1、8.1.2 向量数量积的运算律向量数量积的运算律 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)(m-3n),mn,则 k等于( ) A. B. C.- D.- 解析由题意知,(m+kn) (m-3n)=m2-3kn2=4-3k=0,解得 k= . 答案 A 2.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60,则|a+3b|等于( ) A. B. C. D.4 解析|a+3b|= . 答案 C 3.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b) b=0,则=( ) A.30 B.60 C.120 D.150 解析由(2a+b) b=0,得 2a b+b2=0,
2、 所以 2|a|b|cos+|b|2=0. 所以 cos=- =- =- , 又0,180,所以=120. 答案 C 4.(多选)已知向量 m,n 的夹角为 ,且|m|= ,|n|=2,则|m-n|和 m 在 n 方向上的投影的数量分别等于 ( ) A.4 B.2 C.1 D. 解析|m-n|2=m2-2m n+n2 =3-2 2 +4=1, |m-n|=1. m 在 n 方向上的投影的数量为|m|cos . 答案 CD 5.如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1,AB=2,对角线 BD=2,则对角线 AC的长为 . 解析设 =a, =b,则 =a-b, =a+b,而| |=|a-b
3、|= - - - =2, 所以 5-2a b=4,所以 a b= ,又| |2=|a+b|2=a2+2a b+b2=1+4+1=6, 所以| |= ,即 AC= . 答案 6.已知 a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数 ,使 a+b 与 a-2b 垂直? 解若(a+b)(a-2b),则(a+b) (a-2b)=0, a2-2b2-2a b+a b=0. a+b+c=0,c=-a-b, |c|2=|a+b|2=9+25+2a b=49,a b= . 9-2 25-2 =0.=- . 存在 =- ,使得 a+b 与 a-2b 垂直. 7.已知|a|=4,|b|=3,且(
4、2a-3b) (2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 ; (2)求|a+b|. 解(1)(2a-3b) (2a+b)=61, 4|a|2-4a b-3|b|2=61.a b=-6, cos = - =- . 0,= . (2)|a+b|= - . 能力提升练 1.(多选)设 a,b,c 是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中是真命题的有( ) A.(a b)c-(c a)b=0 B.|a|-|b|a-b| C.(b c)a-(c a)b 不与 c 垂直 D.(3a+2b) (3a-2b)=9|a|2-4|b|2 解析由 b,c 是平面内任意向量知选项 A 错误; 由三角形的三边
5、关系得选项 B 正确; 由(b c)a-(c a)b c=(b c)(a c)-(c a)(b c)=0 得选项 C错误;选项 D显然正确. 答案 BD 2.设 O为ABC的外心,ODBC于点 D,且| |= ,| |=1,则 ( )的值是( ) A.1 B.2 C. D. 解析由 O 是ABC的外心及 ODBC可知 D为边 BC的中点,易知 ), 所以 ( )= ) ( )= (| |2-| |2)=1. 答案 A 3. 如图所示,在ABC中,ADAB, ,| |=1,则 等于( ) A.2 B. C. D. 解析(方法一)基底法 , )+ +(1- . 又ADAB,| |=1, +(1-
6、. (方法二)定义法 设 BD=a,则 BC= a,如图所示,作 CEBA,交 BA的延长线于点 E,易知DAC=ACE,在BAD 与 BEC 中,B=B,DAB=CEB=90, BADBEC, , CE= ,cosDAC=cosACE= . =| | |cosDAC= .故选 D. 答案 D 4.已知向量 a,b 的夹角为 120,|a|=|b|=1,c 与 a+b 同向,则|a-c|的最小值为( ) A.1 B. C. D. 解析因为|a|=|b|=1,c 与 a+b 同向,所以 a 与 c 的夹角为 60.又|a-c|= - - - , 故当|c|= 时,|a-c|的最小值为 . 答案
7、D 5.已知ABC中,AB=6,AC=4,O 为ABC 所在平面内一点,满足| |=| |=| |,则 在 方向上的 投影的数量为 . 解析| |=| |=| |, 点 O为ABC 的外心, 设OAB=,可得OBA=, 在 方向上的投影的数量为| |cos , 在 方向上的投影的数量为| |cos . 由题意可知| |cos +| |cos =| |=6. 又| |=| |=| |,| |cos =3, 即 在 方向上的投影的数量为 3. 答案 3 6.在四边形 ABCD中,ADBC,AB=2 ,AD=5,DAB=30,点 E在线段 CB的延长线上,且 AE=BE, 则 = . 解析ADBC,
8、且DAB=30,ABE=30. EA=EB, EAB=30. AEB=120.在AEB 中,EA=EB=2, =( ) ( ) =- =-12+2 2 cos 30+5 2 cos 30+5 2 cos 180=-12+6+15-10=-1. 答案-1 7.已知非零向量 a,b 满足|a|=1,且(a-b) (a+b)= . (1)若 a b= ,求向量 a,b 的夹角; (2)在(1)的条件下,求|a-2b|的值. 解(1)(a-b) (a+b)= , a2-b2=|a|2-|b|2= . 又|a|=1,|b|= ,cos= , 0,故向量 a,b 的夹角为 . (2)|a-2b|= - -
9、 =1. 8.设 ab,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数. (1)若 x=a+(t-3)b 与 y=-ka+tb 垂直,求 k 关于 t的函数关系式 k=f(t); (2)求出函数 k=f(t)的最小值. 解(1)因为 ab,所以 a b=0. 又 xy,所以 x y=0, 即a+(t-3)b (-ka+tb)=0, 所以-ka2-k(t-3)a b+ta b+t(t-3)b2=0. 因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+t2-3t=0, 所以 k= (t 2-3t)(t0), 即 k=f(t)= (t 2-3t)(t0). (2)由(1),知 k=f(t)= (t 2-3t) = ( - ) , 所以函数 k=f(t)的最小值为- . 素养培优练 如图,在直角三角形 ABC中,已知 BC=a.若长为 2a的线段 PQ以 A 为中点,问: 与 的夹角取何值 时, 最大?并求出这个最大值. 解设 与 的夹角为 , 则 =( ) ( ) = =-a2- =-a2- ( ) =-a2+ =-a2+a2cos . 故当 cos =1,即 =0( 与 方向相同)时, 最大,其最大值为 0.
