1、洛必达法则洛必达法则 型型一、一、 0 0 型型二、二、 型极限型极限型或型或三、可化为三、可化为 0 0 如果函数 ，其分子、 分母都趋于零或都趋于无穷大. 那么，极限 可能存在，也可能不 存在.通常称这种极限为未定型. )( )( lim )( xg xf x ax 时或当)( )( )( xax xg xf 并分别简记为 .这节将介绍一种计算 未定型极限的有效方法洛必达 法则. 型型或 0 0 )HospitalL ( 一、一、 ，0)(lim, 0)(lim ) 1 ( xgxf axax 型 0 0 定理4.4 如果f(x)和g(x)满足下列条件： ，且存在 与可以除外的某邻域内在点
2、 0)(, )()(),( )2( xg xgxfaxa ，或无穷大存在)( )( )( lim ) 3( xg xf ax . )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf axax 那么 由于 可知x=a或者是f(x)， g(x)的连续点，或者是f(x),g(x)的可去间断点. 0)(lim 0)(lim xgxf axax ，证 如果x=a为f(x)，g(x)的连续点，则可知必有f(a)=0， g(a)=0.从而 . )()( )()( )( )( agxg afxf xg xf 由定理的条件可知，在点a的某邻域内以a及x为 端点的区间上，f(x)，g(x)满足柯西中值
3、定理条件. 因此 . , )( )( )()( )()( )( )( 之间与在xa g f agxg afxf xg xf . )( )( lim )( )( lim )( )( lim )( )( lim xg xf g f g f xg xf axaaxax ，因此时，必有当aax 如果x=a为f(x)和g(x)的可去间断点，可以构造新 函数F(x)，G(x). , , 0 , ),( )( ax axxf xF . , 0 , ),( )( ax axxg xG 仿上述推证可得 . )( )( lim )( )( lim )( )( lim )( )( lim xg xf xG xF x
4、G xF xg xf axaxaxax 定理4.5 如果f(x)和g(x)满足下列条件： ，0)(lim0)(lim ) 1 ( xgxf xx , 0)()()(| )2(xgxgxfx存在，且和足够大时，当 ，那么或为无穷大存在)( )( )( lim ) 3( xg xf x 证明时，只要令 就可利用定理4.4的结论得 出定理4.5. t x 1 型，有时的对于 0 0 x . )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf xx 那么 . ee lim ax ax ax 求 )( )ee ( lim ee lim axax ax ax ax ax 例1 为 型，由洛必达
5、法则有 0 0 解 .e 1 e lim a x ax . cotarc 1 lim x x x 求 )cot(arc ) 1 ( lim cotarc 1 lim x x x x xx 例2 为 型，由洛必达法则有 0 0 解 . 1 1 1 1 lim 2 2 x x x . sin 2ee lim 0 xx x xx x 求 ) 0 0 ( cos1 2ee lim sin 2ee lim 00 型 xxx x xx x xx x 例3 为 型，由洛必达法则有 0 0 解 ) 0 0 ( sin ee lim 0 型 x xx x . 2 cos ee lim 0 x xx x . 81
6、26 128 lim 23 23 2 xxx xxx x 求 ) 0 0 ( 12123 823 lim 8126 128 lim 2 2 2 23 23 2 型 xx xx xxx xxx xx . )2(6 26 lim 2 x x x 例4 为 型，由洛必达法则有 0 0 解 二、二、 ,)(lim,)(lim) 1 ( xgxf axax 型 定理4.6 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件： , 0)(,)( )()( )2( xgxg xfaxax 且存在与 ，可以除外的某邻域内在 ，或无穷大存在)( )( )( lim ) 3( xg xf ax . )( )( lim )(
7、)( lim xg xf xg xf axax 那么 ,)(lim)(lim ) 1 ( xgxf xx ， 定理4.7 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件： , 0)()()(,| )2( xgxgxfx存在，且与足够大时在 ，或无穷大存在)( )( )( lim ) 3( xg xf ax . )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf xx 那么 . ln cotln lim 0 x x x 求 x x x x x xx1 )csc( cot 1 lim ln cotln lim 2 00 . 1 cos 1 lim sin lim 00 xx x xx xx x
8、 xcossin lim 0 例5 为 型，由洛必达法则有 解 . e lim x x x 求 . 1 e lim e lim x x x xx 例6 为 型，由洛必达法则有 解 三、三、可化为 型或 型极限 0 0 .0)()(lim )( 型为 xgxf x ax 1.如果 ， 则称 )(lim, 0)(lim )()( xgxf x ax x ax 0对于 型，先将函数变型化为 型或 .再由 洛必达法则求之.如 0 0 )( 1 )( lim)()(lim )()( xf xg xgxf x ax x ax 或 , )( 1 )( lim)()(lim )()( xg xf xgxf x
9、 ax x ax . 0 0 型型，后者为前者为 ),()(lim,)(lim )()( 或同为xgxf x ax x ax 再由洛必达法则求之.，型 型或为将函数进行恒等变型化，型对于 0 0 2.如果 .)()(lim )( 型极限为则称 xgxf x ax .lnlim 0 xx x 求 t t x 1 ln lim2 0 . 0 1 1 lim2 2 0 t t x 因此时，如果先令,00 ，txtx 例7 . 1 ln limlnlim 00 x x xx xx 解 t t xx xx1 ln limlnlim 2 00 ). ln 1 1 (lim 1xx x x 求 ) 0 0
10、( ln) 1( ) 1(ln lim 1 型原式 xx xxx x 1 ) 1(ln 1ln lim 1 x xx x x x x . 2 1 ln2 ln1 lim 1 x x x 例8 .型，先将所给函数变形为解 ) 0 0 ( 1ln ln lim 1 型 xxx xx x 1 1 ln 1 ln lim 1 x xx x xx x . sin cos lim 3 0 xx xx x 求 . 6 sin limcoslim 2 00 xx x x xx 原式 应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算， 可以简化运算. 例9 为 型，可以由洛必达法则求之.如果注意到 0 0 , 1cosl
11、im 0 x x 解 , sin 6 lim cos1 3 lim sin lim 0 2 0 3 0 x x x x xx x xxx 而 0 0 说明 如果 型或 型极限中含有非零因子， . 3sin )21ln( lim 0 x x x 求 如果引入等价无穷小代换，则 . 3 2 3 2 lim 0 x x x 原式 例10 0 0 解 所给极限为 型，可以由洛必达法则求之. ，又xxxxx33sin,2)21ln(, 0 注意极限过程为 . cotarc 1 cos) 1 1ln( lim x xx x 求 x 1 cos但是注意到所求极限的函数中含有因子 ， 且 ，因此极限不为零的因子 不必参加洛必达法则运算. 1 1 coslim xxx 1 cos 例11 x xx 1 ) 1 1ln( 又当 时， ，故 0 0 所给极限为 型，可以考虑使用洛必达法则. 解 )cot(arc 1 lim 1 coslim x x xxx 原式 . 1 1 1 1 lim 2 2 x x x
