1、第八章测评第八章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.函数 y=sin 3x+cos 3x的最小正周期是( ) A.6 B.2 C. D. 解析由 y=sin 3x+cos 3x,得 y= sin 3x+ cos 3x = sin 3x+ , 可知该函数的最小正周期 T= ,故选 C. 答案 C 2.cos215+cos275+cos 15cos 75的值是( ) A. B. C. D. 答案 D 3.已知 - =5,则 cos2+ sin 2=( ) A.- B.
2、3 C.-3 D. 解析因为 - =5,所以 - =5, 解得 tan =3,cos2+ sin 2= = ,故选 D. 答案 D 4.若 a,b 是非零向量且满足(a-2b)a,(b-2a)b,则 a 与 b 的夹角 是( ) A. B. C. D. 解析因为 a2-2a b=0,b2-2a b=0, 所以 a2=b2=2a b,|a|=|b|, 所以 cos = . 又 0,所以 = . 答案 B 5.若 cos =- ,且 180270,则 tan 的值为 ( ) A.2 B.-2 C.2 D.- 解析cos =- ,且 180270, 90 90,则 tan A tan B与 1 的大
3、小关系为( ) A.tan A tan B1 B.tan A tan B90,所以 A,B都为锐角.则有 tan A0,tan B0,tan C0. 又因为 C=-(A+B),所以 tan C=-tan(A+B)=- - 0, 即 tan A tan B1. 答案 B 7.设ABC的三个内角为 A,B,C,向量 m=( sin A,sin B),n=(cos B, cos A),若 m n=1+cos(A+B),则 C=( ) A. B. C. D. 解析因为 m n= sin Acos B+sin B cos A = sin(A+B)= sin C=1-cos C, 所以 sin C+ =
4、. 又因为 0C,所以 C+ ,故 C= . 答案 C 8.已知 sin(+2)= ,cos = , 为锐角,则 sin(+)的值为( ) A. - B. - C. D. 解析因为 sin(+2)= ,cos = ,为锐角, 又 cos 2=2cos2-1=- 0, 所以 +2大于 90.由同角三角函数关系, 可得 cos(+2)=- ,sin = , 所以 sin(+)=sin(+2)- =sin(+2)cos -cos(+2)sin = - - ,故选 D. 答案 D 二、多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求.全部选对的得
5、5分,部分选对得 3分,有选错的得 0分. 9.已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=cos x(cos x+ sin x)- ,则下面的结论不正确的是( ) A.把 C1上各点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位,得到曲线 C2 B.把 C1上各点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位,得到曲线 C2 C.把 C1上各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位,得到曲线 C2 D.把 C1上各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位,得到曲线 C2 解析y=cos x(co
6、s x+ sin x)- =cos 2x+ sin xcos x- = sin 2x- cos 2x+ sin 2x =cos 2xcos +sin 2xsin =cos 2x- , 将曲线 C1上各点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位,得到曲线 C2. A,C,D 不合题意,故选 ACD. 答案 ACD 10.ABC是边长为 2的等边三角形,已知向量 a,b 满足 =2a, =2a+b,则下列结论不正确的是 ( ) A.|b|=1 B.ab C.a b=1 D.(4a+b) 解析在ABC中,由 =2a+b-2a=b,得|b|=2. 由题得,|a|=1,所以 a
7、b=|a|b|cos 120=-1, 所以(4a+b) =(4a+b) b=4a b+|b|2=4 (-1)+4=0,所以(4a+b) . 答案 ABC 11.函数 f(x)=sin 2x+ cos 2x的单调递增区间有 ( ) A.- B. C. D. 解析 f(x)=sin 2x+ cos 2x=2sin 2x+ ,由 2k- 2x+ 2k+ (kZ), 得 k- xk+ (kZ), 即函数的单调递增区间为 k- ,k+ (kZ), 当 k=0时,得 - ,当 k=1 时,得 ,当 k=2时,得 .故选 ACD. 答案 ACD 12.已知锐角 , 满足 sin -cos = ,tan +t
8、an + tan tan = ,则( ) A. B. C. D. 0, 所以 ,所以 0)的图像的相邻两条对称轴的距离为 . (1)求 的值并写出函数 f(x)的单调递增区间; (2)设 是第一象限角,且 f + = ,求 的值. 解(1)因为 f(x)=cos2x+ sin xcos x= sin 2x, 所以 f(x)=sin 2x+ + 的最小正周期 T= =3,解得 = , 则 f(x)=sin x+ + . 令 2k- x+ 2k+ (kZ)可得 3k-x3k+ (kZ),即 f(x)的单调递增区间为 - (kZ). (2)因为 f + = ,即 sin + + =cos + ,所以
9、 cos = ,又 是第一象限角,所以 sin = , 所以 - =- . 20.(12分)如图所示,已知 的终边所在直线上的一点 P(-3,4), 的终边在第一象限且与单位圆的交点 Q的纵坐标为 . (1)求 tan(2-)的值. (2)若 ,0 ,求 +. 解(1)由三角函数的定义可知 tan =- , 所以 tan 2= - - - . 又由三角函数线知 sin = . 因为 为第一象限角,则 cos = ,所以 tan = ,所以 tan(2-)= - . (2)因为 cos =- ,sin = ,0 + . 所以 sin = ,cos = , 因为 sin(+)=sin cos +c
10、os sin = , 又 + , 所以 += . 21.(12分)已知函数 f(x)=sin x-2 sin2 . (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)求 f(x)在区间 上的最小值. 解(1)f(x)=sin x+ cos x- =2sin x+ - ,f(x)的最小正周期为 2. 由 2k+ x+ 2k+ (kZ),得 2k+ x2k+ (kZ), f(x)的单调递减区间是 (kZ). (2)0 x , x+ ,- f(x)2- . 当 x+ =,即 x= 时,f(x)取得最小值. f(x)在区间 上的最小值为 f =- . 22.(12分)设函数 f(x)=a b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, sin 2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在0,上的单调递增区间; (2)当 x 时,-4f(x)4恒成立,求实数 m的取值范围. 解(1)f(x)=2cos2x+ sin 2x+m =2sin 2x+ +m+1, 函数 f(x)的最小正周期 T=, 在0,上的单调递增区间为 . (2)当 x 0, 时,f(x)单调递增, 当 x= 时,f(x)的最大值等于 m+3. 当 x=0时,f(x)的最小值等于 m+2. 由题设知 - 解得-6m1. 故实数 m 的取值范围是(-6,1).
