1、. 极值点偏移问题（极值点偏移问题（2） 函数的选取（操作细节） 杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001) 例例 4 已知函数? ? x f xeax?有两个不同的零点 12 ,x x，其极值点为 0 x （1）求 a 的取值范围； （2）求证： 120 2xxx?； （3）求证： 12 2xx?； （4）求证： 1 2 1x x ? 解解： （1）? ? x fxea?，若0a ?，则? ?0fx?，? ?f x在 R 上单增，? ?f x至多有 1 个零点，舍去；故必有0a ?，易得? ?f x在?,lna?上单减，在?ln , a ?上单增，要 使? ?f x有两
2、个不同的零点，则有?ln0faae?（严格来讲，还需补充两处变化趋 势的说明：当x?时，? ?f x ?；当x?时，? ?f x ?） （2）由所证结论知这是? ?f x的极值点偏移问题，选取函数? ?f x来做下面按对称化 构造的三个步骤来写，其中 0 lnxa? 由（1）知? ?f x在? 0 ,x?上单减，在? 0, x ?上单增，可设 102 xxx?； 构造函数? ? ? 0 2F xf xfxx?，则 ? ? ? 0 2 0 22 xxx F xfxfxxeea ? ?， 当 0 xx?时 ， 有? ? 0 2 220 xxx Fxe ea ? ?， 则 ? ?F x 在? 0 ,
3、x?上 单 增 ， 得 ? ? 0 0F xF x?，即? ? 00 2f xfxxxx?； 将 1 x代入中不等式得? ? 1201 2f xf xfxx?，又 20 xx?， 010 2xxx?， ? ?f x在? 0, x ?上单增，故 201 2xxx?， 120 2xxx? （3） 由所证结论可以看出， 这已不再是? ?f x的极值点偏移问题 谁的极值点会是1x ? 呢？回到题设条件：? ?0 x xx e f xeaxeaxa x ?，记函数? ? x e g x x ?，则有 ? ? 12 g xg xa?求导得? ? ? 2 1 x ex gx x ? ?，则1x ?是 ? ?
4、g x的极小值点，我们选取函 . 数? ?g x来证（3）中结论 12 2xx?，也可证（4）中结论 1 2 1x x ? ? ?g x在?,0?上单减，在?0,1上单减，在?1,?上单增；? ?g x的符号与x的符 号相同；当x?时，? ?0g x ?；当0x ? ?时，? ?g x ?；当0x ? ?时， ? ?g x ?；当x?时，? ?g x ? ?g x的图象如下（由图象亦可得ae? ） ， 由? ? 12 g xg xa?可设 12 01xx? ?； x y y=a e 1 x2x1 O 构造函数? ? ?2G xg xgx?，则 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2222 11
5、 21 22 xx xx exexee G xgxgxx xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? ， 当01x?时，10x? ?，但因式 ? 2 22 2 xx ee x x ? ? ? 的符号不容易看出，引进辅助函数 ? ? 2 x e x x ?， 则? ? ? 3 2 x ex x x ? ? ?， 得 ? ?x? 在?0,2上单减， 当?0,1x?时，?21,2x? ?， 即022xx?，则? ?2xx?，即 ? 2 22 0 2 xx ee x x ? ? ? ，? ?0G x?，得? ?G x在 ?0,1上单减，有? ? ?10G xG? ，即? ?201g xgxx?； 将
6、1 x代入中不等式得? ? 121 2g xg xgx?， 又 2 1x ?， 1 21x?，? ?g x在 ?1,?上单增，故 21 2xx?， 12 2xx? . （4）同上； 构造函数? ? ? 1 G xg xg x ? ? ? ? ，则 ? ? ? ? ? 1 1 22222 1 1 1 1111 1 x x x x xexe e ex x G xgxg xxxxx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 当01x?时 ，10x? ?， 但 因 式 1 x x exe?的 符 号 不 容 易 看 出 ， 引 进 辅 助 函 数 ? ? 1 x x xexe?， 则?
7、? 1 1 1 x x xee x ? ? ? ? ? ， 当?0 , 1x?时，? ?0x?， 得? ?x?在?0,1 上单增， 有? ? ?10x?， 则? ?0G x?， 得? ?G x在?0,1上单增， 有? ? ?10G xG?， 即? ? 1 01g xgx x ? ? ? ? ； 将 1 x代入中不等式得? ? 12 1 1 g xg xg x ? ? ? ? ，又 2 1x ?， 1 1 1 x ?，? ?g x在 ?1,?上单增，故 2 1 1 x x ?， 1 2 1x x ? 点评点评：结论虽已证出，但判定因式 ? 2 22 2 xx ee x x ? ? ? 及 1 x
8、 x exe?的正负时，均需辅助函数 的介入，费了一番功夫虽然? ?g x的极值点是 1，理论上可以用来做（3） （4）两问，但实 践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数 再次回到题设条件： ? ?0,0lnlnlnln x f xeax ae xxaxxxa? ?， 记函数? ?lnh xxx?，则有? ? 12 lnh xh xa?接下来我们选取函数? ?h x再证（3） （4）两问 （3） ? ? 1 1h x x ? ?， 得 ? ?h x在?0,1上单减， 在?1,?上单增， 有极小值? ?11h?； 又当0x ? ?时，? ?h x ?；当x?时，? ?h x ?故? ?h x的
9、图象如下（由图 象得ln1a ?，亦得ae?） ，由? ? 12 lnh xh xa?可设 12 01xx? ? . x y y=x lnx y=lna x2x1 1 1 O 构造函数? ? ?2H xh xhx?，则 ? ? ? 1111 2111 22 Hxh xhxx xxxx ? ? ? ? ? ， 当01x?时，10x? ?， 11 0 2xx ? ? ，则? ?0Hx?，得? ?H x在?0,1上单减，有 ? ? ?10H xH? ，即? ?201h xhxx?； 将 1 x代入中不等式得? ? 121 2h xh xhx?，又 2 1x ?， 1 21x?，? ?h x在 ?1,
10、?上单调递增，故 21 2xx?， 12 2xx? （4）同上； 构造函数? ? ? 1 H xh xh x ? ? ? ? ，则 ? ? ? 2 22 11111 111Hxh xhx xxxxx ? ? ? ? ， 当01x?时 ，? ?0Hx?， 得? ?H x在?0,1上 单 增 ， 有? ? ?10H xH?， 即 ? ? 1 01h xhx x ? ? ? ? ； 将 1 x代入中不等式得? ? 12 1 1 h xh xh x ? ? ? ? ， 又 2 1x ?， 1 1 1 x ?，? ?h x在?1,? 上单调递增，故 2 1 1 x x ?， 1 2 1x x ? 点评点
11、评：用函数lnyxx?来做（3） （4）两问，过程如行云流水般，格外顺畅这说明 . 在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度 注注 1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将 11 lnlnxxa?， 22 lnlnxxa?相加得 ? 121 20 ln2ln2ln2xxx xaax?； 注注 2：在第步中，我们为什么总是给定 1 x的范围？这是因为 1 x的范围?0,1较 2 x的范 围?1,?小 以 第 （ 3 ） 问 为 例 ， 若 给 定?1,x?， 因 为 所 构 造 的 函 数 为 ? ? ?2H xh xhx? ，这里0x ?，且20x?，得02x?，则当2x ?时
12、，? ?H x 无意义， 需要分为两类： （1） 若 2 2x ?， 则 122 2xxx?， 结论成立； （2） 当?1,2x?时， 同原解答而给定?0,1x?，则不会遇到上述问题当然第（4）问中给定 1 x或 2 x的范围 均可，请读者自己体会其中差别 思考思考：上一讲中练习 1 应该用哪一个函数来做呢？ 提示提示： ln1 ln00, x xaxa xe ? ? ? ? ，用函数 ln x y x ?来做 2 1 2 x xe?；或用函数 lnyxax?来做 2 12 2 xxe a ? 练习练习 2 已知函数? ?lnf xxmmx? （1）求? ?f x的单调区间； （2）设1m ?， 12 ,x x为函数? ?f x的两个零点，求证： 12 0xx? 提示提示： （2）? ?ln mx f xxmmxexm? ?，用函数? ? mx g xex?来做 12 2ln 0 m xx m ? ?
