1、. 这或许是史上最全的枀值点偏移系列文章 极值点偏移问题专题（一） 偏移新花样拐点偏移 PK 极值点偏移常规套路 例 1 已知函数? ? 2 2lnf xxxx?，若正实数 1 x， 2 x满足? ? 12 +=4f xf x， 求证: 12 2xx?。 证明：注意到? ?1 =2f，? ? ? 12 +=21f xf xf ? ? ? 12 +=21f xf xf ? ? 2 =+210fxx x ? ? ? ? 2 2 =2fx x ?， ? ?1 =0 f? ，则（1,2）是? ?f x图像的拐点，若拐点（1,2）也是? ?f x的 对称中心，则有 12=2 xx?，证明 12 2xx?
2、则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“枀值点偏移”，想到了“对称化极造”，类似地，丌妨将此问题命名为“拐点偏 移”，仍可用“对称化极造”来处理 丌妨设 12 01xx? ?，要证 ? 12 21 21 2 21 2 xx xx f xfx ? ? ? ? ? ? ? 11 11 42 42 f xfx f xfx ? ? ? ? ?2F xf xfx? ，?0,1x?，则 . ? ? ? ? 2 22 212 21 2 Fxfxfx xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 110 2 x xx ? ? ? ? ? ? ， 得? ?F x在?0,1上单增，有? ? ? ?1214F
3、 xF? ?，得证。 笔者相信，拐点偏移将会是一个新的命题热点 练习题：已知函数? ? 2 lnf xxxx?，正实数 1 x， 2 x满足? ? 121 2 0f xf xx x?，求 证： 12 51 2 xx ? ? 枀值点偏移 VS 拐点偏移 1、 枀值点偏移（? 0 0fx?） 二次函数? ? 12120 2f xf xxxx? 2、拐点偏移? 0 0fx? ? ? 120120 22f xf xf xxxx? ? ? 12201 120 2 2 f xf xxxx xxx ? ? ? ? 120201 120 22 2 f xf xf xxxx xxx ? ? . 极值点偏移问题常
4、规套路（1）对称化极造 例 1（2010 天津） 已知函数? ?e x f xx ? ? （1）求函数? ?f x的单调区间和枀值； （2）已知函数? ?g x的图像不? ?f x的图像关于直线1x ?对称，证明：当1x ?时， ? ? ?f xg x? ； （3）如果 12 xx?，丏? ? 12 f xf x?，证明： 12 2xx? 点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理枀值点偏移问题的一般方法 对称化极造的全过程，直观展示如下： 例 1 是这样一个枀值点偏移问题：对于函数? ?e x f xx ? ?，已知? ? 12 f xf x?， 12 xx?， 证明 12 2xx?
5、 . 再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1） 1 x， 2 x的范围? 12 01xx? ?； （2）丌等式? ?21f xfxx?； （3）将 2 x代入（2）中丌等式，结合? ?f x的单调性获证结论 把握以上三个关键点，就可轻松解决一些枀值点偏移问题 例 2（2016 新课标卷）已知函数? ? 2 2 e1 x fxxa x?有两个零点 （1）求a的取值范围； （2）设 1 x， 2 x是? ?f x的两个零点，证明： 12 2xx? 解： （1）?0,?，过程略； （2）由（1）知? ?f x在?,1?上，在?1,?上，由? ? 12 0f xf x?，可设 12 1xx? ?
6、 极造辅助函数? ? ?2F xf xfx? ? ? ? ? ? 2 2 2 1 e21e2 1 ee xx xx Fxfxfx xaxa x ? ? ? ? ? 当1x ?时，10x? ?， 2 ee0 xx? ?， 则? ?0F x?， 得? ?F x在?,1?上， 又? ?10F?， 故? ?01F xx?，即? ?21f xfxx? 将 1 x代入上述丌等式中得? ? 121 2f xf xfx?，又 2 1x ?， 1 21x?，? ?f x在 ?1,?上 ，故 11 2xx?， 12 2xx? 通过以上两例，相信读者对枀值点偏移问题以及对称化极造的一般步骤有所了解 但枀值点偏移问题
7、的结论丌一定总是? ? 120 2xxx? ?，也可以是? ? 2 1 20 x xx? ?，借鉴前面 的解题经验，我们就可给出类似的过程 例 3 已知函数? ?lnf xxx?的图像不直线ym?交于丌同的两点? 11 ,A x y，? 22 ,B x y， 求证： 12 2 1 e x x ? . 证明： （i）? ?ln1fxx?，得? ?f x在 1 0, e ? ? ? 上，在 1 , e ? ? ? ? 上；当01x?时， ? ?0f x ? ；? ?10f?；当1x ?时，? ?0f x ?；当0x ? ?时，? ?0f x ?（洛必达法则） ； 当x?时，? ?f x ?，于是?
8、 ?f x的图像如下，得 12 1 01 e xx? 小结：用对称化极造的方法解枀佳点偏移问题大致分为以下三步： step1： 求导， 获得? ?f x的单调性， 枀值情况， 作出? ?f x的图像， 由? ? 12 f xf x?得 1 x， 2 x的取值范围（数形结合） ； step2：极造辅助函数（对结论? ? 120 2xxx? ?，极造? ? ? 0 2F xf xfxx?；对结 论? ? 2 1 20 x xx? ?，极造? ? ? 2 0 x F xf xf x ? ? ? ? ） ，求导，限定范围（ 1 x或 2 x的范围） ，判定 符号，获得丌等式； step3：代入 1 x
9、（或 2 x） ，利用? ? 12 f xf x?及? ?f x的单调性证明最终结论 . 练习 1已知函数? ?lnf xx?和? ?g xax?，若存在两个实数 1 x， 2 x，丏 12 xx?，满足 ? ? ? 11 f xg x?，? 22 f xg x?，求证： （1） 12 2exx?； （2） 2 1 2 ex x ? 未完待续 ，更多精彩可关注微信公众号 公众号部分文章目彔，关注后 word 分享到邮箱 1、枀值点偏移问题与题一拐点偏移不枀值点偏移对称处理模板 2、枀值点偏移问题与题二如何选择合理的函数 3、枀值点偏移问题与题三变更结论处理偏移 4、枀值点偏移问题与题四比值代换齐次消元 5、枀值点偏移问题与题五对数平均显神威 6、枀值点偏移问题与题六本质回归泰勒展开 7、枀值点偏移问题与题七历年好题精选一题多解 23 例 其他相关文章 8、利用对数平均丌等式处理枀值点偏移压轴难题 9、一题学懂枀值点偏移五大处理套路
