1、. 3.几个简单函数的图象几个简单函数的图象 遇到一个新的函数，非常自然的想法是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特 点，并借助图象研究函数的性质，解决相关的问题 本节我们介绍绝对值型函数、分式型函数、取整函数的图象，并利用图象解一些（前面 解过的）不等式，重在渗透数形结合的思想，为必修 1 学习函数的图象与性质埋下伏笔本 节是初高中衔接课，讲授时要把握好度，很多地方点到为止即可在必修 1 函数章节的学习 过程中，我们再引导学生系统梳理常见函数（指数函数、对数函数、幂函数及与之相关的函 数）的图象与性质 3.2 分式分式型函数型函数的图象的图象 本节所研究的分式型函数特指两个一次函数相除
2、所得的新函数， 形如 axb y cxd ? ? ? 课前 老师举一两个具体的例子简单说明一下即可 课堂例题课堂例题 例例 1 画出下列函数的图象，并指明它们与函数 1 y x ?的图象有何联系，各自有什么特 点： （1） 1 y x ? ?； （2） 2 y x ?； （3） 1 1 y x ? ? 解解： （1） ? ? 11 x y yy xx ? ? ? 关于轴对称 ，图象如下，关于原点中心对称当0x ?时， y随x的增大而增大；当0x ?时，y随x的增大而增大当x无限小（大）时，图象越来 越贴近于x轴；当x趋近于 0 时，图象越来越贴近于y轴 x y y= 1 x 123123 1
3、2 3 1 2 3 O （2） 2 12 yy xx ? ? 纵坐标变为原来的 倍 ， 图象如下， 关于原点中心对称 当0x ?时，y 随x的增大而减小；当0x ?时，y随x的增大而减小当x无限小（大）时，图象越来越 贴近于x轴；当x趋近于 0 时，图象越来越贴近于y轴 . x y 123123 1 2 3 1 2 3 y= 2 x O （3） 1 11 1 yy xx ? ? 向右平移 个单位 ，图象如下，关于点?1,0中心对称当1x ?时， y随x的增大而减小；当1x ?时，y随x的增大而减小当x无限小（大）时，图象越来 越贴近于x轴；当x趋近于 1 时，图象越来越贴近于直线1x ? x
4、y 12123 1 2 3 1 2 3 y= 1 x 1 O 注：此例的目的是继续巩固函数图象的平移等变换，对于（3）可以追问：若将函数 1 1 y x ? ? 的图象往上平移 1 个单位会得到什么呢？答案是函数 1 1 11 x y xx ? ? ? ， 为例 2 的分离常数法埋下伏笔 例例 2 试从图象变换的角度画出函数 1 2 x y x ? ? ? 的图象，并指明其对称中心 解解：将函数 1 2 x y x ? ? ? 的解析式作如下变形： 12 11 1 222 xx y xxx ? ? ? ? 它可看作由函数 1 y x ?的图象如此变换而来： ? ? 1 x y y x ? ?
5、关于轴对称21 111 1 +2+2 yyy xxx ? ? ? ? 向左平移 个单位向上平移 个单位 ， 图象如下，对称中心是点?2,1? . x y 12345612 1 2 1 2 3 4 O 注： 此例中解析式的变形方法称为分离常数法分离常数法， 这样变的好处是自变量x的位置更加集 中了，便于处理了，后续求分式型函数的值域时还会用到分离常数法分离常数法 例例 3 当1?x时，求 1 ?y x 的取值范围 解解：结合反比例函数 1 ?y x 的图象（图略） ，可知y的取值范围是01y? 注： 这里要格外强调0y ?， 这个下限很容易遗忘； 类似地， 当0x ?时， 指数函数2xy ? 的
6、取值范围是01y?，而不是仅有1y ? 例例 4 利用函数图象解不等式 1 1 2x ? ? 解解：解方程 1 1 2x ? ? 得3x ?，分式型函数 1 2 y x ? ? 的图象如下，数形结合可得，不 等式 1 1 2x ? ? 的解集是2x ?或3x ? x y 11234 1 2 3 1 2 3 4 O 例例 5 解不等式 1 x x ? 解法解法 1：当0x ?时， 2 1 11xxx x ? ? ?或1x ?，所以1x ?；当0x ?时， . 2 1 111xxx x ? ? ? ?，所以10x? ?综上，原不等式的解集是10x? ?或 1x ? 解法解法 2：在同一个坐标系中画
7、出函数yx?与 1 y x ?的图象如下，它们有两个交点，为 ?1, 1? ? 和?1,1，不等式 1 x x ?的几何意义是函数yx?的图象在函数 1 y x ?的图象上方， 数形结合可得，原不等式的解集是10x? ?或1x ? x y 123123 1 2 3 1 2 3 O 例例 6 利用函数图象解不等式 11 24 x x ? ? ? 解解：解方程 11 24 x x ? ? ? 得2x ?，分式型函数 1 2 x y x ? ? ? 的图象如下图，数形结合可得， 不等式 11 24 x x ? ? ? 的解集是22x? ? x y 1 4 123451234 1 2 3 1 2 3
8、4 O 注： 在实际解题中该如何快速画出分式型函数的图象呢？以此题为例， 函数 1 2 x y x ? ? ? 3 1 2x ? ? 的图象被两条虚线隔开， 竖直的虚线2x ? ?是由2x ? ?导致， 水平的虚线1y ?就 是分离出的那个常数 1由于我们知道分式型函数的样子和反比例函数的样子一致要么 是“左下右上降” ，要么是“左上右下升” ，所以只需再描一个点（如 1 0, 2 ? ? ? ? ，?1,0等） . 就可得到真实的函数图象了至于是否介绍一般的反比例型函数 axb y cxd ? ? ? （0ac ?， adbc?） ，视学生的情况而定 课课后作业后作业 1.利用函数图象解下列不等式 （1） 1 3 2 x? ?； （2） 6 1 1x ? ? ； （3） 2 2 1x x ? ? ?； （4） 25 1 31 x x ? ? ?
