1、. 第第 4 章章 分式不等式分式不等式 【知识衔接】 初中知识回顾 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 (1)分式方程的解法 一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母 特殊解法：换元法学-科网 (2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根因此，验根是解分式方程必 不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，必须舍去 说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法 分式不等式的解法： 分母恒为正时可去分母； 分母不恒为正时不能去分母， 应先移项使右边为 0 再通分并将分子分母分解因式，
2、最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解 高中知识链接 可化为一元二次方程的分式方程 1去分母化分式方程为一元二次方程 2用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法 【经典题型】 初中经典题型 1已知关于 x 的分式方程 31 33 xa x ? ? ? 的解是非负数，那么 a 的取值范围是（ ） . Aa1 Ba1 Ca1 且 a9 Da1 【答案】C 【分析】根据分式方程的解法即可求出 a 的取值范围； 点睛：本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型 2若关于x的分式方程 1 3 22 mx xx ? ? ?
3、有增根，则实数m的值是 【答案】1 【解析】 试题分析：方程两边同乘以 x-2，可得 m=x-1-3（x-2） ，解得 m=-2x+5，因分式方程 1 3 22 mx xx ? ? ? 有增 根，可得 x=2，所以 m=1学-科网 3解不等式： 【答案】 【解析】试题分析：不等式等价于，解之即可 试题解析：不等式等价于， ， 故不等式的解集是 4不等式 5 0 1 x x ? ? ? 的解是_ 【答案】15x? 【解析】 试题分析：原不等式化为 55 0,0 11 xx xx ? ? ? ? ，解得15x? . 高中经典题型 【例【例 1】解方程 2 142 1 224 x xxx ? ? 分
4、析：分析：去分母，转化为整式方程 解：解：原方程可化为： 142 1 2(2)(2)2 x xxxx ? ? 方程两边各项都乘以 2 4x ?： 2 (2)42(2)4xxxx? 即 2 364xx?， 整理得： 2 320xx? 解得：1x ?或2x ? 检验：把1x ?代入 2 4x ?，不等于 0，所以1x ?是原方程的解； 把2x ?代入 2 4x ?，等于 0，所以2x ?是增根 所以，原方程的解是1x ? 说明：说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： 把各分式的分母因式分解； 在方程两边同乘以各分式的最简公分母； 去括号，把所有项都移到左 边，合并同类项； 解一元二次方程； 验根
5、 (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大而分式方程可能产生的增根， 就是使分式方程的分母为 0 的根因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分 式的最简公分母为 0若为 0，即为增根；若不为 0，即为原方程的解 【例【例 2】解方程 22 2 3 ()40 11 xx xx ? ? 分析：分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难但注意到方程的结构特点，设 2 1 x y x ? ? ， 即得到一个关于y的一元二次方程最后在已知y的值的情况下，用去分母的方法解方程 2 1 x y x ? ? . 解：解：设 2 1 x y x ?
6、? ，则原方程可化为： 2 340yy? 解得4y ?或1y ? ?来源:学#科#网 Z#X#X#K (1)当4y ?时， 2 4 1 x x ? ? ，去分母，得 22 4(1)4402xxxxx?； (2)当1y ? ?时， 2 22 15 1110 12 x xxxxx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 来源:163文库 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，2x ?， 15 2 x ? ? ?都是原方程的解 说明：说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值，而没有求到原方程的解，即x的值 【例【例 3】解方程 22 22 8(2 )3(1) 11 1
7、2 xxx xxx ? ? ? (1)当1y ?时， 2 22 2 21 121 21 xx xxxx x ? ? ? ? ? ? ； (2)当 3 8 y ?时， 2 222 2 231 81633516303 851 xx xxxxxxx x ? ? ? ? ? 或 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，原方程的解是 1 2 x ? ?，3x ? ?， 1 5 x ? ? 说明：说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想 【例【例 4】解下列不等式： (1) 23 0 1 x x ? ? ? (2) 2 3 0 1 x
8、xx ? ? ? 分析：分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因 . 为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解 (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数 解：解：(1) 解法(一) 原不等式可化为： 33 230230 3 122 10102 11 xxxx x xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或或 解法(二) 原不等式可化为： 3 (23)(1)01 2 xxx? ? ? (2) 22 13 1()0 24 xxx? ? 原不等式可化
9、为：303xx? ? 【例【例 5】解不等式 1 3 2x ? ? 解：解：原不等式可化为： (35)(2)0 135355 30002 202223 xx xx xx xxxx ? ? ? ? ? ? ? ? 或 说明：说明： (1) 转化 为整式不等式时，一定要先将右端变为 0 (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 22 2020 15 32 55 3(2)13(2)123 33 xx xx xx xxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或或或【实战演 练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1分式方程 23 1 22 x xx ? ? 的解
10、为： （ ） A、1 B、2 C、 1 3 D、0 【答案】A 【解析】 . 试题分析：根据分式方程的解法：去分母，得 2-3x=x-2，移项后解得 x=1，检验 x=1 是原分式方程的根 答案为 A 2若关于 x 的分式方程2 22 xm xx ? ? 的解为正数，则满足条件的正整数 m 的值为（ ） A1，2，3 B1，2 C1，3 D2，3 【答案】C 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案 点睛：本题考查了分式方程的解，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，注意要检验分式方程的根 3方已知关于 x 的分式方程1 11 kxk xx ? ? ? 的解为负数，则 k
11、 的取值范围是 【答案】k 1 2 ?且 k0 4关于x 的两个方程 2 60xx?与 21 3xmx ? ? 有一个解相同，则 m= 【答案】8 【解析】解方程 2 60xx?得：x=2 或 3； 把 x=2 或 3 分别代入方程 21 3xmx ? ? ，当 x=2 时，得到 21 223m ? ? ? ? ，解得 m=8 故答案为：8 5解方程：2 7 1 7 ? ? ? ?xx x 【答案】x=15 【解析】 试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 试题解析：去分母得：x+1=2x14，解得：x=15，经检验 x=15 是分
12、式方程的解 . 6若关于 x 的分式方程 1 2 1 k x ? ? ? 的解为负数，则 k 的取值范围为 【答案】k3 且 k1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出 k 的范围即可 【解析】 去分母得： k1=2x+2， 解得： x= 3 2 k ? ， 由分式方程的解为负数， 得到 3 2 k ? 0， 且 x+10， 即 3 2 k ? 1，解得：k3 且 k1，故答案为：k3 且 k1 点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键 7不等式 3 0 2 x x ? ? ? 的解是_ 【答案】23x? 【解析
13、】不等式 3 0 2 x x ? ? ? 等价于 30 20 x x ? ? 或 30 20 x x ? ? 解得23x? 8不等式的解为_ 【答案】 【解析】不等式化为，解一元二次不等式即可 详解：不等式化为，解得， 来源:学&科&网 不等式的解集为，故答案为学-科网 点睛：本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法，属于基础题 9不等式的解为_ 【解析】 点睛：解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式， 然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解 再战高中题 能力提升 B 组组 1 用换元法解方程 2 2 124 3 12 xx xx ? ? ? 时，设 2 12x
14、 y x ? ?，则原方程可化为（ ） . A 1 30y y ? ? B 4 30y y ? ? C 1 30y y ? D 4 30y y ? 【答案】B 【分析】直接利用已知将原式用 y 替换得出答案 【解析】设 2 12x y x ? ?， 2 2 124 3 12 xx xx ? ? ? ，可转化为： 4 3y y ?，即 4 30y y ? ?故选 B 点睛：此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出 y 与 x 值间的关系是解题关键 2分式方程 2 110 0 51025xxx -= -+ 的解是 【答案】15x ? 【解析】 试 题分析：去分母得：5 100x? ?，解得：15x
15、 ?，经检验15x ?是分式方程的解故答案为：15x ? 3如果关于 x 的分式方程 1 1 3 1? ? ? ?x x x a 有负分数解，且关于 x 的不等式组 2()4 34 1 2 axx x x ? ? ? ? ? ? ? ? 的解集为 x2，那么符合条件的所有整数 a 的积是（ ） A3 B0 C3 D9 【答案】D 【分析】把 a 看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出 a 的范围，分式方程去分母转化为整 式方程，将 a 的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有 a 的值，即可求出之积 【解析】 2()4 34 1 2 axx x x ? ? ? ? ? ? ? ? ，由得：x2a+4，由得：x2，由不等式组的解集为 x2，得到 2a+42，即 a3，分式方程去分母得：a3x3=1x，把 a=3 代入整式方程得：3x6=1x， 即 7 2 x ? ?，符合题意； 把 a=2 代入整式方程得：3x5=1x，即 x=3，不合题意； 把 a=1 代入整式方程得：3x4=1x，即 5 2 x ? ?，符合题意； 把 a=0 代入整式方程得：3x3=1x，即 x=2，不合题意； 把 a=1 代入整式方程得
