 2 x ? ? ?或 133 2 x ? ? ? 解法解法 2：? 332 981991191xxxxxxxx? ? 2 180xxx?，下同解法 1 解法解法 3：注意到 3 19 1 80? ? ?，得1x ?是原方程的根，则 3 98xx?含有因式1x? （因
3、式定理，不必证明，相信学生可以理解） ，下面运用多项式的除法 0 8x8 8x8 x2x x29x8 x3x2 x2x 8 x 1 x39x8 . 得到? 32 98180xxxxx?，下同解法 1 注：解法 1、2 用了因式分解中“拆项”的技巧，不易想到；解法 3 中的多项式除法要 重点介绍给学生先猜出一个特殊根（往往是1?，2?等） ，再用多项式除法计算出其余 的因式，操作简单，便于掌握 例例 3 解方程： （1） 32 254120xxx?； （2） 432 213150xxxx?； （3） 432 103550240xxxx? 解解 ： （ 1 ） 注 意 到 32 2 25 24 2
4、 120? ? ? ?， 得2x ?是 原 方 程 的 根 ， 则 32 25412xxx?含有因式2x?，下面运用多项式的除法 0 6x12 6x12 x22x x24x12 2x34x2 2x2x 6 x 2 2x35x24x12 得 到? ? 2 322 2541 22262230xxxxxxxx?， 则2x ?或 3 2 x ? ? （ 2 ） 注 意 到 432 2331 3331 50?， 得3x ?是 原 方 程 的 根 ， 则 432 21 31 5xxxx?含有因式3x?，下面运用多项式的除法 0 5x 15 2x4x313x2x 15 x 3 2x35x22x5 2x46x
5、3 5x313x2x 15 5x315x2 2x2x 15 2x26x 5x 15 . 得到? 43232 2131532525xxxxxxxx? ? 222 3215132510xx xxxxx ? ? ? ， 则3x ?或 5 2 x ? ? （3）观察知1x ?是原方程的根，运用多项式的除法 24x24 26x226x 26x250x24 9x39x2 9x335x250x24 x4x3 x39x226x 24 x 1 x410x335x250x24 24x24 0 得到? 43232 10355024192624xxxxxxxx? 观察知2x ?是方程 32 926240xxx?的根，
6、运用多项式的除法 0 x39x226x 24 x 2 x27x12 x32x2 7x226x 24 7x214x 12x 24 12x 24 得到? 322 926242712234xxxxxxxxx?，则原方程即 ?12340xxxx? ， 得1x ?或2x ?或3x ?或4x ? 例例 4 解方程： （1） 63 26270xx?； （2） 5432 10xxxxx? ? 解解： （1）? 2 633333 26272627127xxxxxx? . ? 22 113390xxxxxx?， 解得1x ?或3x ? ? 注：此题将 3 x看作整体，运用十字相乘法分解因式，是整体思想的体现 （2
7、） 5432 1xxxxx? ? ? 4242 11111xxxxxxxx? ? 2 2222 111110xxxxxxxx ? ? ? ? ? ? ，解得1x ? 或者 5432 1xxxxx? ? 322 11xxxxx? ? 32 11xxx? ? 22 1110xxxxx?，下同 例例 5 解方程 963 30xxx? ? 解解： 963 3xxx? ? ? 963 111xxx? ? ? ? 363333 11111xxxxxx? ? ? 2 363323 111 111120xxxxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ， 解得1x ? 例例 6 解方程? 2 12360xxxxx
8、? 解解：? 2 1236xxxxx? 222 7656xxxxx? 设 2 56Mxx?，则 2 762xxMx?， ? 2 1236xxxxx? 2 2 22 2660M MxxxMxx?， 解得33x ? ? 注：本题用了换元法，将看似复杂的式子变为一个完全平方式若令 2 66Mxx?， 则? 222 12360xxxxxMxMxxM?，这样简单一些 例例 7 解方程 432 2620xxxx? 解解：首先，0x ?不是原方程的根； 所以 43222 2 12 26226xxxxxxx xx ? ? ? ? ? 22 2 11 26xxx xx ? ? ? ? ， . 设 1 xA x
9、?，则 22 2 1 2xA x ?，原方程即 ? 22222 226210252xAAxAAxAA ? ? ? ? 2 222 21 2522522121210xxxxxxxxxx xx ? ? ? ? 解得 1 2 x ?或2x ?或1x ? ? 注： 此题也可先观察出原方程有根1x ? ?和2x ?， 然后用多项式的除法得到余下因式 例例 8 解方程? 2 44 2 1110xxx? 解解法法 1：? 2 44 2 111xxx? ? ? ? 43242432 4641214641xxxxxxxxxx? ? ? 424242 2612131030xxxxxx?，方程无解 解法解法 2：?
10、 222 4444 222 11112111xxxxxxx? ? 2 22 2 111xxx ? ? ? ? 2222 22 11+1111xxxxxx ? ? ? ? 22 3130xx?，方程无解 课后作业课后作业 1.解方程： （1） 32 340xx?； （2） 32 780xx? ?； （3） 42 710xx? ? 2.解方程： （1） 32 2560xxx?； （2） 32 3390xxx?； （3） 32 84210xxx? ?； （4） 32 923150xxx?； （5） 432 2721360xxxx?； （6） 432 2620xxxx?； （7） 432 6736760xxxx? . 3.解方程： （1）?1234240xxxx?； （2） 432 4410xxxx? ? 注 1：本节课应重点介绍猜根，多项式的除法，对于例 4-例 7 等难度较大的例子可结合 具体情况进行取舍； 注 2：关于三次方程可以介绍塔尔塔利亚与卡尔丹的论争，关于五次及五次以上的方程 可以介绍伽罗瓦与阿贝尔的悲惨命运可放在本节课的最后介绍，以数学史感染学生
