1、. 专题专题 1.2 1.2 极值点偏移问题利器极值点偏移问题利器-极值点偏移判定定理极值点偏移判定定理 一、极值点偏移的判定定理一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(xfy ?， 在区间),(ba上只有一个极大 （小） 值点 0 x， 方程0)(?xf的解分别为 21,x x， 且bxxa? 21 ， （1）若)2()( 201 xxfxf?，则 0 21 )( 2 x xx ? ? ，即函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极（小）大值点 0 x右（左）偏； （2）若)2()( 201 xxfxf?，则 0 21 )( 2 x xx ? ? ，即函数)(xfy ?在区间),( 2
2、1 xx上极（小）大值点 0 x右（左）偏. 证明： （1）因为对于可导函数)(xfy ?，在区间),(ba上只有一个极大（小）值点 0 x，则函数)(xf的 单调递增（减）区间为),( 0 xa，单调递减（增）区间为),( 0 bx，由于bxxa? 21 ，有 01 xx ?，且 020 2xxx?，又)2()( 201 xxfxf?，故 201 2)(xxx?，所以 0 21 )( 2 x xx ? ? ，即函数极（小）大值 点 0 x右（左）偏；www.21-cn- （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏左快右慢（极值点左偏 2 21 xx m ? ?） 左慢右快（极值点右偏左慢右快（极值
3、点右偏 2 21 xx m ? ?） 左快右慢（极值点左偏左快右慢（极值点左偏 2 21 xx m ? ?） 左慢右快（极值点右偏左慢右快（极值点右偏 2 21 xx m ? ?） . 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(xf的极值点 0 x； （2）构造一元差函数)()()( 00 xxfxxfxF?； （3）确定函数)(xF的单调性； （4）结合0)0(?F，判断)(xF的符号，从而确定)( 0 xxf?、)( 0 xxf?的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随口诀：极值偏离
4、对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. . 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(xf满足)()( 21 xfxf?， 0 x为函数)(xf的极值点，求证： 021 2xxx?. （1）讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点 0 x； 假设此处)(xf在),( 0 x?上单调递减，在),( 0 ?x上单调递增. （2）构造)()()( 00 xxfxxfxF?； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()( 0 xxfxfxF?的形式. （3） 通过求导)( xF讨论)(xF的单调性， 判断出)(xF在某段区间上的正负， 并得出)( 0 xxf?与)( 0 xxf?
5、 的大小关系； 假设此处)(xF在), 0( ?上单调递增，那么我们便可得出0)()()()( 000 ?xfxfxFxF，从而得 到： 0 xx ?时，)()( 00 xxfxxf?. （4）不妨设 201 xxx?，通过)(xf的单调性，)()( 21 xfxf?，)( 0 xxf?与)( 0 xxf?的大小关系得出 结论； 接 上 述 情 况 ， 由 于 0 xx ?时 ，)()( 00 xxfxxf?且 201 xxx?，)()( 21 xfxf?， 故 )2()()()()( 2002002021 xxfxxxfxxxfxfxf?，又因为 01 xx ?， 020 2xxx?且 )(
6、xf在),( 0 x?上单调递减，从而得到 201 2xxx?，从而 021 2xxx?得证. （5）若要证明0) 2 ( 21 ? ? xx f，还需进一步讨论 2 21 xx ? 与 0 x的大小，得出 2 21 xx ? 所在的单调区间，从而 得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.21 世纪教育网版权所有 . 此处只需继续证明：因为 021 2xxx?，故 0 21 2 x xx ? ? ，由于)(xf在),( 0 x?上单调递减，故 0) 2 ( 21 ? ? xx f. 【说明】 （1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，
7、会分解为三问，前两问分别求)(xf的单调性、极值点，证明)( 0 xxf?与 )( 0 xxf?（或)(xf与)2( 0 xxf?）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 021 2xxx?或 0) 2 ( 21 ? ? xx f的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.21cnjycom 三、对点详析，利器显锋芒三、对点详析，利器显锋芒 已知函数)()(Rxxexf x ? ? . (1)求函数)(xf的单调区间和极值； (2)若 21 xx ?，且)()( 21 xfxf?，证明：2 21 ? xx. 1 2 ?x，12 2 ? x，)(xf在) 1 ,(?上单调
8、递增， 21 2xx?，2 21 ? xx. 函数 34 3 4 )(xxxf?与直线) 3 1 (?aay交于),( 1 axA、),( 2 axB两点. 证明：2 21 ? xx. . 已知函数 2 ( )lnf xx x ?，若 1 x? 2 x，且)()( 21 xfxf?，证明：4 21 ? xx. 【解析】由函数 2 ( )lnf xx x ?单调性可知：若)()( 21 xfxf?，则必有 21 2xx?，。 所以24 1? ? x， 而)4ln( 4 2 ln 2 )4()( 1 1 1 1 11 x x x x xfxf? ? ?， 令)4ln(ln 4 22 )(xx xx
9、 xh? ? ?，则 0 )4( )2(8 )4( )4()4(2)4(2 4 11 )4( 22 )( 22 2 22 2222 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xx x xx xxxxxx xxxx xh 所以函数)(xh在)2 , 0(为减函数，所以0)2()(? hxh， 所以0)4()( 11 ?xfxf即)4()( 11 xfxf?，所以)4()( 22 xfxf?，所以4 21 ? xx. 已知函数? ? 2 21 x fxxea x?有两个零点.设 12 ,x x是? ?f x的两个零点，证明： 12 2xx?. . 四、招式演练四、招式演练 已知函数? ?
10、2 2 x a g xex?，其中,2.71828aR e?为自然对数的底数，? ?f x是? ?g x的导函数. （）求? ?f x的极值； （）若1a ? ?，证明：当 12 xx?，且? ? 12 f xf x?时， 12 0xx?. 【答案】(1) 当0a ?时， ? ?f x无极值; 当0a ?时, ? ?f x有极小值?lnlnfaaaa? ? ?;(2) 详见解析. 【解析】试题分析：（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函 数的极值即可；21 教育网 （）求出函数 f（x）的导数，设函数 F（x）=f（x）f（x），求出函数的导数，根据函数的单调
11、性 证明即可 试题解析： （）? ? ? x f xg xeax?的定义域为?,? ?， ? ? x fxea? 当0a ?时， ? ?0fx?在?,x? ? ?时成立 ? ?f x? 在?,? ?上单调递增， ? ?f x无极值. 当0a ?时， ? ?0 x fxea?解得?lnxa? 由? ?0fx? 得?lnxa?；由? ?0fx? 得?lnxa? 所以? ?f x在?,lna?上单调递减，在?ln,a?上单调递增， . 故? ?f x有极小值?lnlnfaaaa? ? ?. （）当1a ? ?时， ? ? x f xex?的定义域为?,? ?， ? ?1 x fxe?， 由? ?10
12、 x fxe? ?，解得0x ?.当x变化时， ? ?fx?， ? ?f x变化情况如下表： x ?,0? 0 ?0,? ? ?fx ? ? 0 + ? ?f x 单调递减 极小值 单调递增 12 xx?，且? ? 12 f xf x?，则 12 0xx?（不妨设 12 xx?） 已知函数? ? 2 lnf xxax?，其中aR? （1）若函数? ?f x有两个零点，求a的取值范围； （2）若函数? ?f x有极大值为 1 2 ?，且方程? ?f xm?的两根为 12 ,x x，且 12 xx?，证明： 12 4xxa?. 【答案】（1） 1 0 2 a e ?;（2）见解析. . （1）当0
13、a ?时， ? ?0fx?函数? ?f x在?0,?上单调递增，不可能有两个零点 （2）当0a ?时， ? ? 1 0, 2 fxx a ? x 1 0, 2a ? ? ? ? 1 2a 1 , 2a ? ? ? ? ? ? ?fx ? ? 0 - ? ?f x 极大值 ? ?f x的极大值为 111 ln 222 f aa ? ? ? ? ? ，由 11 ln0 22a ? ? ? ? ? 得 1 0 2 a e ?； 因为 ? 22 ln0 aaaa f eeaeaae ? ? ? ?， 所以? ?f x在 1 , 2 a e a ? ? ? ? ? 必存在一个零点； 显然当x?时， ? ?0f x ?， 所以? ?f x在 1 , 2a ? ? ? ? ? 上必存在一个零点； .
