1、8.2.38.2.3 倍角公式倍角公式 课标阐释 1.掌握倍角的正弦、余弦和正切公式,并能推导. 2.会用倍角公式进行三角函数的求值、化简和证明. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 大雁是人们熟知的鸟类类群之一,在迁徙时总 是几十只、数百只,甚至上千只汇集在一起, 列队而飞,古人称之为“雁阵”.“雁阵”由有经验 的“头雁”带领,加速飞行时,队伍排成“人”字形, 一旦减速,队伍又由“人”字形变换成“一”字形. 当飞在前面的“头雁”的翅膀在空中划过时,翅膀尖上就会产生一股 微弱的上升气流,排在它后面的大雁就可以依次利用这股气流,从 而节省了体力.研究表明,大雁排成的“人”字形的每边与前进方向的 夹角约
2、为55,那么“人”字形的夹角就是这个角的两倍,大约为 110. 这两个角的三角函数之间有什么关系? 激趣诱思 知识点拨 知识点:倍角公式 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4是2的二 倍,是 2的二倍等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换 元思想. (2)对于 S2和 C2,R,但是在使用 T2时,要保证分母 1-tan20,且 tan 有意义,即 k+ 4(kZ),且 k- 4(kZ),且 k+ 2(kZ).当 =k+ 4(kZ)及 =k- 4(kZ)时,tan 2 的值不存在;当 =k+ 2(k Z)时,tan 的值不存在,故不能用二倍
3、角公式求 tan 2,此时可以利用 诱导公式直接求 tan 2. (3)一般情况下,sin 22sin ,cos 22cos ,tan 22tan . (4)倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如 sin 3cos 3=1 2sin 6. 激趣诱思 知识点拨 微练习 求下列各式的值. (1)4sin 15cos 15= ; (2)若 cos =1 3,则 cos 2= ; (3)若 tan =1 2,则 tan 4= . 解析(1)4sin 15cos 15=2 2sin 15cos 15=2sin 30=1. (2)cos 2=2cos2-1=2 1 3 2 -1=-7 9
4、. (3)tan 2= 2tan 1-tan2 = 21 2 1- 1 2 2 = 4 3,tan 4=tan2 (2) = 2tan (2) 1-tan2(2) = 24 3 1- 4 3 2=- 24 7 . 答案(1)1 (2)-7 9 (3)-24 7 激趣诱思 知识点拨 微总结 二倍角公式的变换 (1)因式分解变换. cos 2=cos2-sin2=(cos +sin )(cos -sin ). (2)配方变换. 1sin 2=sin2+cos22sin cos =(sin cos )2. (3)升幂缩角变换. 1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2. (4)降幂扩角
5、变换. cos2=1 2(1+cos 2),sin 2=1 2(1-cos 2). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 化简、求值问题化简、求值问题 例 1 求下列各式的值: (1)2 3 4 3sin 215; (2)cos 5cos 2 5 ; (3)sin 50(1+ 3tan 10). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)2 3 4 3sin 215=2 3(1-2sin 215)=2 3cos 30= 3 3 . (2)原式= 2sin 5cos 5cos 2 5 2sin 5 = sin 2 5 cos 2 5 2sin 5 = sin 4 5 4sin 5
6、 = sin 5 4sin 5 = 1 4. (3)原式=sin 50 1 + 3sin10 cos10 =sin 50 cos10 + 3sin10 cos10 =sin 50 2 1 2cos10 + 3 2 sin10 cos10 =sin 50 2(sin30 cos10 +cos30 sin10) cos10 =sin 50 2sin40 cos10 =2sin40 cos40 cos10 = sin80 cos10 =1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 化简、求值问题的求解策略 解决此类题目时,要善于观察三角函数式的特点,常变形后正用或 逆用公式来解决. 探
7、究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究根据例 1(2)求 sin 10sin 3 10cos 3 5 cos4 5 的值. 解原式=cos2 5 cos 5cos 3 5 cos4 5 =cos 5cos 2 5 -cos 2 5 -cos 5 = cos 5 cos 2 5 2 = 1 16. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用二倍角公式解决条件求值问题利用二倍角公式解决条件求值问题 例 2(1)已知 sin =3cos ,那么 tan 2 的值为 ( ) A.2 B.-2 C.3 4 D.-3 4 (2)已知 sin 6+ = 1 3,则 cos 2 3 -2 的
8、值等于 ( ) A.7 9 B.1 3 C.-7 9 D.-1 3 (3)已知 cos =-3 4,sin = 2 3, 是第三象限角, 2, . 求 sin 2 的值;求 cos(2+)的值. 分析(1)可先求 tan ,再求 tan 2. (2)可利用2 3-2=2 3- 求值. (3)可先求sin 2,cos 2,cos ,再利用两角和的余弦公式求cos(2+). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1)解析因为 sin =3cos , 所以 tan =3,所以 tan 2= 2tan 1-tan2 = 23 1-32=- 3 4. 答案 D (2)解析因为 cos 3- =s
9、in 2- 3- =sin 6+ = 1 3, 所以 cos 2 3 -2 =2cos2 3- -1=2 1 3 2-1=-7 9. 答案 C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3)解因为 是第三象限角,cos =-3 4, 所以 sin =- 1-cos2=- 7 4 ,所以 sin 2=2sin cos =2 - 7 4 -3 4 =3 7 8 . 因为 2, ,sin = 2 3,所以 cos =- 1-sin 2=- 5 3 ,cos 2=2cos2-1=29 16-1= 1 8,所以 cos(2+)=cos 2cos -sin 2sin =1 8 - 5 3 -3 7 8
10、 2 3=- 5+6 7 24 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 直接应用二倍角公式求值的三种类型 (1)sin (或 cos )cos (或 sin )sin 2(或 cos 2). (2)sin (或 cos )cos 2=1-2sin2(或 2cos2-1). (3)sin (或 cos ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1(1)已知 2, ,sin = 5 5 ,求 sin 2,cos 2,tan 2. (2)已知 sin 4+ sin 4- = 1 6,且 2, ,求 tan 4 的值. 解(1)因为 2, ,sin = 5 5 , 所
11、以 cos =-2 5 5 , 所以 sin 2=2sin cos =2 5 5 -2 5 5 =-4 5, cos 2=1-2sin2=1-2 5 5 2=3 5,tan 2= sin2 cos2 =- 4 3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2)因为 sin 4- =sin 2-( 4 + ) =cos 4+ , 则已知条件可化为 sin 4+ cos 4+ = 1 6, 即1 2sin 2( 4 + ) = 1 6,所以 sin 2+2 = 1 3, 所以 cos 2=1 3.因为 2, ,所以 2(,2), 从而 sin 2=- 1-cos22=-2 2 3 , 所以
12、tan 2=sin2 cos2 =-2 2, 故 tan 4= 2tan2 1-tan22=- 4 2 1-(-2 2)2 = 4 2 7 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用二倍角公式证明利用二倍角公式证明 例 3 求证: cos2 1 tan 2 -tan 2 = 1 4sin 2. 分析可先化简等式左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明(方法一)左边= cos2 cos 2 sin 2 - sin 2 cos 2 = cos2 co s2 2-sin 2 2 sin 2cos 2 = cos2sin 2 cos 2 c
13、os2 2 -sin2 2 = cos2sin 2 cos 2 cos =sin 2cos 2cos = 1 2sin cos = 1 4sin 2=右边. 原式成立. (方法二)左边= cos2tan 2 1-tan2 2 = 1 2cos 2 2tan 2 1-tan2 2 = 1 2cos 2tan =1 2cos sin =1 4sin 2=右边. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比 较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明的一般步骤:先观察,找出角、函数名称
14、、式子结构等方面 的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设 法消除差异,达到证明的目的. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B. 证明左边=1+cos(2+2) 2 1-cos (2-2) 2 = cos(2+2)+cos(2-2) 2 =1 2(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边,等式成立. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 逆用公式巧解题逆用公式巧解题 在运用公式时,
15、不仅要善于观察题目的结构特点,直接运用公式,还 要善于逆用、变形用公式. (1)公式逆用. 2sin cos =sin 2;sin cos =1 2sin 2; cos =sin2 2sin;cos 2-sin2=cos 2; 2tan 1-tan2=tan 2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2)公式的逆向变换及有关变形. 1sin 2=sin2+cos22sin cos =(sin cos )2;1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2; (3)倍角的余弦公式有三种形式: cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2. 在应用时要注意选择合适
16、的形式. cos2=1+cos2 2 ;sin2=1-cos2 2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 求值: (1)sin 10sin 50sin 70; (2)sin 6sin 42sin 66sin 78. 解(1)原式=cos 20cos 40cos 80 =2sin20 cos20 cos40 cos80 2sin20 = 2sin40 cos40 cos80 4sin20 =2sin80 cos80 8sin20 = sin160 8sin20 = sin20 8sin20 = 1 8. (2)原式=sin 6cos 48cos 24cos 12 =2 4sin6
17、cos6 cos12 cos24 cos48 24cos6 =2 3sin12 cos12 cos24 cos48 16cos6 =2 2sin24 cos24 cos48 16cos6 = sin96 16cos6 = 1 16. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 求连续几个正弦或余弦的积,常构造正弦的倍角公式连 续使用,最后利用诱导公式化简求值. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.cos4 8-sin 4 8等于( ) A.0 B. 2 2 C.1 D.- 2 2 答案B 2.若 x - 2 ,0 ,cos x=4 5,则 tan 2x 的值为( ) A.
18、 7 24 B.- 7 24 C.24 7 D.-24 7 解析x - 2 ,0 ,cos x=4 5,tan x=- 3 4,tan 2x= 2tan 1-tan2 = 2 -3 4 1- -3 4 2=- 24 7 . 答案D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.若 sin 2 = 3 3 ,则 cos = ,cos 2= . 解析 cos =1-2sin2 2=1-2 1 3 = 1 3. cos 2=2cos2-1=2 1 9-1=- 7 9. 答案1 3 -7 9 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.已知 sin =cos 2, 2 , ,则 tan = .
19、解析 2, ,sin 0,cos 0. 又sin =cos 2=1-2sin2, 2sin2+sin -1=0, 即(2sin -1)(sin +1)=0, sin =1 2,sin =-1(舍). cos =- 3 2 ,tan =- 3 3 . 答案- 3 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.已知 tan 4 + =3,求 sin 2-2cos2 的值. 解因为 tan 4 + = 1+tan 1-tan =3, 所以 tan =1 2. 所以原式=sin2-2cos 2 sin2+cos2 = 2sincos-2cos2 sin2+cos2 = 2tan -2 tan2+1 = 21 2-2 1 2 2 +1=- 4 5.
