1、6.16.1 排列、组合、二项式定理小题组合练排列、组合、二项式定理小题组合练 第三部分第三部分 2021 考 情 分 析 计数原理和统计与概率是高中阶段数学的重要内容,也是高 考中非常重要的内容,因其与现实生活联系密切,所以成为高考命 制应用题的主要来源,高考出题频率基本是“两小一大”,排列组合 应用题、二项式定理、抽样方法、样本估计总体、相互独立事 件、独立重复试验、条件概率、数字特征等,都可能在小题中考 查,难度一般不大. 统计与概率解答题是高考六道解答题必考题之一,一般以现实生 活中的真实情境为背景,考查回归分析、独立性检验、离散型随 机变量的分布列、期望、方差等,常与统计图表结合,题
2、目阅读量 较大,与实际生活等联系密切,难度中等.偶尔也可能会与函数、数 列、导数等知识综合命题. 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 考向训练考向训练 限时通关限时通关 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.两个计数原理与排列组合两个计数原理与排列组合 (1)两个计数原理两个计数原理 “分类”与“分步”的区别“分类”与“分步”的区别:关键是看事件完成情况关键是看事件完成情况,如果每种方法都能如果每种方法都能 将事件完成则是分类将事件完成则是分类;如果必须连续若干步才能将事件完成则是分步如果必须连续若干步才能将事件完成则是分步.分分 类要用分类加法计数原理将种数相加
3、类要用分类加法计数原理将种数相加;分步要用分步乘法计数原理将种数分步要用分步乘法计数原理将种数 相乘相乘. (2)排列数公式:A =n(n-1)(n-2) (n-m+1)= ! (-)!(n,mN *,mn). 说明:规定 0!=1;乘积形式多用于数字计算,阶乘形式多用于证明恒等式. (3)组合数公式C = A A = (-1) (-+1) ! ,C = ! !(-)!(m,nN *,mn). (4)组合数的性质 性质 1:C = C - . 性质 2:C+1 = C + C -1(mn,m,nN*). 2.二项式定理 (1)(a+b)n=C 0an+C1 a n-1 b+C an-rbr+C
4、 bn.通项(展开式的第 r+1 项):Tr+1=C an-rbr,其中C (r=0,1,n)叫做二项式系数. (2)二项式系数的性质 在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等, 即C = C -(r=0,1,2,n). 二项式系数的和等于 2n,即C 0 + C 1 + C 2+C =2n. 二项式展开式中,偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和,即 C 1 + C 3 + C 5+=C0 + C 2 + C 4+=2 n-1 . 考向训练考向训练 限时通关限时通关 考向一考向一 两个计数原理两个计数原理 1.(2020山东山东,3)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志
5、愿者名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去每名同学只去1个个 场馆场馆,甲场馆安排甲场馆安排1名名,乙场馆安排乙场馆安排2名名,丙场馆安排丙场馆安排3名名,则不同的安排方法则不同的安排方法 共有共有( ) A.120种种 B.90种种 C.60种种 D.30种种 答案 C 解析 甲场馆安排1名有C6 1种方法,乙场馆安排2名有C52种方法,丙场馆安排 3 名有C3 3种方法,所以共有C61 C5 2 C3 3=60 种方法,故选 C. 2.(2020广东珠海三模广东珠海三模,10)甲、乙、丙甲、乙、丙3人从人从1楼乘电梯去商场的楼乘电梯去商场的3到到9楼楼,每每 层楼最多下层楼最多下
6、2人人,则下电梯的方法有则下电梯的方法有( ) A.210种种 B.252种种 C.343种种 D.336种种 答案 D 解析 分两种情况讨论: 某个楼层只下1人,则3人下电梯的方法种数为 =210;3人中有2人从 一个楼层下,另1人从其他楼层选一个楼层下,此时,3人下电梯的方法种数 为 =126.由分类加法计数原理可知,3人下电梯的方法种数为 210+126=336. A7 3 C3 2A72 3.(2020贵州毕节二诊贵州毕节二诊,13)汉代数学家赵爽在注解汉代数学家赵爽在注解周髀算经周髀算经时给出的时给出的 “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,“赵爽弦图”如
7、图所示赵爽弦图”如图所示,由四个全等由四个全等 的直角三角形和一个正方形构成的直角三角形和一个正方形构成,现有五种不同的颜色可供涂色现有五种不同的颜色可供涂色,要求相要求相 邻的区域不能用同一种颜色邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有则不同的涂色方案有 种种(用数字用数字 作答作答). 答案 420 解析 由题意,假设五个区域分别为,对于区域,三个区域 两两相邻,共有 =60种涂法; 对于区域,若与颜色相同,则有3种 涂法,若与颜色不同,则有2种涂法,有 2种涂法,共有22=4种涂法,所以共有 3+4=7种涂法,则一共有607=420种涂法. A5 3 4.(2020山东潍坊二模山东潍
8、坊二模,15)植树造林植树造林,绿化祖国绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组某班级义务劳动志愿者小组 参加植树活动参加植树活动,准备在一抛物线形地块上的准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵七点处各种植一棵 树苗树苗,如图所示如图所示,其中其中A,B,C分别与分别与E,F,G关于抛物线的对称轴对称关于抛物线的对称轴对称,现有三现有三 种树苗种树苗,要求每种树苗至少种植一棵要求每种树苗至少种植一棵,且关于抛物线的对称轴对称的两点且关于抛物线的对称轴对称的两点 处必须种植同一种树苗处必须种植同一种树苗,则共有不同的种植方法数是则共有不同的种植方法数是 (用数字用数字 作答作答). 答
9、案 36 解析 由图形的对称性,相当于3种树苗种在A,B,C,D四个位置,有且仅有一 种树苗重复,所以有 =3种方法.先从A,B,C,D中任选两个位置种植同一 种树苗,有 =6种方法,再把另两种树苗种植在另两个位置上,有 =2种 方法.则由分步乘法计数原理知,共有362=36种方法. C3 1 A2 2 C4 2 5.(2020山东泰安三模山东泰安三模,15)甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、 化学三科竞赛化学三科竞赛,每个同学只能参加一科竞赛每个同学只能参加一科竞赛,若每个同学可以自由选择若每个同学可以自由选择,则则 不同的选择种数是不同的选择种
10、数是 ;若甲和乙不参加同一科若甲和乙不参加同一科,甲和丙必须参加甲和丙必须参加 同一科同一科,且这三科都有人参加且这三科都有人参加,则不同的选择种数是则不同的选择种数是 .(用数字作用数字作 答答) 答案 243 30 解析 若每个同学可以自由选择,由分步乘法计数原理可得,不同的选择种 数是35=243;因为甲和乙不参加同一科,甲和丙必须参加同一科,所以有 2,2,1和3,1,1两种分配方案. 当分配方案为 2,2,1时,共有C3 2A33 =18种;当分配方案为 3,1,1时,共有 C2 1A33 =12种. 由分类加法计数原理,可得不同的选择种数是18+12=30. 考向二考向二 排列组合
11、排列组合 6.(2020山东聊城二模山东聊城二模,4)2020年是脱贫攻坚年年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁为顺利完成“两不愁,三保三保 障”障”,即农村贫困人口不愁吃、不愁穿即农村贫困人口不愁吃、不愁穿,农村贫困人口义务教育、基本医农村贫困人口义务教育、基本医 疗、住房安全有保障疗、住房安全有保障,某市拟派出某市拟派出6人组成三个帮扶队人组成三个帮扶队,每队两人每队两人,对脱贫任对脱贫任 务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶,则不同的派出方法种数共有则不同的派出方法种数共有( ) A.15 B.60 C.90 D.540 答案 C 解析 依题意,首先将人平均分成3组
12、,再将三组进行全排列即可,所以所有 可能的派出方法有 =90(种). C6 2C42C22 A3 3 A3 3 7.(2019北京海淀一模北京海淀一模,理理8)某校实行选科走班制度某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、张毅同学的选择是物理、 生物、政治这三科生物、政治这三科,且物理在且物理在A层班级层班级,生物在生物在B层班级层班级.该校周一上午选科该校周一上午选科 走班的课程安排如下表所示走班的课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上一节张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节另外一节 上自习上自习,则他不同的选课方法有则他不同的选课方法有( ) 第一节 第二节 第三节 第四节 地理
13、B层2班 化学A层3班 地理A层1班 化学A层4班 生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班 物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班 物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班 政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班 A.8种 B.10种 C.12种 D.14种 答案 B 解析 学校课表中每一节课都有物理A层可选,政治有三节课可选,生物B层 只有二、三节可选,依据关键元素优先的原则,先安排生物B的“位置”,再 安排政治的“位置”,接着安排物理的“位置”,三种科目安排好后,自习 课随之确定,方法数为:32+22=10. 8.(2020湖南雅礼中学高三
14、月考湖南雅礼中学高三月考,5)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才中国古代儒家要求学生掌握六种基本才 能能:礼、乐、射、御、书、数礼、乐、射、御、书、数,也称这六种才能为“六艺”也称这六种才能为“六艺”.某校国学社团某校国学社团 周末开展“六艺”课程讲座活动周末开展“六艺”课程讲座活动,每天连排六节每天连排六节,每艺一节每艺一节,排课有如下要排课有如下要 求求:“礼”和“数”不能相邻礼”和“数”不能相邻,“射”和“乐”必须相邻射”和“乐”必须相邻,则“六艺”课程讲则“六艺”课程讲 座不同的排课顺序共有座不同的排课顺序共有( ) A.24种种 B.72种种 C.96种种 D.144种种 答案 D
15、解析 “射”和“乐”必须相邻,“射”和“乐”捆绑为一体,排列可得A2 2 种排法, 再排列“射乐”、“御”和“书”,可得A3 3 种排法, “礼”和“数”不能相邻, 利用插空法可得A4 2 种排法, “六艺”课程讲座不同的排课顺序为A2 2 A3 3 A4 2 =144. 9.(2020天津和平区高三一模天津和平区高三一模,8)在国际高峰论坛上在国际高峰论坛上,组委会要从组委会要从6个国内媒个国内媒 体团和体团和3个国外媒体团中选出个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既要求这三个媒体团中既 有国内媒体团又有国外媒体团有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不
16、能连续提问且国内媒体团不能连续提问,则不同的提则不同的提 问方式的种数为问方式的种数为( ) A.378 B.306 C.268 D.198 答案 D 解析 分两种情况讨论. 若选两个国内媒体一个国外媒体,有 =90种不同提问方式; 若选两个外国媒体一个国内媒体,有 =108种不同提问方式. 所以共有90+108=198种提问方式. C6 2C31A22 C6 1C32A33 10.(2020山东济宁三模山东济宁三模,15)5人并排站成一行人并排站成一行,如果甲乙两人不相邻如果甲乙两人不相邻,那么不那么不 同的排法种数是同的排法种数是 .(用数字作答用数字作答);5人并排站成一行人并排站成一行
17、,甲乙两人之甲乙两人之 间恰好有一人的概率是间恰好有一人的概率是 .(用数字作答用数字作答) 答案 72 3 10 解析 先排甲乙两人外的 3人共有A3 3 种排法,再将甲乙两人从 4个空中选 2 个插入有A4 2 种排法,所以甲乙两人不相邻的不同的排法共有A3 3 A4 2 =612 =72(种);甲乙两人之间恰好有一人的排法共有A2 2 C3 1A33 种,5人并排站成一排 共有A5 5 种排法,所以甲乙两人之间恰好有一人的概率为A 2 2C 3 1A 3 3 A5 5 = 3 10. 考向三考向三 二项式定理二项式定理 11.(2020海南海南中学模拟海南海南中学模拟,3)已知已知(2x
18、-a)6(a是常数是常数)的展开式中含的展开式中含x3项的项的 系数为系数为-160,则则a=( ) A.1 B.-1 C.1 2 D.-1 2 答案 A 解析 Tr+1=C6 (2x) 6-r (-a)r(r=0,1,6),当 6-r=3,即 r=3 时,有C6 323(-a)3=-160, 解得 a=1. 12.(2020全国全国,理理8) (x+y)5的展开式中的展开式中x3y3的系数为的系数为( ) A.5 B.10 C.15 D.20 + 2 答案 C 解析 因为(x+y)5的通项公式为C5 x 5-r yr(r=0,1,2,3,4,5),所以当 r=1 时, 2 C5 1x4y=5
19、x3y3,当 r=3 时,xC53x2y3=10 x3y3,所以 x3y3 的系数为 10+5=15. 13.(多选多选)(2020海南三亚模拟海南三亚模拟,10)对于对于 的展开式的展开式,下列说法正确的下列说法正确的 是是( ) A.展开式共有展开式共有6项项 B.展开式中的常数项是展开式中的常数项是-240 C.展开式中各项系数之和为展开式中各项系数之和为1 D.展开式中的二项式系数之和为展开式中的二项式系数之和为64 2- 1 2 6 答案 CD 解析 2- 1 2 6 的展开式共有 7 项,故 A 错误; 2- 1 2 6 展开式的通项为 Tr+1=C6 (2x) 6-r - 1 2
20、 =(-1)r2 6-r C6 x 6-3r ,令 6-3r=0,解得 r=2,展开式中的常数项为 (-1)224C6 2=240,故 B 错误;令 x=1,则展开式中各项系数之和为(21-1)6=1,故 C 正确; 2- 1 2 6 的展开式中的二项式系数之和为 26=64,故 D 正确. 14.(2020山东德州二模山东德州二模,7)(x2-x-a)5的展开式的各项系数之和为的展开式的各项系数之和为-32,则该展则该展 开式中含开式中含x9项的系数是项的系数是( ) A.-15 B.-5 C.5 D.15 答案 B 解析 (x2-x-a)5的展开式的各项系数之和为-32,令x=1,可得(1
21、2-1-a)5=- 32,故(-a)5=-32,得a=2. 故(x2-x-a)5=(x2-x-2)5=(x-2)5(x+1)5,设(x-2)5展开式的通项公式为 Ti+1=C5 x 5-i (-2)i,设(x+1)5展开式的通项公式为 Tr+1=C5 x 5-r (1)r,则(x-2)5(x+1)5 展开式的通项公式为C5 x 5-i (-2)iC5 x 5-r (1)r=C5 C5 (-2)i x 5-r x 5-i =C5 C5 (-2)i x 10-i-r ,令 10-i-r=9,可得 i+r=1, 又0i5,0r5且 i,rN,可得 = 0, = 1 或 = 1, = 0. 当 = 0, = 1 时,由C5 C5 (-2)i x 10-i-r =C5 0 C5 1 (-2)0 x9=5x9, 当 = 1, = 0 时,由C5 C5 (-2)i x 10-i-r =C5 1 C5 0 (-2)1 x9=-10 x9,所以(x2-x-2)5的展开 式中含 x9项的系数为-10+5=-5.
