1、. 第第 8 章章 一元二次不等式与特殊的高次不等式的解法一元二次不等式与特殊的高次不等式的解法 【知识衔接】 初中知识回顾 形如 2 0(0) (0)axbxca?或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式 常用方法： 将不等式左边进行因式分解，根据“符号法则 - 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元 一次不等式组 高中知识链接 一 般 式 二次函数来源:163文库来源:163文库 ZXXK来源:Z.xx.k.Com 一元二次方程来源:学科 网 一元二次不等式 )0( 2 ? ? a? ? ? ? cbxaxy acb4 2 ? )0( 0 2 ? ? a? ? ? ? cbxa
2、x )0( 0 2 ? ? a? ? ? ? cbxax )0( 0 2 ? ? a? ? ? ? cbxax 图 像 与 解 0? )( , 21 21 xx? ? xxxx ? ? 21 xx ?或 21 xx ? 21 xxx? 0? a b xx 2 0 ? 0 xx ? 无解 x y O x1 x2 x y O x0 . 0? 无解 R 无解 表中 a acbb x 2 4 2 1 ? ?， a acbb x 2 4 2 2 ? ? 2、)0(0 2 ?acbxax恒成立 ? ? ? ? ? ? 04 0 2 acb a )0(0 2 ?acbxax恒成立 ? ? ? ? ? ? 0
3、4 0 2 acb a 高次不等式的解法穿根法 先因式分解，再使用穿根法学科-网 注意：因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正 步骤：在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根，标为实点，等号不成立的根要标虚点 自右向左自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿) 数轴上方曲线对应区域使“”成立，下方曲线对应区域使“”成立 【经典题型】 初中经典题型 1解不等式 2 60xx? 分析：分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 - 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为 一元一次不等式组 解：解：原不等式可以化为：(3)(2)0xx?， 于是： 30 20
4、 x x ? ? ? ? 或 30 20 x x ? ? ? ? 33 32 22 xx xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? 或或 所以，原不等式的解是32xx? ?或 x y O . 说明：说明：当把一元二次不等式化为 2 0(0)axbxc?或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式， 即可运用本题的解法 2解下列不等式： (1) (2)(3)6xx? (2) (1)(2)(2)(21)xxxx? (2) 原不等式可化为： 2 40xx?，即 2 40(4)0xxx x? 于是： 00 04 4040 xx xx xx ? ? ? ? ? 或或 所以原不等式的解是04xx?或 高中
5、经典题型 1解关于 x 的不等式0) 1( 2 ?aaxx 解：原不等式可以化为：0)(1(?axax 若) 1( ?aa即 2 1 ?a则ax ?或ax?1 若) 1( ?aa即 2 1 ?a则0) 2 1 ( 2 ?x Rxx?, 2 1 若) 1( ?aa即 2 1 ?a则ax ?或ax?1 2已知不等式 2 0(0)axbxca?的解是2,3xx?或求不等式 2 0bxaxc?的解 解：由不等式 2 0(0)axbxca?的解为2,3xx?或，可知 0a ?，且方程 2 0axbxc?的两根分别为 2 和 3， 5,6 bc aa ?， . 即 5,6 bc aa ? ? 由于0a ?
6、，所以不等式 2 0bxaxc?可变为 2 0 bc xx aa ? ， 即 2 560,xx? ? ? 整理，得 2 560,xx? ? ? 所以，不等式 2 0bxaxc?的解是 x1，或 x6 5 3若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4已知集合，集合 .若，求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】试题分析：解一元二次不等式求得，由于 是 的子集，所以，解得 . 试题解析：解：根据题意得， ， 5求下列不等式的解集 . （1） 2 5 1 23 x xx ? ? ? ； （2）? ? 32 12110xxx?. 【答案】(1) ?
7、 ?1,12,3? (2) ? 1 , 11,1, 2 ? ? ? ? ? ? 【解析】试题分析： (1)将不等式进行恒等变形，结合数轴穿根法可知原不等式解集为? ?1,12,3?； (2) 将不等式进行恒等变形，注意到奇穿偶不穿，可知不等式解集为? 1 , 11,1, 2 ? ? ? ? ? ? . 试题解析： （1）原不等式等价于 2 2 32 23 xx xx ? ? 0 ?0? ? ? 11230, 310. xxxx xx ? ? 由数轴穿根法可知原不等式解集为? ?1,12,3?； （2）不等式即? ? 32 21110xxx?，注意到奇穿偶不穿，利用数轴穿根法可知不等式解集为 ?
8、 1 , 11,1, 2 ? ? ? ? ? ? . 6已知不等式 2 364axx?的解集为 |1 x x ?或?xb? (1)求a， b的值； (2)解不等式 2 1 0 x axb ? ? ? . 【答案】 （1）1a ?， 2b ?； （2） | 11 xx? ?或?2x ?. 【解析】试题分析： （1）由已知解集的端点可知 1和 b为方程 ax2-3x+2=0 的两个解，把 x=1代入方程求出 a 的值，进而求出 b的值；(2)将1a ?， 2b ?代入不等式 2 1 0 x axb ? ? ? 得， 2 1 0 2 x x ? ? ? ， 可转化为： ?1120xxx?，由“穿针引
9、线”法可得结果. . (2)将1a ?， 2b ?代入不等式 2 1 0 x axb ? ? ? 得， 2 1 0 2 x x ? ? ? ， 可转化为： ?1120xxx?， 如图，由“穿针引线”法可得 原不等式的解集为 | 11 xx? ?或?2x ?. 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1已知二次函数? ? xxy，当 x2 时，y 的取值范围是（ ） Ay3 By3 Cy3 Dy3 【答案】B 2 已知关于 x 的二次函数 2 yaxbxc?的图象经过点 （2， 1 y） ， （1， 2 y） ， （1， 0） ， 且 12 0yy?， 对于以下结论：abc0；a+3b+2
10、c0；对于自变量 x 的任意一个取值，都有 2 4 ab xx ba ? ?；在 2x1 中存在一个实数 0 x，使得 0 ab x a ? ? ?，其中结论错误的是 （只填写序号） 【答案】 . 【分析】正确画出函数图象即可判断 错误因为 a+b+c=0，所以 a+3b+2c=a+3b2a2b=ba，又 ab+c0，所以 bac，故 ba 可以 是正数，由此可以周长判断 正确利用函数 y= 2 a xx b ? = 2 () 24 abb x baa ?，根据函数的最值问题即可解决 令 y=0 则 2 0axbxab?，设它的两个根为 1 x，1，则 1 1 ab x a ? ? ? ?=
11、ab a ? ?，求出 x1即可解决问 题学科-网 2 yaxbxc?的图象经过点（1，0），a+b+c=0，c=ab，令 y=0 则 2 0axbxab?，设它 的两个根为 1 x，1，则 1 1 ab x a ? ? ? ?= ab a ? ?， 1 x= ab a ? ?，2 1 x 2 x，在2x1 中存 在一个实数 0 x，使得 0 ab x a ? ? ?，故正确 再战高中题 能力提升 B 组组 1不等式 22 230(0)xaxaa?的解集为_ . 【答案】x|-ax3a 【 解 析 】? 22 23030xaxaxaxa?， 因 为0a ?， 3aa? ?, 不 等 式 的 解
12、 集 为 ?|3xaxa? ? ，故答案为?|3xaxa? ?. 2若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】分析：由题意，原不等式转化为，得到 的解集，由解集中的整数恰有 3 个，且为 1，2，3，得到 的不等式，解不等式可得 的范围. 详解：由题知， 则，即. 由于，而不等式的解答中恰有 3 个整数解， 故必有，即必有. 不等式可变为 解得， 又，结合解集中的整数恰有 3 个，即为 1，2，3， 可得， 解得. 的取值范围为. 故答案为：. 点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项系数若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然
13、后将不等式转化为二次项系数为正的形 式 (2)判断方程的根的个数，讨论判别式 与 0 的关系 (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 . 3若不等式 的解为 ，则不等式 的解集是_ 【答案】 【解析】根据不等式的解集可知 ，解得 ，即不等式为 ，所以不等式的解集为. 4关于x的不等式? ? 22 1110axa? ?的解集为R，则实数a的取值范围是_. 【答案】 3 ,1 5 ? ? ? ? ? 【解析】当1a ?时，不等式化为10? ?恒成立，当1a ? ?时，不等式化为210x? ?不恒成立（舍） ，当 2 10a ? ?时，要使不等式?
14、 ? 22 1110axax? ?恒成立， 则 ? 2 2 2 10 1410 a aa ? ? ? ，解得 3 1 5 a?，综上所述， 3 1 5 a?. 点睛：本题考查含参数的一元二次不等式恒成立问题；本题的易错点是忘记讨论不等式的二次项系数是否 为 0，对于二次项系数含有参数的不等式不一定是一元二次不等式，只有一元二次不等式才能利用判别式进 行处理，所以一定要讨论二次项系数为 0 的情况. 5不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】等价于 或，解不等式组得或，选 B. 6不等式? 2 2 460xx?的解集是_ 【答案】 | 226xxx? ?或 . 7求下列
15、不等式的解集 （1） （2） （3） 【答案】 （1）； （2）； （3） 或 【解析】试题分析： （1）解二次不等式； （2）利用标根法解高次不等式； （3）移项通分解高次分式不等式. 试题解析： 解： （1）由 x2+4x+40 可化为（x+2）20， （用判别式同样给分） 故原不等式的解集为 ； （2）由（12x） （x1）3（x+1）20 可化为（2x1） （x1）3（x+1）20， 且方程（12x） （x1）3（x+1）2=0的根为 、1（三重根）和1（二重根） ， 所以该不等式的解集为； 点睛： 高次不等式求解方法 1.化二次项系数为正;2.求方程的根;3.画数轴进行穿根 （从数轴右上方开始穿， 奇重根穿偶不穿）;4.数轴上方大于 0，数轴下方小于 0. 分式不等式解法 1.先移项再通分化为（或0）形式;2.化整式不等式（或0）求解.
