1、中考语录中考语录 中考是人生的第一中考是人生的第一 个十字路口，车辆很多个十字路口，车辆很多 ，但要勇敢地穿过去。，但要勇敢地穿过去。 的二次函数。叫做关于 是常数，其中一般地，函数 xa cbacbxaxy )0 ,( 2 1. 自变量的最高次数是自变量的最高次数是2。 2. 二次项的系数二次项的系数a0。 3. 二次函数解析式必须是整式。二次函数解析式必须是整式。 注意注意: :当二次函当二次函 数表示某个实际数表示某个实际 问题时问题时,还必须根还必须根 据题意确定自变据题意确定自变 量的取值范围量的取值范围. 二次函数的解析式二次函数的解析式y=axy=ax +bx+c+bx+c (
2、(其中其中a,b,ca,b,c是常数，是常数，a0)a0) 想一想想一想: :函数的函数的 自变量自变量x是否可是否可 以取任何值呢以取任何值呢? 1.1.定义：一般地定义：一般地, ,形如形如y=axy=ax +bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常是常 数数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数. . y=axy=ax +bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示的几种不同表示 形式形式: : (1)y=ax(1)y=ax (a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,). (2)y=ax(2)y=ax +c(
3、a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0). (3)y=ax(3)y=ax +bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0). 2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax +bx+c+bx+c是整式是整式, ,自变量自变量x x的最的最 高次数是二次高次数是二次, ,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数. . 思考思考：下列函数中：下列函数中,哪些是二次函数？是二次函数的，哪些是二次函数？是二次函数的， 请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 2 2 (1)23 1 (2)3 yx yx x 是是 不是，因为
4、不是整式不是，因为不是整式 2,0,3abc 下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？ 巩固一下吧！巩固一下吧！ xy 4 3 ) 1 ( 2 ) 2(xy xy21) 3 ( 15 . 0) 8 ( 2 xy 22 ) 1() 1() 6(xxy1) 5 ( 2 xxy 3) 2()7( 2 xy 3 1 2) 4( 2 x xy 1 2 ) 9 ( x xy5)10( 22 yx 1，函数，函数 （其中（其中a、b、c为常数），为常数）， 当当a、b、c满足什么条件时，满足什么条件时， （1）它是二次函数；）它是二次函数； （2）它是一次函数；）
5、它是一次函数； （3）它是正比例函数；）它是正比例函数； 2 yaxbxc 当当 时，是二次函数；时，是二次函数； 0a 当当 时，是一次函数；时，是一次函数； 0,0ab 当当 时，是正比例函数；时，是正比例函数； 0,0,0abc 驶向胜利 的彼岸 驶向胜利 的彼岸 2，函数，函数 当当m取何值时，取何值时， （1）它是二次函数？）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？）它是反比例函数？ 2 22 (2) m ymmx （1）若是二次函数，则）若是二次函数，则 且且 当当 时，是二次函数。时，是二次函数。 2 22m 2m 2 20mm （2）若是反比例函数，则）若是反比例函数，则 且且
6、当当 时，是反比例函数。时，是反比例函数。 2 21m 1m 2 20mm 解析式解析式 使用 使用 范围 范围 一般式一般式 已知任意 三个点 顶点式顶点式 已知顶点（h,k) 及另一点 交点式交点式 已知与x轴的两 个交点及另一 个点 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) 二次函数的三种解析式二次函数的三种解析式 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x h )2 y = a( x h )2 + k 上下平移上下平移 左右平移左右平移 上 下 平 移 上 下 平 移 左 右 平 移 左 右 平 移 结论结论: 一般地一般地,抛物线抛物线
7、 y = a(x-h)2+k与与y = ax2形状相同形状相同,位置不同。位置不同。 小结小结：各种形式的二次函数的关系各种形式的二次函数的关系 1、一般二次函数一般二次函数y=ax2+bx+c(a0) 的图象特点和函数性质的图象特点和函数性质 返回 主页 前进前进 (1)是一条抛物线；是一条抛物线； (2)对称轴是对称轴是:x=- (3)顶点坐标是顶点坐标是:(- , ) (4)开口方向开口方向: a0时时,开口向上；开口向上； a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x- )，函数值，函数值y随随x的增大而的增大而 增大增大 。 a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x- )，函数值，函数值y随随x
8、的增大而的增大而 减小减小 。 （2） a0时，时，ymin= a0) y=a(x-h)2+k(a0) （h h，k k） （h h，k k） 直线直线x=hx=h 直线直线x=hx=h 由由h h和和k k的符号确定的符号确定 由由h h和和k k的符号确定的符号确定 向上向上 向下向下 当当x=hx=h时时, ,最小值为最小值为k.k. 当当x=hx=h时时, ,最大值为最大值为k.k. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而
9、增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 根据图形填表：根据图形填表： x y 0 a0 x 0 x y 0 (2)c确定抛物线与确定抛物线与y轴的交点位置轴的交点位置: c0 x 0 (0,c) c=0 x y 0 (0,0) c0 x=- b 2a ab=0 x y 0 x=- b 2a ab0 =0 0 b2 4ac= 0 b2 4ac 0 b2 4ac= 0 b2 4ac0 该抛物线与x轴一定有两个交点 (2)解:抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2 AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) SABC=2
10、7 x y A B P 前进前进 x y O A x y O B x y O C x y O D 例例3:在同一直角坐标系中，一次函数在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的图象大致为的图象大致为 (二二)根据函数性质判定函数图象之间根据函数性质判定函数图象之间 的位置关系的位置关系 答案答案: B 前进前进 例例4、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最的最 大值是大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并上，并 且图象经过点（且图象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。 解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2 抛物线
11、的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2 又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上 当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又又图象经过点（图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即：即： y=-2x2+4x (三三)根据函数性质求函数解析式根据函数性质求函数解析式 前进前进 例例5： 已知二次函数已知二次函数y=x2+x- （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。
12、（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C， A，B的坐标。的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。）画出函数图象的示意图。 （4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。 （5）x为何值时，为何值时，y随的增大而减小，随的增大而减小，x为何值时，为何值时，y有最大有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，为何值时，y0？ 1 2 3 2 解解:（1）a= 0 抛物线的开口向上抛物线的开口向上 y= (x2+2x+1)-2=(x+1)2-2 对称轴对称轴x=-1，顶点坐标，顶点坐标M（-1，
13、-2） 1 2 1 2 1 2 前进前进 (2)由由x=0，得，得y= - - 抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点C（0，- -） 由由y=0，得，得x2+x- =0 x1=-3 x2=1 与与x轴交点轴交点A（-3，0）B（1，0） 3 2 3 2 3 2 1 2 解解 0 x (3) 连线连线 画对称轴画对称轴 x=-1 确定顶点确定顶点 (-1,-2) (0,-) 确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点 及对称点及对称点 (-3,0) (1,0) 3 2 解解 0 M(-1,-2) C(0,-) A(-3,0) B(1,0) 3 2 y x D ：（4）由对称性可知）由对称性可知 MA=M
14、B=22+22=22 AB=|x1-x2|=4 MAB的周长的周长=2MA+AB =2 22+4=4 2+4 MAB的面积的面积=ABMD =42=4 1 2 1 2 前进前进 解解 解解 0 x x=-1 (0,-) (-3,0) (1,0) 3 2 :(5) (-1,-2) 当当x=-1时，时，y有最小值为有最小值为 y最小值 最小值=-2 当当x-1时，时，y随随x的增大的增大 而减小而减小; 前进前进 解解: 0 (-1,-2) (0,-) (-3,0) (1,0) 3 2 y x 由图象可知由图象可知 (6) 当当x1时，时，y 0 当当-3 x 1时，时，y 0 巩固练习巩固练习:
15、 1、填空：、填空： （1）二次函数）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标的图象顶点坐标 是是_对称轴是对称轴是_。 （2）抛物线抛物线y=-2x2+4x与与x轴的交点坐标轴的交点坐标 是是_ （3）已知函数）已知函数y=x2-x-4，当函数值，当函数值y随随 x的增大而减小时，的增大而减小时，x的取值范围是的取值范围是 _ （4）二次函数）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象的图象 经过原点，则经过原点，则m= _。 1 2 （，-） 1 25 2 4 x= 1 2 （0，0）（2，0） x1 2 2.2.选择选择 (1)抛物线抛物线y=x2-4x+3的对称轴是的对称轴是_. A 直
16、线直线x=1 B直线直线x= -1 C 直线直线x=2 D直线直线x= -2 (2)抛物线抛物线y=3x2-1的的_ A 开口向上开口向上,有最高点有最高点 B 开口向上开口向上,有最低点有最低点 C 开口向下开口向下,有最高点有最高点 D 开口向下开口向下,有最低点有最低点 (3)若若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是则对称轴是_ A 直线直线x=2 B直线直线x=4 C 直线直线x=3 D直线直线x= -3 (4)若若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是则对称轴是_ A 直线直
17、线x=3 B 直线直线x=4 C 直线直线x= -3 D直线直线x=2 c c B B C A A 3、解答题：、解答题： 已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且 图象过点（3，2）。 （1）求此二次函数的解析式； （2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为 坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。 能力训练能力训练 1、 二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式 中成立的个数是中成立的个数是_ 1 -1 0 x y abc0 a+b+c b 2a+b=0 =b-4ac 0 2、已知二次函数、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的图象
18、如图。 (1)、当、当x为何值时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大; (2)、当、当x为何值时，为何值时，y0,c0时时,图象与图象与x 轴交点情况是轴交点情况是( ) A 无交点无交点 B 只有一个交点只有一个交点 C 有两个交点有两个交点 D不能确定不能确定 D C 归纳小结：归纳小结： （1）二次函数）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用及抛物线的性质和应用 注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函或函 数值数值y的取值范围的取值范围 返回返回 （2）a，b，c，的正负与图象的位置关系的正负与图象的位置关系 注意：图象与轴有两个交点注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），），B（x2，0）时）时 AB=|x2-x1|= (x1+x2)2+4x1 x2= 这一结论及推导过程。这一结论及推导过程。 |a| 3.如果关于如果关于x的一元二次方程的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等有两个相等 的实数根的实数根,则则m=,此时抛物线此时抛物线 y=x2-2x+m与与 x轴有个交点轴有个交点. 4.已知抛物线已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在的顶点在 x轴上轴上, 则则c=. 1 1 16
