1、. 8 8 极值点偏移之函数的选取极值点偏移之函数的选取 极值点偏移问题，其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造 新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就会选取不同的函数.www-2-1-cnjy-com 例例 1 1：已知函数? ?exf xax?有两个不同的零点 1 x， 2 x，其极值点为 0 x （1）求a的取值范围； （2）求证： 120 2xxx?； （3）求证： 12 2xx?； （4）求证： 1 2 1x x ? 解：（1）? ?exfxa?，若0a ?，则? ?0fx?，? ?f x在R上单调递增， ? ?f x至多有一个零点，
2、舍去；则必有 0a ?，得 ? ?f x在?,lna? 上递减， 在?ln , a ?上递增，要使? ?f x有两个不同的零点，则须有?ln0efaa? ? （严格来讲， 还需补充两处变化趋势的说明： 当x?时，? ?f x ?； 当x? ?时，? ?f x ?） （3）由所证结论可以看出，这已不再是? ?f x的极值点偏移问题，谁的极值点会是 1 呢？回到题设条件： . （ii）构造函数 ? ? ?2G xg xgx? ，则 （4）（i）同上； . （ii）构造函数? ? ? 1 G xg xg x ? ? ? ? ，则 当01x?时，10x? ?，但因式 1 eex x x?的符号不容易看
3、出，引进辅助函数? ? 1 eex x xx?，则 ? ? 11 e1 ex x x x ? ? ? ? ? ，当?0,1x?时，? ?0x?，得? ?x?在?0,1上递增，有? ? ?10x?，则 ? ?0G x ?， 得 ? ?G x在?0,1上递增， 有? ? ?10G xG? ， 即? ? 1 01g xgx x ? ? ? ? ；【来源：21世纪教育网】 （iii）将 1 x代入（ii）中不等式得? 12 1 1 g xg xg x ? ? ? ? ，又 2 1x ?， 1 1 1 x ?，? ?g x在?1,?上递增， 故 2 1 1 x x ?， 1 2 1x x ? 点评：虽然
4、做出来了，但判定因式 ? 2 22 ee 2 xx x x ? ? ? 及 1 eex x x?的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番 功夫，虽然? ?g x的极值点是 1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有 找到理想的函数21*cnjy*com 再次回到题设条件： ? ?0eelnlnlnln x f xax axaxxxa? ?，记函数? ?lnh xxx? ?，则有 ? ? 12 lnh xh xa?接下来我们选取函数? ?h x再解（3）、（4）两问 （3） （i）? ? 1 1h x x ? ?，得 ? ?h x在?0,1上递减，在?1,?上递增，有
5、极小值? ?11h?，又当0x ? ?时， ? ?h x ?；当x?时，? ?h x ?， 由? ? 12 h xh x?不妨设 12 01xx? ? . 【点评】用函数? ?lnh xxx? ?来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅这说明在极值点 偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度 注 1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将 11 lnlnxxa?， 22 lnlnxxa?相加得 ? 121 20 ln2ln2ln2xxx xaax? 注 2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定 1 x的范围？这是因为 1 x的范围?0,1较 2 x的范围?1,?小， 以第（3）
6、问为例，若给定?1,x?，因为所构造的函数为? ? ?2H xh xhx?，这里0x ?，且 . 20x?，得02x?，则当2x ?时， ? ?H x无意义，被迫分为两类：【来源：21cnj*y.co*m】 若 2 2x ?，则 122 2xxx?，结论成立； 当?1,2x?时，类似于原解答 而给字?0,1x?，则不会遇到上述问题当然第（4）问中给定 1 x或 2 x的范围均可，请读者自己体会其中 差别 例 2：已知函数 1 ( )ln ()f xax aR x ?有两个零点 1212 ,()x x xx?， 求证： 1 12 231 a xxe ? ?. 只 要 证 ： 1 12 12 3
7、2 a xx xxe ? ? ?即证： 1 12 2 a xxe ? ?，即证： 1 21 2 a xex ? ?，由( )h x的单调性知，只需证： 1 121 ( )()(2e) a h xh xhx ? ?， 同理构造函数 1 ( )( )(2),(0,1) a H xh xhex x ? ?，利用单调性证明，下略. . 例 3：已知( )lnf xxx?的图像上有,A B两点，其横坐标为 12 01xx?，且 12 ( )()f xf x?. （1）证明： 12 2 1xx e ?； （2）证明： 12 2 1xx e ?. 又构造函数： 1 ( )( )(1),(0) 2 g xf
8、xfxx?， 则 111 2 ( )lnln(1)2,( )0 1(1) x g xxxgx xxxx ? ? ? ， 故( )g x?在 1 (0, ) 2 上单调递增，由于0x ?时，( )g x?， 且 1 ( )ln(1)0ge e ?， 故必存在 0 1 (0, )x e ?，使得 0 ()0g x?， 故( )g x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 1 (,) 2 x上单调递增， 又0x ?时，( )0g x ?，且 1 ( )0 2 g?， 故( )0g x ?在 1 (0, ) 2 x?上恒成立， 也即( )(1)f xfx?在 1 (0, ) 2 x?上恒成立， 令 1
9、xx?，有 121 ( )()(1)f xf xfx?， . 再由 21 1 ,1( ,1)xx e ?，且( )f x在 1 ( ,1) e 上单调递增， 故 21 1xx? ?，即证： 12 1xx?成立. 综上：即证 12 2 1xx e ?成立. 从而( )(1)h tht?对 1 (0,) 2 t?恒成立，同理得出： 12 1tt?. 综上：即证 12 2 1tt e ?成立，也即原不等式 12 2 1xx e ?成立. . 例 4：已知函数? ?lnf xxmx mR? （1）若曲线? ?yf x?过点?1, 1P?，求曲线? ?yf x?在点P处的切线方程； （2）求函数? ?f
10、 x在区间?1,e上的最大值； （3）若函数? ?f x有两个不同的零点 1 x， 2 x，求证： 2 12 x xe? 【答案】（1）1y ? ?；（2）当 1 m e ?时， ? ?max1f xme? ?，当 1 1m e ?时， ? ?maxln1f xm?， 当1m ?时， ? ?maxf xm?；（3）证明见解析. 试题解析： （1）因为点?1, 1P?在曲线? ?yf x?上，所以1m? ?，解得1m ? 因为? ? 1 10fx x ? ?，所以切线的斜率为 0， 所以切线方程为1y ? ? （2）因为? ? 11 mx fxm xx ? ?， 当0m?时， ?1,xe?， ?
11、 ?0fx ?， 所以函数? ?f x在?1,e上单调递增，则? ? ? max 1f xf eme? ?； 当 1 e m ?，即 1 0m e ?时， ?1,xe?， ? ?0fx ?， 所以函数? ?f x在?1,e上单调递增，则? ? ? max 1f xf eme? ?； 当 1 1e m ?，即 1 1m e ?时， 函数? ?f x在 1 1, m ? ? ? 上单调递增，在 1 ,e m ? ? ? 上单调递减， . 则? ?max 1 ln1f xfm m ? ? ? ? ? ； 当 1 01 m ?，即1m ?时， ?1,xe?， ? ?0fx ?， 函数? ?f x在?1
12、,e上单调递减，则? ? ? max 1f xfm? 综上，当 1 m e ?时， ? ?max1f xme? ?； 当 1 1m e ?时， ? ?maxln1f xm?； 当1m ?时， ? ?maxf xm? 令 1 2 1 x x ?，则1t ?，于是 ?21 ln 1 t t t ? ? ? ， 令? ? ?21 ln 1 t f tt t ? ? ? （1t ?）， 则， 故函数? ?f t在?1,?上是增函数， . 所以? ? ?10f tf?，即 ?21 ln 1 t t t ? ? ? 成立，所以原不等式成立 所以? ? ?10f tf?，即 ?21 ln 1 t t t ?
13、 ? ? 成立，所以原不等式成立 【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等 式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应 关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值， 需要对m进行分类讨论， 分类的依据是导数的零点是否在 定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数t，然后利用导数求其最小值来求.21 世纪教育网版权所有 . 例 5：已知函数? ? 2 lnf xa xx?. （1）当2a ?时，求函数? ?yf x?在 1 ,2 2 ? ? ? 上的最大值； （2）令? ? ?g x
14、f xax?，若? ?yg x?在区间?0,3上为单调递增函数，求a的取值范围； （3）当2a ?时，函数? ? ?h xf xmx?的图象与x轴交于两点? 12 ,0 ,0 ,A xB x且 12 0xx?，又 ? ?h x ?是 ? ?h x的导函数.若正常数,? ?满足条件1,? .证明： ? 12 hxx?0.21cnjy 【答案】（1） 1? （2） 9 2 a ? （3），理由见解析 用 分 离 参 数 2 2x a x1 ? ? 在? ?0,3 上恒成立，即求2 2x x1? 的最大值. （3）有两个实根， ，两式相减， 又 ? ? 2 h x2xm x ? ， ? 12 h x
15、x? 要 证 ： ? 12 h xx0? ， 只 需 证 ： ，令可证. 试题解析：（1） ? ? 2 222x fx2x, xx ? ? 函数在,1是增函数，在1,2是减函数， 所以 . 于是 ? ? ? 12 121212 1212 2 lnxlnx2 h xx2 xxxx xxxx ? ? ? ? ? ? 21 1,2a1,2a 1 xx0.? ? ? ?且 要证： ? 12 h xx0? ，只需证： 只需证：(*) 令，(*)化为 ，只证即可 ? ?u t 在（0，1）上单调递增， 即 . 例 6：已知函数 （ ）当时，求的单调区间和极值. （ ）若对于任意，都有成立，求的取值范围 ；
16、 （ ）若且证明： 【答案】详见解析；详见解析. 试题解析： 时,因为所以 函数的单调递增区间是，无单调递减区间,无极值； 当时，令解得， 当时，当 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 在区间上的极小值为无极大值 由题意， 即问题转化为对于恒成立 . 即对于恒成立, 令,则 令,则 所以在区间上单调递增,故故 所以在区间上单调递增,函数 要使对于恒成立,只要, 又即证 构造函数 即 因为,所以即 所以函数在区间上单调递增,故 . 而故 所以即所以成立 点睛： 本题考查函数的单调性极值及恒成立问题， 涉及函数不等式的证明， 综合性强， 难度大， 属于难题 处 理导数大题时，注意分层得分的
17、原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及 极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函 数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及 技巧比较多，需要多加体会 . 例 7：已知函数? ? 2 ln (0).f xaxxx a? ? ()求? ?f x的单调区间； （） 设? ?f x极值点为 0 x， 若存在? 12 ,0,x x ?， 且 12 xx?， 使? ? 12 f xf x?， 求证： 120 2 .xxx? 【答案】（1）增区间为： 181 ,. 4 a a ? ? ? ? ? ? ? 减区间为： 181 0,. 4 a a ? ? ? ? ? ? ；（2）见解析. 试题解析： （） ? ?f x的定义域为? ? 2 121 0,21 axx fxax xx ? ? ? ?， 0,a ?由? ?0fx?得: 181 4 a x a ? ? ? 由? ?0fx?得增区间为： 181 ,. 4 a a ? ? ? ? ? ? ?
