1、. 专题专题 1.5 1.5 极值点偏移第三招极值点偏移第三招-含对数式的极值点偏移问题含对数式的极值点偏移问题 前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若? ?f x的极值点为 0 x，则根据对 称性构造一元差函数? ? 00 F xf xxf xx?，巧借? ?F x的单调性以及? ?00F?，借助于 ? 12002 f xf xfxxx? ?与 ? 002 fxxx? ? ? 02 2fxx?，比较 2 x与 01 2xx?的大小，即 比较 0 x与 21 2 xx? 的大小有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙 的想法喝彩。 本文将
2、提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据? ? 12 f xf x?建立等式，通过消参、恒等变形 转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解 例. 已知函数 2 ( )ln(2) .f xxaxa x? （1）讨论( )f x的单调性； （2）设0a ?，证明：当 1 0x a ?时， 11 ()()fxfx aa ?； （3）若函数( )yf x?的图象与x轴交于,A B两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 ()0fx?. 法二：构造以a为主元的函数，设函数) 1 () 1 ()(x a fx a fah?， 则( )ln(1)ln(1)2h aaxaxax?， 32
3、 22 2 ( )2 111 xxx a h ax axaxa x ? ? ， 由 1 0x a ?，解得 1 0a x ?， . 当 1 0a x ?时，( )0h a?，)(ah在), 0( ?上单调递增， 而(0)0h?， 所以( )0h a ?，故当 1 0x a ?时， 11 ()()fxfx aa ?. 【问题的进一步探究】【问题的进一步探究】 对数平均不等式的介绍与证明对数平均不等式的介绍与证明 两个正数a和b的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： ( , ) 2 ab abL a b ? ?（此式记为对数平均不等式对数平均不等式） 取等条件：当且仅当ab?时
4、，等号成立. 只证：当ab?时，( , ) 2 ab abL a b ? ?.不失一般性，可设ab?. 证明如下： （I）先证：( , )abL a b? 不等式 1 lnlnln2ln(1) abaaba abxxx bbaxbab ? ?其中 构造函数 1 ( )2ln(),(1)f xxxx x ?，则 2 2 211 ( )1(1)fx xxx ? ? ?. 因为1x ?时，( )0fx?，所以函数( )f x在(1,)?上单调递减， 故( )(1)0f xf?，从而不等式成立； . （II）再证：( , ) 2 ab L a b ? ? 不等式 构造函数 2(1) ( )ln,(1)
5、 (1) x g xxx x ? ? ? ，则 2 22 14(1) ( ) (1)(1) x g x xxx x ? ? ? . 因为1x ?时，( )0g x?，所以函数( )g x在(1,)?上单调递增， 故( )(1)0g xg?，从而不等式成立； 综合（I）（II）知，对, a bR?，都有对数平均不等式( , ) 2 ab abL a b ? ?成立， 当且仅当ab?时，等号成立. 例题第（例题第（3 3）问另解：）问另解：由 12 ( )()0f xf x? 22 111222 ln(2)ln(2)0xaxa xxaxa x? 22 12121212 lnln2()()xxxxa
6、 xxxx? 1212 22 1212 lnln2()xxxx a xxxx ? ? ? 故要证 12 00 1 ()0 2 xx fxx a ? ? 12 1212 lnln2xx xxxx ? ? ? . 根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证. 已知函数( )lnf xxx?与直线ym?交于 1122 ( ,), (,)A x yB x y两点. 求证： 12 2 1 0x x e ? . 由题于ym?与lnyxx?交于不同两点，易得出则0m ? 上式简化为: 2 12 ln()2lnx xe? ? 12 2 1 0?x x e 招式演练：招式演练： 已知函数? ? lnx
7、 f x xa ? ? （aR?），曲线? ?yf x?在点? ?1,1f处的切线与直线10xy? ?垂直. （1）试比较 2017 2016与 2016 2017的大小，并说明理由； （2）若函数? ? ?g xf xk?有两个不同的零点 12 ,x x，证明： 2 12 ?xxe?. 【答案】（1） 20172016 20162017?（2）见解析 . 试题解析： （1）依题意得， 所以? ? ? 2 11 1 1 a fx a a ? ? ? ? ?，又由切线方程可得? ?11 f? ?，即 1 1 1a ? ? ，解得0a ? 此时? ? lnx f x x ?， ? ? 2 1 ln
8、x fx x ? ?， 令? ?0fx?，即1 ln0x?，解得0xe?； 令? ?0fx?，即1 ln0x?，解得xe? 所以? ?f x的增区间为?0,e，减区间为?, e ? 所以?20162017ff?，即 ln2016ln2017 20162017 ?， 2017ln20162016ln2017?， 20172016 20162017?. （2）证明：不妨设 12 0xx?因为? ? 12 0g xg x? 所以化简得 11 ln0xkx?， 22 ln0xkx? 可得? 1212 lnlnxxk xx?， ? 1212 lnlnxxk xx?. 要证明 2 1 2 x xe?，即证
9、明 12 lnln2xx?，也就是? 12 2k xx? 因为 12 12 lnlnxx k xx ? ? ? ，所以即证 12 1212 lnln2xx xxxx ? ? ? 即 112 212 ln xxx xxx ? ? ? ，令 1 2 x t x ?，则1t ?，即证 ?21 ln 1 t t t ? ? ? . . 令? ? ?21 ln 1 t h tt t ? ? ? （1t ?），由 故函数? ?h t在?1,?是增函数，所以? ? ?10h th?，即 ?21 ln 1 t t t ? ? ? 得证. 所以 2 1 2 x xe?. 点睛：本题主要考查函数导数与切线的关系，
10、考查利用导数来证明不等式，考查利用分析法和导数来证明 不等式的方法.有关导数与切线的问题，关键的突破口在与切点和斜率，本题中已知切线和某条直线垂直， 也即是给出斜率，利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证明不等式通常先利用分析法分析，通过转化后 再利用导数来证明.21 教育网 已知函数? ?ln,. b f xxa a bR x ? （）讨论函数? ?f x的单调区间与极值； （）若0b ?且? ?0f x ?恒成立，求 1 1 a eb ? ? ?的最大值； （）在（）的条件下，且 1 1 a eb ? ? ?取得最大值时，设? ? 1a F bm mR b ? ?，且函数? ?F x有两
11、个零点 12 ,x x，求实数m的取值范围，并证明： 2 1 2 .x xe? 【答案】（）答案见解析；（）当ln1ba?时， 1 1 a eb ? ? ?最大为 1；（）证明过程见解析 （）由（） 知 ， 当 1 1 a eb ? ? ?取 最 大 值1时 ， ? ? 1 ln 1ln,0 a b ebabF bm b b ? ? ?， 记 . ? ? ln 0 x F xm x x ?， ? ?0ln0F xxmx? ， 不 妨 设 12 xx?， 由 题 意 11 22 lnxmx lnxmx ? ? ， 则? 1212 lnx xm xx?， ，欲证明 2 1 2 x xe?，只需证明
12、? 1 2 ln2x x?，只需证明? 12 2m xx?， 即证明 122 211 ln2 xxx xxx ? ? ? ，即证，设 2 1 1 x t x ?，则只需证明 1 ln2 1 t t t ? ? ? ，也就是证明 1 ln20 1 t t t ? ? ? ? ，记? ? 1 ln2,1 1 t u ttt t ? ? ? ，所以，所以? ?u t在 ?1,?单调递增，所以? ? ?10u tu?，所以原不等式成立.21 世纪教育网版权所有 已知函数，其中 （1）若，讨论的单调区间； （2）已知函数的曲线与函数的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，证明： . 【答案】（）见解
13、析（）见解析. 【解析】（）由已知得， 当时，； 当时， 故若，在上单调递增，在上单调递减； 故若，在上单调递减，在上单调递增 . 取，即只需证明成立即只需证成立 ，在区间上单调递增， 成立 故原命题得证 已知函数? ? ln ax f x x ?. （1）若? ?f x在点 ? ? 22 ,ef e处的切线与直线40xy?垂直，求函数? ?f x的单调递增区间； （2）若方程? ?1f x ?有两个不相等的实数解 12 ,x x，证明： 12 2xxe?. 【答案】（）?0,1和?1,e；（）见解析 . （ ） 由 ? ? 121222 121211 lnx lnxa xxlnxax lnxlnxa xxlnxax ? ? ? 12 12 lnlnxx a xx ? ? ? ? 1212 2.xxx x?，只要证 2 1 212 lnln2x xexx? 只需证? 12 121212 12 lnln lnln2 xx xxa xxxx xx ? ? ? ，不妨设 12 xx? 即证 ? 12 11 2122 2 ln,1 xxxx t xxxx ? ? ? ? 令， 只需证 ? ? ? ?21214 ln,lnln2 111 tt tg ttt ttt ? ? ? ， 则? ?g t在?1 ?，上单调递增， ? ? ?10(1)g tgt?，即证
