1、. 2.常见不等式的解法常见不等式的解法 2.3 高次不等式的解法高次不等式的解法 本节属于选讲内容 高次不等式的求解不是重点， 似乎只在衔接部分讲， 后来却很少用 前面两节，我们学习了二次不等式、分式不等式的解法，而分式不等式又可转化为二次 不等式本节课我们解高次不等式，高次是指不等式的次数为 3 次及 3 次以上 课堂例题课堂例题 例例 1 解不等式?1230xxx? 这是一个 3 次不等式，比二次不等式?120?xx多了一个因式，相信学生是有 想法的，借鉴前面解不等式的经验，你能想到什么？是分类讨论，还是画函数图象？ 放手让学生去做，并听取其想法；教师应顺着学生的思路往下讲，在恰当处引出
2、自己准 备的内容，使所讲自然而然；而不是突兀地抛出，直接灌输 解解：先求出方程?1230?xxx的根，为1x ?，2和3，然后以这三个根为 界线进行分类讨论分类讨论，容易得到下图（图中的“?” “?”表示式子?123xxx?的正 负） x 321 由图可知，原不等式的解集是12x?或3x ? 注 1：很多老师讲高次不等式直接就是数轴标根，穿针引线；不讲怎么来的，也不讲为 什么；学生只记得“奇穿偶不穿” “奇次方穿针引线，偶次方蜻蜓点水”等口诀，听起来很 溜，却没有触及本质； 注 2：高次不等式可用分类讨论的方法求解，如上所述，至于是否穿针引线倒不重要， 穿针引线似乎只是表面上的热闹； 注 3：
3、若真想穿针引线，则要提及函数图象；你所穿的线其实就是函数图象，很粗略的 图象而已，回归函数与方程、数形结合等数学思想 另另解解： 函数?123yxxx?的草图如下， 数形结合可知， 原不等式 （即0y ?） 的解集是12x?或3x ? x 321 注：这里我们只关注函数值的正负，图象的其他细节我们并不关心，穿针引线只是为了 直观形象，便于操作和记忆，这个图和上面那个图又有什么本质的区别呢？ 例例 2 解不等式?12340xxxx? . 此例让学生独立完成， 看其采用哪种解法 分类讨论解法的特点是以四个根为界线将实 数（集）隔成 5 段范围，每段范围内都要判断?1234xxxx?的正负，隐约有
4、种 正 负 交 替 的 感 觉 ； 函 数 图 象 解 法 的 特 点 是 直 观 形 象 ， 方 便 快 捷 ， 但 函 数 ?1234yxxxx?的图象从何而来？归根结底还要判断正负学生能否独立 画出？难说学生此时还停留在感觉与模仿的阶段，需要通过后续例题加深理解 例例 3 解不等式? 2 2 046xx? 原不等式即? 2 6022xxx?，如果学生贪图“穿针引线”的直观方便而没有 理解其本质思想的话，很容易犯下生搬硬套的错误，如下图 622 从而得到错误答案2x ? ?或26x? 如果采用分类讨论的方法， 则大概不会犯这样的错误， 因为每一次讨论都是实打实去判 断左侧式子的符号，如下图
5、 226 从而得到正确答案22x? ?或6x ?，你会遗忘6x ?吗？ 我们再来补救穿针引线的方法方程? 2 6022xxx?实际上有 4 个根 1 2x ?， 2 2x ?， 34 6xx?，先假定 3 x和 4 x不相等，穿针引线，如下左图；然后让 3 x和 4 x无限靠近，直至重合，得到右图，这才是真实的函数图象（只关注函数值的正负） 662 2 226 通过这样的讲解，才水到渠成地总结出“奇穿偶不穿”的口诀，相信学生的理解会更加 深入当然这个口诀要给学生解释清楚：因式2x ?和2x?的次数都是 1（奇次方） ，所以 “线”要穿过相应的根2?和2；因式6x?的次数是 2（偶次方） ，所以
6、“线”没有穿过相 应的根6，只是如蜻蜓点水般轻轻掠过 例例 4 解不等式? ? 32 1130x xxx? 此例进一步巩固“奇穿偶不穿”的口诀，由学生独立完成，答案是10x? ?或1x ? 例例 5 解不等式? ? ? 23 1212310xxxx? . 此例中因式1 2x?的 x 项系数为负，若不假思索地还是从右上方穿线的话就会犯错（而 实打实地分类讨论判正负则可避免） 为了解题的方便与统一，我们将每个因式中 x 的系数 都化正（线就一定从右上方穿下） 至此梳理解高次不等式的完整步骤如下： （1）每个因式中 x 的系数均化正； （2）求出每个因式对应的根，在数轴上按大小顺序依次排开（数轴标根
7、） ； （3）从最大根的右上方开始穿线，遵循“奇穿偶不穿”的原则（穿针引线） ； （4）所穿线即为函数图象（草图） ，看图得到不等式的解集 原不等式即? ? ? 23 1221310xxxx?，解集是 1 3 x ?或 1 1 2 x?或2x ? 例例 6 解不等式 2 2 81 0 2 712 xx xx ? ? ? ? 解解：原不等式即 ? ? 26 0 34 xx xx ? ? ? （此例是分式不等式与高次不等式的结合，复习分 式不等式的转化）?23460xxxx?且3x ?且4x ?，穿针引线如下图 （可取之根实心点，不可取之根空心点） 2364 数形结合可得，原不等式的解集是2x ?
8、或34x?或6x ? 例例 7 解不等式 2 35 23 2 x xx ? ? ? ? 解解： 22 2222 35352121 00 23232323 220 xxxxxx xxxxxxxx ? ? ? ? ? ? ? 1 21 01 21130 13 xx xxxx xx ? ? ? 且1x ?且3x ? ?，数形结合 （穿针引线图略）可得，原不等式的解集是3x ? ?或 1 1 2 x? ?或1x ? 结语结语 数轴标根、穿针引线并不是什么新鲜事物，我们在解一元二次不等式时，算出对应二次 方程的两根，作出二次函数的草图，得到原不等式的解集，不也是数轴标根、穿针引线吗？ 这样一想，我们用一次函数的图象解一元一次不等式似乎也可归为此类，只不过是最简单、 最原始的情形罢了 课课后作业后作业 1.解下列不等式： （1）? 22 0168xxx?； （2）? 22 231 3720xxxx?； . （3）? ? 34 12340xxxx?； （4） 2 2 22 2 1 xx xx ? ? ? ； （5） 2 2 41 1 372 xx xx ? ? ? ； （6） ? 3 2 21 3 2 0 1 xxx x ? ? ? ； （7） 1 43 11 1 1 2xxxx ? ? ? ? 关于高次不等式，初中题目也有涉及 .
