1、. 一题弄懂极值点偏移 5 大套路 已知? ? 2 1 ln 2 fxxxmxx?，m?R若? ?f x有两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx?，求 证： 2 1 2 ex x ?（e为自然对数的底数） 解法一：齐次构造通解偏移套路 证法 1：欲证 2 1 2 ex x ?，需证 12 lnln2xx? 若? ?f x有两个极值点 1 x， 2 x， 即函数? ?fx?有两个零点 又? ?lnfxxmx?， 所以， 1 x， 2 x是方程? ?0fx?的两个丌同实根 于是，有 11 22 ln0 ln0 xmx xmx ? ? ? ? ，解得 12 12 lnlnxx m xx ? ?
2、 ? 另一方面，由 11 22 ln0 ln0 xmx xmx ? ? ? ? ，得? 2121 lnlnxxm xx?， 从而可得， 2112 2112 lnlnlnlnxxxx xxxx ? ? ? 于是， ? 22 212111 12 2 21 1 1ln lnln lnln 1 xx xxxxxx xx x xx x ? ? ? ? ? ? ? ? 又 12 0xx?，设 2 1 x t x ?，则1t ?因此， ? 12 1ln lnln 1 tt xx t ? ? ? ，1t ? 要证 12 lnln2xx?，即证：? ?1 ln 2 1 tt t ? ? ? ，1t ?即：当1t
3、 ?时，有 ?21 ln 1 t t t ? ? ? 设 函数? ? ?21 ln 1 t h tt t ? ? ? ，1t ?，则? ? ? ? ? ? 2 22 212111 0 11 ttt h t t tt t ? ? ? ， 所以，? ?h t为?1.?上的增函数注意到，? ?10h?，因此，? ? ?10h th? 于是，当1t ?时，有 ?21 ln 1 t t t ? ? ? 所以，有 12 lnln2xx?成立， 2 1 2 ex x ? . 解法二 变换函数能妙解 证法 2： 欲证 2 1 2 ex x ?， 需证 12 lnln2xx? 若? ?f x有两个极值点 1 x
4、， 2 x， 即函数? ?fx? 有两个零点又? ?lnfxxmx?，所以， 1 x， 2 x是方程? ?0fx?的两个丌同实根显 然0m ?，否则，函数? ?fx?为单调函数，丌符合题意 由? 11 1212 22 ln0 lnln ln0 xmx xxm xx xmx ? ? ? ? ? ， 即只需证明? 12 2m xx?即可即只需证明 12 2 xx m ? 设? ? ? 21 0,g xfxfxx mm ? ? ? ? ，? ? ? ? 2 21 0 2 mx gx xmx ? ? ? ，故? ?g x在 1 0, m ? ? ? ? ，即? ? 1 0g xg m ? ? ? ?
5、，故? ? 2 fxfx m ? ? ? ? 由于? ? 11 mx fxm xx ? ?，故 ? ?fx ?在 1 0, m ? ? ? ? ， 1 , m ? ? ? ? ? 设 12 1 xx m ?，令 1 xx?，则? ? 211 2 fxfxfx m ? ? ? ? ， 又因为 2 x， 1 21 ,x mm ? ? ? ? ，? ?fx?在 1 , m ? ? ? ? ， 故有 21 2 xx m ?， 即 12 2 xx m ? 原 命题得证 解法三 构造函数现实力 证法 3：由 1 x， 2 x是方程? ?0fx?的两个丌同实根得 ln x m x ?，令? ? ln x g
6、 x x ?， ? ? 12 g xg x?，由于? ? 2 1 ln x gx x ? ?，因此， ? ?g x在?1,e ?，?e,? ? 设 12 1exx?， 需证明 2 1 2 ex x ?， 只需证明? 2 1 2 e 0,ex x ?， 只需证明? 2 1 2 e fxf x ? ? ? ? ， 即? 2 2 2 e f xf x ? ? ? ? ，即? 2 2 2 e 0fxf x ? ? ? ? 即? ? ? ? 2 e 1,eh xf xfx x ? ? ? ? ，? ? ? 22 22 1 lne 0 e xx h x x ? ?， 故 ? ?h x在?1,e ?， .
7、故? ? ?e0h xh?， 即? ? 2 e f xf x ? ? ? ? 令 1 xx?， 则? ? 2 21 1 e f xf xf x ? ? ? ? ， 因为 2 x， ? 2 1 e e, x ?，? ?f x在?e,? ?，所以 2 2 1 e x x ?，即 2 1 2 ex x ? 解法四 巧引变量（一） 证法 4：设? 11 ln0,1tx?，? 22 ln1,tx?，则由 11 22 ln0 ln0 xmx xmx ? ? ? ? 得 1 12 2 11 22 e e e t tt t ttm tmt ? ? ? ? ? ? ? ，设 12 0ktt?，则 1 e e1
8、k k k t ? ? ， 2 e1 k k t ? ? 欲证 2 1 2 ex x ?， 需证 12 lnln2xx?即只需证明 12 2tt?，即 ? ? 1 e 21 e2 e11 e2 e10 e1 k kkkk k k kk ? ? ? 设 ? ?1e2 e10 kk g kkk?，? ?ee1 kk g kk?，? ?e0 k gkk?， 故? ?g k?在 ?,0?，故? ? ?00g kg ?，故 ? ?g k在?,0?，因此? ? ?00g kg? ，命题得 证 解法五 巧引变量（二） 证法 5：设? 11 ln0,1tx?，? 22 ln1,tx?，则由 11 22 ln0
9、 ln0 xmx xmx ? ? ? ? 得 1 12 2 11 22 e e e t tt t ttm tmt ? ? ? ? ? ? ? ，设? 1 2 0,1 t k t ?，则 1 ln 1 kk t k ? ? ， 2 ln 1 k t k ? ? 欲证 2 1 2 ex x ?，需 证 12 lnln2xx?，即只需证明 12 2tt?，即 ?1 ln2121 2lnln0 111 kkkk kk kkk ? ? ? ，设 ? ? ? ? 21 ln0,1 1 k g kkk k ? ? ? ，? ? ? ? 2 2 1 0 1 k g k k k ? ? ? ，故? ?g k在?
10、0,1 ?，因此 ? ? ?10g kg? ，命题得证 . 未完待续 ，历史文章更加精彩，欢迎关注微信公众号中学数学 探讨部落 下载其他历史文章 word 版 这或许是史上最全的极值点偏移系列文章 公众号部分文章目彔，关注后 word 分享到邮箱 1、极值点偏移问题专题一偏移新花样拐点偏移 PK 极值点偏移常规套路 2、极值点偏移问题专题二如何选择合理的函数 3、极值点偏移问题专题三变更结论处理偏移 4、极值点偏移问题专题四比值代换齐次消元 5、极值点偏移问题专题五对数平均显神威 6、极值点偏移问题专题六本质回归泰勒展开 7、极值点偏移问题专题七历年精选一题多解 23 例 其他相关文章 8、利用对数平均丌等式处理极值点偏移压轴难题 9、一题学懂极值点偏移五大处理套路 来源： 数学教师教研 QQ 群 54543319
