1、. 第第 17 章章 几种特殊的三角形几种特殊的三角形 【知识衔接】 初中知识回顾 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一，因而在等腰ABC?中，三角形的内心 I、重心 G、 垂心 H 必然在一条直线上学-科网 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中 心 高中知识链接 等腰三角形、等边三角形均有“三线合一”、“四心合一”的性质 直角三角形中，斜边上的直线必为斜边的一半 在有 0 30角的直角三角形中， 0 30角所对的直角边必为斜边的一半 【经典题型】 初中经典题型 1、在ABC?中，3,2.ABACBC? 求： （1）ABC?的
2、面积及AC边上的高BE； （2）ABC?的内切圆的半径r； （3）ABC?的外接圆的半径R 解： （1）如图，作ADBC?于D ,ABACD?为BC的中点， 22 22 ?BDABAD, 图 3.2-15 . 22222 2 1 ? ?ABC S 又BEACS ABC ? ? 2 1 ,解得 4 2 3 BE ? （2）如图，I为内心，则I到三边的距离均为r，连,IA IB IC，来源:学,科,网 Z,X,X,K IACIBCIABABC SSSS ? ?， 即 111 2 2 222 AB rBC rCA r? ? ?， 解得 2 2 r ? （3）ABC?是等腰三角形， ?外心O在AD上，
3、连BO，则OBDR ?t中，,ODADR? 222, OBBDOD? 222 (2 2)1 ,RR?解得 9 2 . 8 R ? . 2、如图，在ABC?中，AB=AC，P 为 BC上任意一点求证：PCPBABAP? 22 证明：过 A 作BCAD ?于 D 在ABDR ?t中， 222 ADABBD=- 在APDR ?t中， 222 APADDP=- )()( 22222 DPBDDPBDABDPBDABAP? DCBDBCADACAB?,? PCDPCDDPBD? PCPBABAP? 22 3、已知等边ABC?和点 P，设点 P 到三边 AB，AC，BC 的距离分别为 123 ,h h h
4、，ABC?的高为h，“若点 P 在一边 BC 上，此时 3 0h =，可得结论： 123 hhhh+=” 解： （1）当点 P 在ABC?内时， 法一法一：如图，过 P 作B C分别交,AB AM AC于,B M C， 由题设知AMPDPE=+，而AMAMPF=-， 故PDPEPFAM+=，即 123 hhhh+= . 法二法二：如图，连结 PA、PB、PC， PBCPACPABABC SSSS ? ?， PFBCPEACPDABAMBC? 2 1 2 1 2 1 2 1 ， 又ABBCAC=，PFPEPDAM?，即 123 hhhh+= （2）当点 P 在ABC?外如图位置时， 123 hh
5、hh+=不成立，猜想： 123 hhhh+-= 点睛：在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵活地运用了面积的方法 高中经典题型 1如图，在 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC=1，E、F 为线段 AB 上两动点，且ECF=45 ，过点 E、F 分别作 BC、AC 的垂线相交于点 M，垂足分别为 H、G现有以下结论：AB=；当点 E 与点 B 重合 时，MH= ；AF+BE=EF；MG?MH= ，其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】C 【解析】解：在 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC=1 . AB=（所以正确） 如图1，当点E
6、与点B重合时，点H与点B重合， MBBC，MBC=90 ， MGAC， MGC=90 =C=MBC， MGBC，四边形MGCB是矩形， 来源:163文库 ZXXK MH=MB=CG， FCE=45 =ABC，A=ACF=45 ， CE=AF=BF， FG是 ACB的中位线， GC= AC=MH，故正确； 如图2所示， AC=BC，ACB=90 ， A=5=45 将 ACF顺时针旋转90 至 BCD， 则CF=CD，1=4，A=6=45 ；BD=AF； 2=45 ， . 1+3=3+4=45 ， DCE=2 在 ECF和 ECD中， ， ECFECD（SAS）， EF=DE 5=45 ， BDE
7、=90 ， DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故错误； 7=1+A=1+45 =1+2=ACE， A=5=45 ， ACEBFC， =， AF?BF=AC?BC=1， 由题意知四边形CHMG是矩形， MGBC，MH=CG， MGBC，MHAC， =；=，即=；=， MG=AE；MH=BF， MG?MH=AEBF= AE?BF= AC?BC= ， 故正确故选：C 2如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上的一点，连接 BE，DE （1）如图 1，求证： BCEDCE； （2）如图 2，延长 BE 交直线 CD 于点 F，G 在直线 AB 上，且 FG=FB 求证：D
8、EFG； 已知正方形 ABCD 的边长为 2，若点 E 在对角线 AC 上移动，当 BFG 为等边三角形时，求线段 DE 的 长来源:163文库 . 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析；DE=2（31） 【解析】试题分析： （1）利用判定定理（SAS）可证； （2）利用（1）的结论与正方形的性质，只需证明FDE+DFG=9 0 即可； 由 DEFG 可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求 DE 的长 （2）由（1）可知 BCEDCE， FDE=FBC 又四边形 ABCD 是正方形， CDAB， DFG=BGF，CFB=GBF， 又FG=FB， FGB=FBG， DFG
9、=CFB， 又FCB=90 ， CFB+CBF=90 ， EDF+DFG=90 ， DEFG来源:学_科_网 如下图所示， . BFG 为等边三角形， BFG=60 ， 由（1）知DFG=CFB=60 ， 在 Rt FCB 中，FCB=90 ， FC=CB?cot60= 2 3 3 ，DF=2- 2 3 3 ， 又DEFG， FDE=FED=30 ，OD=OE， 在 Rt DFO 中， OD=DF?cos30=3-1， DE=2（3-1） 【点睛】本题考查了正方形、等边三角形、直角三角形及三角函数等知识点，解题的关键是掌握三角形全 等的判定定理、两直线垂直的条件及综合应用所学知识的能力学！科网
10、 3如图，在菱形纸片 ABCD 中， 360ABA? ?，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处， 折痕为 FG，点FG，分别在边ABAD，上，则tan EFG?的值为_ 【答案】 2 3 3 【解析】如图，作 EHAD 于 H，连接 BE，BD 产 AE 交 FG 于 O，因为四边形 ABCD 是菱形，A=60 ， 所以 ADC 是等边三角形，ADC=120 ，点 E 是 CD 的中点，所以 ED=EC= 3 2 ，BECD，Rt BCE . 中，BE=3CE= 3 3 2 ，因为 ABCD，所以 BEAB，设 AF=x，则 BF=3-x，EF=AF=x，在 Rt EBF 中，
11、 则勾股定理得， x2=(3-x)2+( 3 3 2 )2， 解得 x= 21 8 ， Rt DEH 中， DH= 1 2 DE= 3 4 ， HE=3DH= 3 3 4 ， Rt AEH 中，AE= 2 2 33 3 3 44 ? ? ? ? ? ? ? ? = 6 7 4 ，所以 AO= 3 7 4 ，Rt AOF 中，OF= 2 2 213 7 84 ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 21 8 ， 所以 tanEFG= 3 7 4 3 21 8 = 2 3 3 ，故答案为 2 3 3 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1已知：在ABC?中，AB=AC，120 , o B
12、ACAD?为 BC 边上的高，则下列结论中，正确的是（ ） A 3 2 ADAB? B 1 2 ADAB? CADBD? D 2 2 ADBD? 2三角形三边长分别是 6、8、10，那么它最短边上的高为（ ） A6 B45 C24 D8 3如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_ 4已知:, ,a b c是ABC?的三条边，7,10ab?，那么c的取值范围是_ 5若三角形的三边长分别为 1、a、8，且a是整数，则a的值是_ 6如图，等边ABC?的周长为 12，CD 是边 AB 上的中线，E 是 CB 延长线上一点，且 BD=BE，则CDE? 的周长为（ ） A64
13、 3? B18 12 3? C62 3? D184 3? . 7如图，在ABC?中，2CABCA? ? ?，BD 是边 AC 上的高，求DBC?的度数 3如图，ABCR ?t，,90?BM 是 AC 的中点，AM=AN，MN/AB，求证：MN=AB 4如图，在ABC?中，AD 平分BAC?，AB+BD=AC求:BC?的值 5如图，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 1 4 ECBC=， 求证： ? ?90EFA . A 组参考答案 1B 2 D 3120o 4317c? 58 6A 718o 8连BM，证AMNMAB? 9在 AC 上取点 E，使 AE=AB
14、，则AEDABD?，BAED? ?， 又 BD=DE=EC， ,:2:1.CEDCBC? 10可证FCEADF?，因而AFD?与CFE?互余，得90oEFA? 再战高中题 能力提升 B 组组 1已知：如图，在 ABC 中，AB=BC，D 是 AC 中点，点 O 是 AB 上一点，O 过点 B 且与 AC 相切于 点 E，交 BD 于点 G，交 AB 于点 F （1）求证： BE 平分ABD； （2）当 BD=2，sinC= 1 2 时，求O 的半径 【答案】 （1）证明见解析（2） 4 3 【解析】试题分析：连接 OE，根据等腰三角形三线合一的性质和切线的性质得出 OEAC， BDAC，证 .
15、 得 OEBD，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可证得结论；来源:学#科#网 （2）根据 sinC= 1 2 求出 AB=BC=4，设O 的半径为 r，则 AO=4-r，得出 sinA=sinC，根据 OEAC，得出 sinA 1 = 42 OEr OAr ? ? ，即可求出半径 （2）BD=2，sinC= 1 2 ，BDACBC=4，AB=4 设O 的半径为 r，则 AO=4-r AB=BC，C=A，sinA=sinC= 1 2 AC 与O 相切于点 E，OEAC sinA= OE OA = 4 r r? = 1 2 ，r= 4 3 2如图，在等边 ABC 中，点 E 为边 AB 上任意一
16、点，点 D 在边 CB 的延长线上，且 EDEC （1）当点 E 为 AB 的中点时（如图 1） ，则有 AE DB（填“”“”或“”） ； （2）猜想 AE 与 DB 的数量关系，并证明你的猜想 【答案】（1）=；（2）AEBD 【解析】试题分析： . （1） BCE 中可证， BCE=30 ， 又 EB=EC， 则D=ECB=30 ， 所以 BCE 是等腰三角形， 结合 AE=BE 即可； （2）过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，用 AAS 证明 DEBECF （2）当点 E 为 AB 上任意一点时，AE 与 DB 的大小关系不会改变理由如下： 过 E 作 EFBC 交 AC 于 F， ABC 是等边三角形， ABCACBA60 ，ABACBC AEFABC60 ，AFEACB60 ，即AEFAFEA60 AEF 是等边三角形AEEFAF ABCACBAFE60 ， DB
