1、. 极值点偏移极值点偏移问题问题（6） 泰勒展开（本质回归） 杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001) 这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来， 揭示极值点偏移问题的高等数学背景 以 极小值点的偏移为例进行说明，如下左图为极小值点 0 x左偏，右图为极小值点 0 x右偏 f x ( ) x x2x1+x2 2 x0x1 f x ( ) x1 x0 x1+x2 2 x2 x 极值点发生偏移，直观表现为函数图象在极值点左右两侧（包含极值点 0 x的一个邻域 ? 00 ,xx xx?）的增减速度不同 如上左图，导函数? ?fx?（曲线上一动点? ?, x f x处切线的斜率）
2、一直在增加，但增 加得越来越慢；如上右图，导函数? ?fx?也一直在增加，但增加得越来越快 一阶导数? ?fx?增加的速度（快慢）用什么来表示（刻画、衡量）？ 用二阶导数? ?fx?的大小来表示（类似于加速运动中速度增加的快慢由加速度的大小 来决定样） 左图中，? ?fx?增加即? ?fx?单调递增，得? ?0fx?；? ?fx?增加得越来越慢，则 ? ?fx ?的绝对值越来越小，又 ? ?0fx ?，故 ? ?fx ?单调递减 右图中，? ?fx?增加即? ?fx?单调递增，得? ?0fx?；? ?fx?增加得越来越快，则 ? ?fx ?的绝对值越来越大，又 ? ?0fx ?，故 ? ?fx
3、 ?单调递增 二阶导数? ?fx?的单调性用什么来表示？ 当然是三阶导数? ?fx?的正负！左图中，? ?0fx?；右图中，? ?0fx? 于是，极小值点的偏移方向（左偏还是右偏）可用三阶导函数? ?fx?的正负（符号） 来判定若? ?0fx?，则极小值点左偏；若? ?0fx?，则极小值点右偏 同样的分析，可以知道极大值点的偏移方向也可用三阶导数? ?fx?的正负来判定，结 . 论是：若? ?0fx?，则极大值点右偏；若? ?0fx?，则极大值点左偏过程交给读者， 提醒：分析时应注意? ?0fx? 以上只是直观（或者说非常粗略）的分析，下面拟用高等数学中的泰勒展开式进行严格 证明，算作极值点偏
4、移问题的另一种本质回归 为 了 讨 论 问 题 的 方 便 ， 不 妨 假 设 区 间I上 的 可 导 函 数? ?yf x?满 足 ? ? 1212 fxfxxx?，且在区间? 12 ,x x内只有一个极小值点 0 x，即当? 10 ,xx x?时， 有? ?0fx?；当? 02 ,xx x?时，有? ?0fx?于是，判断极值点左偏还是右偏，即比较 0 x与 12 2 xx? 的大小关系，这可通过 12 2 xx f ? ? ? ? 的正负得到 记 12 2 xx m ? ?，将? ? 1 f x和? 2 f x分别在xm?处泰勒展开得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 23 1 11
5、11 26 fmf f xf mfmxmxmxm ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? 23 2 2222 26 fmf f xf mfmxmxmxm ? ?， 其中? 11, x m?，? 22 ,m x? 注意到? 12 xmxm?，且? ? 12 f xf x?，以上两式相减得 ? ? ? ? 3 12 12 12 0 62 ffxx fmxx ? ? ? ? ? ， 即? ? ? ? ? 2 1212 68 ffxx fm ? ? ? 所以， 若当? 12 ,xx x?时， 恒有? ?0fx?， 则? ? 1 0f?，? 2 0f?，? ?0fm?， 得 12 0 2 xx mx
6、? ?，即极小值点左偏；若当? 12 ,xx x?时，恒有? ?0fx?，同理可得 ? ?0fm ?，有 12 0 2 xx mx ? ?，即极小值点右偏 极大值点的情形，推导过程同上，但结果却恰好相反，不再详述至此，我们得到极值 点偏移问题的如下判定定理： ? ?0fx ?极小值点左偏（极大值点右偏） ； ? ?0fx ?极小值点右偏（极大值 点左偏） . 注注 1：从推导过程不难发现，这只是一个充分性判定定理（而非必要） ，使用时应注意； 注注 2：此定理直接用来判定极值点的偏移方向，即得到 12 xx?与 0 2x的大小关系，对于 1 x， 2 x的其它不等式的证明或将无能为力 下面就用
7、这个判定定理再解前面举过的例题 再解例再解例 1：? ? x f xxe?，? ? ?3 x fxx e?；若3x ?，则 ? 1212 max,32xxx x? ?；若3x ?，则? ?0fx?，极大值点1x ?左偏，有 12 2xx? 再解例再解例 2：? ? 2 21 x fxxea x?， ? ?1 x fxex?；若1x ? ?，由 ? ?20fa? 知，可设 12 12xx? ?，则 12 2xx?；若1x ? ?，则? ?0fx?，极小 值点1x ?右偏，有 12 2xx? 再解例再解例 4：（2）? ? x f xeax?，? ?0 x fxe?， 则极小值点 0 x右偏， 有
8、 120 2xxx?； （3）? ?lnh xxx?，? ? 3 2 0hx x ? ?，则极小值点1x ?左偏，有 12 2xx? 再解例再解例 6：? ?lng xxx?，? ? 2 1 0gx x ? ?，则极小值点 1 x e ?左偏，有 2 ab e ? 再解例再解例 8：? ?2lnf xxax?，? ? 3 4 0fx x ?，则极大值点 2 x a ?左偏，有 12 4 xx a ?，则 122 46 2xxx aa ? 再解例再解例 10：? ? 2 ln2f xxaxa x?，? ? 3 2 0fx x ?，则极大值点 1 x a ?左偏， 有 12 2 xx a ? 更多例子恕不一一再解
