1、. 极值点偏移的问题极值点偏移的问题 2 1212 ( )ln,( 1( )1 1 21( )() 3( ), f xxax a f xxxa af mf m f xx xx xe ? ? ? ? 1.已知为常数） （）若函数在处的切线与 轴平行，求 的值； （ ）当时，试比较与的大小； （）有两个零点证明： 2 1212 ( )ln 1 ? 2, f xxax x xxxe ? ? 变式：已知函数，a为常数。 （ ） 讨论f(x)的单调性； （ ）若有两个零点，试证明： 2 012120 ( )+sin,(0,1); 2 (1)( ) ( )(),2 x f xxaxx f xa f xf
2、xxxx ? ? 2.已知 若在定义域内单调递增，求 的取值范围； （2）当a=-2时，记f(x)取得极小值为f(x )若求证 . ? 2 12121212 1 ( )ln -,() 2 (1)(1 = 51 ,0, 2 f xxaxx aR f x xf xf xx xxx ? ? ? 3.已知 若）0，求函数f(x)的最大值； （2）令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的单调区间； （3）若a=-2,正实数满足（ ）证明： 2 1212 2(1) 1 (1)1 , x x x xxe ? ? ? ? 4.设a0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx- 证明：当时，g(
3、x)0恒成立； （2）若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围； （3）若函数f(x)有两个相异零点x求证：x 1212 3 12 ( )2ln , 1( ) 2( ), 8 f xxaaxaR f x f xx xxx xxa ? ? ? 5.已知常数。 （）求的单调区间； （ ）有两个零点，且； (i)指出a的取值范围，并说明理由；（ii)求证： 6.设函数( )e() x f xaxa a?R，其图象与x轴交于 1 (0)A x ， 2 (0)B x ，两点，且 x1x2 . （1）求a的取值范围； （2）证明： ? 12 0fx x?（( )fx?为函数( )f x的导函数） ； （3
4、）设点 C 在函数( )yf x?的图象上，且ABC 为等腰直角三角形，记 2 1 1 1 x t x ? ? ? ， 求(1)(1)at?的值 【解】 （1）( )exfxa? 若0a，则( )0fx?，则函数( )f x是单调增函数，这与题设矛盾所以0a ?，令 ( )0fx?，则lnxa? 当lnxa?时，( )0fx?，( )f x是单调减函数；lnxa?时，( )0fx?，( )f x是单调增 函数； 于是当lnxa?时，( )f x取得极小值 因为函数( )e() x f xaxa a?R的图象与x轴交于两点 1 (0)A x ， 2 (0)B x ，(x1x2)， 所以(ln )
5、(2ln )0faaa?，即 2 ea ?. 此时，存在1ln(1)e0af?，； 存在 3 3lnln(3ln )3 lnaafaaaaa?， 32 30aaa?， 又由( )f x在(ln )a?，及(ln)a?，上的单调性及曲线在 R 上不间断，可知 2 ea ?为所 求取值范围. （2）因为 1 2 1 2 e0 e0 x x axa axa ? ? ? ? ? ， ， 两式相减得 21 21 ee xx a xx ? ? ? 记 21 (0) 2 xx s s ? ?， 则 ? 12 12 212 12 2 21 eee e2(ee ) 22 xx xx xx ss xx fs xx
6、s ? ? ? ? ? ? ? ? ， 设 ( )2(ee ) ss g ss ? ?，则( )2(ee )0 ss g s ? ?，所以( )g s是单调减函数， 则有( )(0)0g sg?，而 12 2 e 0 2 xx s ? ?，所以 ? 12 0 2 xx f ? ? 又( )exfxa?是单调增函数，且 12 12 2 xx x x ? ? 所以 ? 12 0fx x? . （3）依题意有e0 i x i axa?，则(1)e0 i x i a x ?112 i xi?（，） 于是 12 2 12 e(1)(1) xx axx ? ?，在等腰三角形 ABC 中，显然 C = 90
7、，所以 12 012 () 2 xx xxx ? ?，即 00 ()0yf x?， 由直角三角形斜边的中线性质，可知 21 0 2 xx y ? ? ?， 所以 21 0 0 2 xx y ? ?，即 12 21 2 12 e()0 22 xx xx a xxa ? ? ?， 所以 21 1212 (1)(1)()0 22 xx a axxxxa ? ?， 即 21 1212 (1)(1) (1)(1)(1)(1)0 22 xx a axxxx ? ? 因为 1 10x ? ?，则 ? 2 221 11 1 1 111 10 1212 x xxx a a xx ? ? ? ? ? ， 又 2
8、1 1 1 x t x ? ? ? ，所以 221 (1)(1)0 22 a attt?， 即 2 1 1 a t ? ? ? ，所以(1)(1)2.at? 7.已知函数( )() x f xxcxR ? ? （）求函数( )f x的单调区间和极值； （）已知函数( )yg x?的图象与函数( )yf x?的图象关于直线1x ?对称，证明当 1x ?时，( )( )f xg x? （）如果 12 xx?，且 12 ( )()f xf x?，证明 12 2xx? （）解：f( )(1) x xx e? 令 f(x)=0,解得 x=1 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 X (,1
9、?) 1 (1,?) f(x) + 0 - f(x) 极大值 所以 f(x)在(,1?)内是增函数，在(1,?)内是减函数。 . 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)= 1 e （）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x e ? 令 F(x)=f(x)-g(x),即 2 ( )(2) xx F xxexe ? ? 于是 22 ( )(1)(1) xx F xxee ? ? 当 x1 时，2x-20,从而 2x-2 e10,0,F x e? ?又所以(x)0,从而函数 F（x）在1,+ )是增函数。 又 F(1)= -1-1 ee0? ，
10、所以x1时，有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). )证明： （1） 若 121212 (1)(1)0,),1.xxxxxx? 12 由（ ）及f(xf(x则与矛盾。 （2）若 121212 (1)(1)0,),.xxxxxx? 12 由（ ）及f(xf(x得与矛盾。 根据（1） （2）得 1212 (1)(1)0,1,1.xxxx?不妨设 由（）可知，) 2 f(x) 2 g(x,则) 2 g(x=) 2 f(2-x，所以) 2 f(x) 2 f(2-x,从而 ) 1 f(x) 2 f(2-x.因为 2 1x ?，所以 2 21x?，又由（）可知函数 f(x)在区间（-，1） 内事增
11、函数，所以 1 x 2 2x?,即 12 xx?2. 8. 已知函数xaaxxxf)2(ln)( 2 ? （12 分） (I)讨论 f(x)的单调性； （II）设 a0，证明：当 a x 1 0?时，) 1 () 1 (x a fx a f? ； （III） 若函数 y= f(x)的图像与 x 轴交于 A、 B 两点， 线段 AB 中点的横坐标为 x0， 证明： f(x0)0 时 f(x) f(x)即可。 1)1( 11 1 1 1 )()( 2 222 xex x e e x x e x x xfxf x x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。 1)21 ()( 0,1)1
12、 ()( 22 ? xx exxgxxexxg令。 , 04)21 ()( 1)21 ()( 222 ? xxx xeexxhexxh令 0)0()(0)(?hxhxhy）上单调递减，在（ 0)0()(0)(?gxgxgy）上单调递减，在（ . 0001)1( 1 2 2 ? ? ? ? yxxex x e y x x 时）上单调递减，但，在（ )()(0)()(xfxfxfxf? . 0)()( 212121 ?xxxxxfxf时，且所以，当 10.已知函数 2 ( )lnf xaxx?. （1）当2a ?时，求函数( )yf x?在 1 ,2 2 上的最大值； （2）令( )( )g xf
13、 xax?，若( )yg x?在区间(0,3)上不单调，求a的取值范围； （3）当 2a ? 时，函数 ( )( )h xf xmx? 的图象与x轴交于两点 12 ( ,0), (,0)A xB x ，且 12 0xx? ，又 ( )h x? 是 ( )h x 的导函数.若正常数 ,? ? 满足条件 1,? .证明： 12 ()0hxx? 解（1） , 22 2 2 )( 2 x x x x xf ? ? 函数 )(xfy ? 在 2 1 ,1是增函数，在1,2是减函数，3 分 所以111ln2) 1 ()( 2 max ? fxf 4 分 （2）因为axxxaxg? 2 ln)(，所以ax
14、x a xg?2)(， 5 分 因为 )(xg 在区间 )3 , 0( 上不单调，所以0)(? ? x g在（0，3）上有实数解，且无重根， . 由0)(? ? x g，有 1 2 2 ? ? x x a=) 2 9 , 0(4) 1 1 1(2? ? ? x x， （ )3 , 0(?x ） 6 分 又当8?a时，0)(? ? x g有重根2?x， 7 分 综上 ?a ) 2 9 , 0( 8 分 （3）mx x xh?2 2 )( ，又 0)(?mxxf 有两个实根 21,x x， ? ? ? ? ? 0ln2 0ln2 2 2 22 1 2 11 mxxx mxxx ，两式相减，得)()
15、()ln(ln2 21 2 2 2 121 xxmxxxx?， )( )ln(ln2 21 21 21 xx xx xx m? ? ? ? , 10 分 于是 )( )ln(ln2 )(2 2 )( 21 21 21 21 21 21 xx xx xx xx xx xxh? ? ? ? ? ? ? ? )(12( )ln(ln22 12 21 21 21 xx xx xx xx ? ? ? ? ? ? ? 11 分 0)(12(, 12, 12 ?xx? 要证：0)( 21 ? xxh?，只需证： 0 )ln(ln22 21 21 21 ? ? ? ? ?xx xx xx? 只需证： 0ln 2 1 21 21 ? ? ? x x xx xx ? (*) 12 分 令 ) 1 , 0( 2 1 ? t x x ，(*)化为 0 ln 1 ? ? ? t t t ? ，只证 0 1 ln)(? ? ? ? ?t t ttu 即可 ( )u t在 （0，1）上单调递增， 0 1 ln, 0) 1 ()(? ? ? ? ?t t tutu ，即 0ln 2 121 ? ? ? x x t xx ? 0)( 21 ? xxh?14 分
