1、. 极值点偏移极值点偏移的纯偏移型解法的纯偏移型解法 湖北安陆一中伍海军（QQ：597917478）整理 什么是极值点偏移什么是极值点偏移 我们知道二次函数 f(x)的顶点就是极值点 0 x，若 f(x)=c 的两根的 中点为 2 21 xx ? ， 则刚好有 2 21 xx ? = 0 x， 即极值点在两根的正中间， 也就是极值点没有偏移； 而函数 x e x xg?)(的极值点 0 x=1刚好在两根的中点 2 21 xx ? 的左边， 我们称之为极值点左偏. 按极值点的偏移来分按极值点的偏移来分:分为两类：左偏 2 21 xx ? 0 x；右偏 2 21 xx ? 1 时， f(x)g(x
2、);(3)若 1 x? 2 x， 且 f( 1 x)=f( 2 x),证明： 1 x+ 2 x2. 解： （）f( )(1) x xx e?令 f(x)=0,解得 x=1 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化 情况如下表: X (,1?) 1 (1,?) f(x) + 0 - f(x) 极大值 所以 f(x)在(,1?)内是增函数，在(1,?)内是减函数. . 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)= 1 e （）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x e ? ；令 F(x)=f(x)-g(x),即 2 ( )(2) xx F xxe
3、xe ? ? ；于是 22 ( )(1)(1) xx F xxee ? ? ；当 x1 时，2x-20,从而 2x-2 e10,0,F x e? ?又所以(x)0,从而函数 F（x）在1,+)是增函数. . 又 F(1)= -1-1 ee0? ，所以x1时，有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). ()证明： （1）若 121212 .(1)(1)0,),1.xxxxxx? 12 由（ ）及f(xf(x则与矛盾 （2）若 121212 (1)(1)0,),xxxxxx? 12 由（ ）及f(xf(x得与矛盾 根据（1） （2）得 1212 (1)(1)0,1,1.xxxx?不妨设 由（）
4、可 知，) 2 f(x) 2 g(x,则) 2 g(x=) 2 f(2-x， 所以) 2 f(x) 2 f(2-x,从 而 ) 1 f(x) 2 f(2-x.因为 2 1x ?，所以 2 21x?，又由（）可知函数 f(x)在区间（-，1） 内事增函数，所以 1 x 2 2x?,即 12 xx?2. 【练习【练习 1】 已知函数xaaxxxf)2(ln)( 2 ? （1） 讨论)(xf的单调性；（2） 设0?a， 证明：当 a x 1 0?时，) 1 () 1 (x a fx a f?； （3）若函数)(xfy ?的图像与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明： f
5、 ? （x0）0 解： （I）( )(0,),f x?的定义域为 1(21)(1) ( )2(2). xax fxaxa xx ? ? ? （i）若0,( )0,( )(0,)afxf x?则所以在单调增加. （ii） 若 1 0 ,( ) 0,af xx a ?则由得且当 11 (0,),( )0,( )0.xfxxfx aa ?时当时 所以 1 ( )(0,)f x a 在单调增加，在 1 (,) a ?单调减少. （II）设函数 11 ( )()(),g xfxfx aa ?则 32 22 ( )ln(1)ln(1)2, 2 ( )2. 111 g xaxaxax aaa x g xa
6、axaxa x ? ? ? 当 1 0,( )0,(0)0,( )0xg xgg x a ?时而所以. 故当 1 0x a ?时， 11 ()().fxfx aa ? （III）由（I）可得，当0,( )ayf x?时函数的图像与 x 轴至多有一个交点， 故0a ?，从而( )f x的最大值为 11 ( ),( )0.ff aa ?且 不妨设 121212 1 (,0), (,0),0,0.A xB xxxxx a ?则由（II）得 111 211 ()()()0.fxfxfx aaa ?从而 12 210 21 ,. 2 xx xxx aa ? ?于是由（I） 知， 0 ()0.fx? 【例
7、【例 2】 已知函数 x e x x xf 2 1 1 )( ? ? ?. （1） 求函数)(xf的单调区间；（2） 证明： 若 1 x? 2 x， 且 f( 1 x)=f( 2 x)时，则 1 x+ 2 x0；当 x0 时，f(x)0，e x0，故 f(x)0；同理，当 x1 时，f(x)0.当 f(x 1) f(x2)(x1x2)时，不妨设 x1x2，由(1)知，x1(，0)，x2(0，1)下面证明：?x(0，1)， f(x)f(x)，即证 1x 1x2e x1x 1x2e x.此不等式等价于(1x)ex1x ex 0. 令 g(x)(1x)ex1x ex ，则 g(x)xe x(e2x1
8、)当 x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减， 从而 g(x)g(0)0，即(1x)ex1x ex 0.所以?x(0，1)，f(x)f(x)由 x2(0，1)，所以 f(x2)f(x2)，从而 f(x1)f(x2)由于 x1，x2(，0)，f(x)在(，0)上单调递增，所 以 x1x2，即 x1x20. 【练习【练习 2】 已知函数Raaaxexf x ?,)(， 其中图像与 x 轴交于 A(0 , 1 x)， B （0 , 2 x） ， 且 21 xx ?.证明：0)( 21 ?xxf； 【练习【练习 3】已知函数? ? 2 21 x fxxea x?有两个零点.设 12 ,x x是?
9、 ?f x的两个 零点，证明： 12 2xx?. 解:不妨设 12 xx?由题意知? ? 12 0f xf x?.要证不等式成立，只需证当 12 1xx? ? 时，原不等式成立即可.令? ?11F xfxfx?，则? ? 11xx Fxx ee ? ?， 当0x ?时，? ? 0F x ?.? ? ?00F xF?.即?11fxfx?. 令 1 1xx? ?， 则? ? 21111 11112f xf xfxfxfx?, 即 ? 21 2f xfx?.而? 21 ,21,xx?，且? ?f x在?1+?，上递增，故 21 2xx?，即 12 2xx?. 极值点偏移的极值点偏移的的纯偏移型解法的纯偏移型解法步骤：步骤： 1.构造一元差函数)2()()(xxfxfxF o? ?或是( )()() oo F xf xxf xx?； 2.对差函数 F(x)求导，判断单调性； 3.结合 F(0)=0，判断 F(x)的符号，从而确定)( 0 xxf?与)( 0 xxf?的大小关系； 4.由)()()( 20021 xxxfxfxf?_ 002 ()f xxx?=)2( 0 xxf?的大小关 系，得到)( 1 xf_)2( 0 xxf?， （横线上为不等号） ； 5.结合 f(x)单调性得到 1 x_ 02 2xx?_，进而得到 2 21 xx ? _ 0 x.
