1、2.22.2 热点小专题一、函数的零点及函数的应用热点小专题一、函数的零点及函数的应用 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 关键能力关键能力 学案突破学案突破 03 核心素养微专题核心素养微专题( (一一) ) 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.零点存在性定理零点存在性定理:如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是一条连续曲线上的图象是一条连续曲线, 且有且有f(a)f(b)0,那么函数那么函数y=f(x)在区间在区间a,b内有零点内有零点,即存在即存在c(a,b),使得使得 f(c)=0,此时这个此时这个c就是方程
2、就是方程f(x)=0的根的根. 2.函数函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)=g(x)的根的根,即函数即函数y=f(x)与与y=g(x) 的图象交点的横坐标的图象交点的横坐标. 3.判断函数零点个数的方法判断函数零点个数的方法: (1)利用零点存在性定理判断法利用零点存在性定理判断法; (2)代数法代数法:求方程求方程f(x)=0的实数根的实数根; (3)几何法几何法:对于不易求根的方程对于不易求根的方程,将它与函数将它与函数y=f(x)的图象联系起来的图象联系起来,利用利用 函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交
3、点求解.在利用函数性质时在利用函数性质时, 可用求导的方法判断函数的单调性可用求导的方法判断函数的单调性. 关键能力关键能力 学案突破学案突破 热点一热点一 判断函数零点所在的区间判断函数零点所在的区间 【例1】(1)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分 图象,则函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区 间是( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 答案 B 解析 由图象知1 2 21,得 1b2,f(x)=2x-b,所以 g(x)=e x+f(x)=ex+2x-b, 则 g(-1)=1 e-2-b0,g(0)=1-b0, 所以 g(0)g(1)0
4、.故选 B. (2)(2020湖北恩施高中月考,理11)已知单调函数f(x)的定义域为(0,+),对于 定义域内任意x,f(f(x)-log2x)=3,则函数g(x)=f(x)+x-7的零点所在的区间为 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 答案 C 解析 因f(x)在(0,+)上单调,且f(f(x)-log2x)=3,设t=f(x)-log2x,则 f(x)=log2x+t, 又由f(t)=3,f(t)=log2t+t=3,观察易知t=2,所以f(x)=log2x+2, 所以g(x)=log2x+x-5,因为g(3)0,所以零点所在的区间为(3,4). 解题
5、心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点 的存在性定理进行判断.首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续, 然后看是否有f(a) f(b)0.所以 f(x)-f(x)=ln x- 1 +e. 令 g(x)=ln x-1 +e-e=ln x- 1 ,x(0,+).因为 g(x)=ln x- 1 在(0,+)内的图象是连 续的,且 g(1)=-10,所以存在 x0(1,e),使 g(x0)=0.故选 D. 热点二热点二 判断函数零点的个数判断函数零点的个数 【例2】函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案
6、B 解析 函数 f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程 2x|log0.5x|-1=0的根,即 2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|= 1 2 .令 g(x)=|log0.5x|,h(x)= 1 2 ,画出 g(x),h(x)的 图象如图所示. 因为两个函数的图象有两个交点, 所以f(x)有两个零点.故选B. 解题心得判断函数y=f(x)的零点个数时,常用以下方法: (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数; (2)根据函数的性质结合已知条件进行判断; (3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断. 【对点训练2】
7、(2020山东滨州二模改编,16)设f(x)是定义在R上且周期为6 的周期函数,若函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)在区间 -n,n(其中nN*)上的零点的个数的最小值为an,则a11= . 答案 7 解析 由y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,得y=f(x)为奇函数,易知f(0)=0. 可令x=-3,则f(-3+6)=f(-3), 即f(3)=f(-3)=-f(3),可得f(-3)=f(3)=0, 当n=1,2时,f(x)在-n,n上,有f(0)=0; 当n=3,4,5时,f(x)在-n,n上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0; 当n=6,7,8
8、时,f(x)在-n,n上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0,f(6)=f(-6)=0; 当n=9,10,11时,f(x)在-n,n上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0,f(6)=f(-6)=0, f(9)=f(-9)=0,即a11=7 热点三热点三 已知函数零点个数求参数范围已知函数零点个数求参数范围 【例3】(2020山东潍坊二模,16)已知函数f(x)= 当 x -1,e时,f(x)的最小值为 ,设g(x)=f(x)2-f(x)+a,若函数g(x)有6 个零点,则实数a的取值范围是 . ln, 1, 23-32+ 1, 1, 答案 -4 0, 1 4 解析 当x1,e时,f
9、(x)=ln x,f(x)为增函数, 所以,f(x)min=f(1)=ln 1=0,当x-1,1)时,f(x)=2x3-3x2+1, 令f(x)=6x2-6x=0,解得x1=1(舍)或x2=0, 且有f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减, 因为f(-1)=-2-3+1=-4f(1), 故函数f(x)在-1,e上的最小值为-4; 令t=f(x),由g(x)=0,得t2-t=-a,作出函数y=f(x)的图象,如图所示: 直线y=t与函数y=f(x)的图象最多只有三个交点,所以0t1, 即说明方程t2-t=-a有两个(0,1)内的不等实根, 亦即函数y=t2-t在(0,1)内的图
10、象与直线y=-a有两个交点, 因为 y=t2-t= - 1 2 2 1 4,根据 y=t 2-t 的图象可知,-1 4-a0, 即实数 a 的取值范围为 0a 0, 答案 B 解析 要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于 方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直 线y=-x-a的图象有两个交点,从函数图象可知,必须 使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a1, 即a-1.故选B. 热点四热点四 函数的应用函数的应用 【例4】(2020山东,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学 基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世
11、代间隔指相邻两代 间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=er t描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T 近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠 肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)( ) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 答案 B 解析 由 R0=3.28,T=6,R0=1+rT 得 3.28=1+6r, r=2.28 6 =0.38,e 0.38t =2, 即 0.38t=ln 2,0.38t0.69, t 0.
12、69 0.38 1.8(天),故选 B. 解题心得解决函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数 学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义. 【对点训练4】(2020全国,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应 用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊 病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)= ,其中K为最大 确诊病例数.当I(t*)=0.95
13、K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 193)( ) A.60 B.63 C.66 D.69 1 + e-0.23(-53) 答案 C 解析 由 1+e-0.23( *-53)=0.95K,得e-0.23( *-53) = 1 19,两边取以 e 为底的对数, 得-0.23(t*-53)=-ln 19-3,所以 t*66. 核心素养微专题核心素养微专题( (一一) ) 例析“逻辑推理”在函数零点问题上的应用 【例1】已知函数f(x)= 设g(x)=kx+1,且函数 (x)=f(x)-g(x)的图象经过四个象限,则实数k的取值范围为 . | + 3|, 0, 3-12 + 3, 0, 答
14、案 -9, 1 3 核心素养分析解题的“逻辑推理”过程如下: 函数(x)=f(x)-g(x)的图象经过四个象限等价于(x)在x0和x0 时,过定点(0,1)的直线 g(x)要在 y 轴左侧有交点,则 k1 3 当 k=1 3,且 x0 时,f(x)g(x)恒成立,(x)不过第三象限 ,即此时 k 0, 1 3 ;当 k-9(当k=-9时,直线g(x)与曲线f(x)相切, 同样 k=-9 不符合题意),即 k(-9,0);k=0 也符合题意.综上可知,k -9, 1 3 . 【例2】已知函数f(x)= 若存在x00,使得f(x0)=0,则 实数a的取值范围是 . 3-3 + 2, , 3+ 3-
15、4, , 答案 -1,0) 核心素养分析解题的“逻辑推理”过程如下: 函数f(x)= 的零点f(x)=x3-3|x-a|-a的零点(分段函数 一般函数)方程x3=3|x-a|+a的根函数y=x3与y=3|x-a|+a的图象的交点的 横坐标(零点交点).所以由题意知,能让函数y=x3与y=3|x-a|+a的图象的交 点的横坐标是负数的,a的取值满足题意. 3-3 + 2, , 3+ 3-4, 0,所以不符合题意, 当a0时,若xa,则有x3=3x-2a,若xa,则有x3=-3x+4a, 由图可知只需讨论射线y=3x-2a,xa与y=x3相切的临 界情形即可. 设切点为(m,n)(m0),由y=x
16、3,得y=3x2,所以有3m2=3,得m=-1,所以n=(-1)3 =-1, 将切点坐标(-1,-1)代入直线方程y=3x-2a,得a=-1.从而a的取值范围是-1,0). 【跟踪训练】(2019浙江,9)设a,bR,函数f(x)= 若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则( ) A.a-1,b0 B.a0 C.a-1,b-1,b0 , 0, 1 3 3- 1 2 ( + 1)2+ , 0. 答案 C 解析 当x0时,由x=ax+b,得x= 1-,最多一个零点(取决于x= 1-与0的大小), 所以关键研究当 x0 时,方程1 3x 3-1 2(a+1)x 2+ax=ax+b 的解的个数,令 b=1 3x 3-1 2(a+1)x 2=1 3x 2x-3 2(a+1)=g(x).画出三次函数 g(x)的图象如图所示, 可以发现分类讨论的依据是 (a+1)与 0的大小关系. 3 2 若3 2(a+1)0,即 a0,即 a-1 时,x=0 处为偶重零点反弹,x= 3 2(a+1)为奇重零点穿过, 当 b0 时 g(x)与 y=b 可以有两个交点,且此时要求 x= 1-0,故-1a1,b0, 选 C.
