1、第第1 1课时课时 半角的正弦、余弦和正切半角的正弦、余弦和正切 课标阐释 1.能用倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式. 2.理解半角的正弦、余弦和正切公式. 3.会用倍角公式和半角公式进行三角函数的求值、化简和证明. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 同学们,你知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗?半角、全 角主要是针对标点符号来说的,全角标点占两个字节,半角标点占 一个字节,但不管是全角还是半角,汉字都要占两个字节.事实上,汉 字字符规定了英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符,而通 常的英文字母、数字、符号都是半角字符. 那么我们学习的任意角中是否也有“全角”与“半角”之分呢?二
2、者有 何数量关系? 激趣诱思 知识点拨 知识点:半角公式 sin 2= 1- 2 ,cos 2= 1+ 2 ,tan 2= 1- 1+. 名师点析 (1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两 个符号. (2)若给出了角 的具体范围,则先求 2所在范围,再根据 2所在范围确 定符号. 激趣诱思 知识点拨 (3)若给出的角是某一象限的角,则根据下表决定符号: (4)正切半角的有理形式: tan 2 = 1+ = 1- . 激趣诱思 知识点拨 微技巧 半角公式的记忆方法:无理半角常戴帽,象限确定帽前号;数1余弦加 减连,角小值大用加号. 说明:“无理半角常戴帽”是指半角公式是带有根号的无理
3、式;“象限 确定帽前号”指的是半角公式正负号的取舍依赖于 所在的象 限;“数1余弦加减连”指的是公式根号下是数“1”与余弦的和或 差;“角小值大用加号”指的是由于1+cos (为锐角)是减函数,因此 角小值大,故用“+”号. 2 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)sin 15= 1-30 2 . ( ) (2)对于R,sin 2 = 1 2sin 都不成立. ( ) (3)若 56,cos 2=a,则 cos 4 = 1+ 2 . ( ) 答案(1) (2) (3) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用半角公式求值利用半角公式求值 例 1 已知 tan 2=-2 2, 4 , 2
4、,求 2cos2 2-sin-1 3sin 3+ sin 3- 的值. 分析先化简,再求值. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解原式= cos-sin 3 2 cos2+ 3 4 . 因为 4 , 2 ,所以 2 2 , . 所以 cos 2=- 1 1+tan22=- 1 1+(-2 2)2 =-1 3. 所以 sin = 1-cos2 2 = 1- - 1 3 2 = 6 3 , cos = 1-sin2 = 1- 6 3 2 = 3 3 , 所以原式= 3 3 - 6 3 - 3 6 + 3 4 =4(1- 2). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用半
5、角公式求值的思路 (1)看角:看已知角与待求角的2倍关系. (2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用 tan 2 = sin 1+cos = 1-cos sin ,涉 及半角公式的正弦值、余弦值时,常利用 sin2 2 = 1-cos2 2 , cos2 2 = 1+cos2 2 计算. (4)下结论:结合(2)求值. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知 sin =12 13,sin(+)= 4 5, 均为锐角,求 cos 2的值. 解0 2, cos = 1-sin2 = 5 13. 0 2,0 2, 0+. 若
6、 0+ 2, sin(+)sin , + 不可能成立,故 2+. cos(+)=-3 5. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 cos =cos(+)- =cos(+)cos +sin(+)sin =-3 5 5 13 + 4 5 12 13 = 33 65. 0 2,即 0 2 4, 故 cos 2 = 1+cos 2 = 7 65 65 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用半角公式化简三角函数式利用半角公式化简三角函数式 例 2 化简: (1+sin+cos) sin 2-cos 2 2+2cos (2). 分析由观察知含有 2与 ,且分母中含有根号,先用升幂公式将
7、 cos 化为关于 cos2 2的式子,再去掉根号求值. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解原式 = 2cos2 2+2sin 2cos 2 sin 2-cos 2 4cos2 2 = 2cos 2 cos 2+sin 2 sin 2-cos 2 2 cos 2 = cos 2 sin 2 2-cos 2 2 cos 2 = -cos 2cos cos 2 . 因为 2,所以 2 2, 所以 cos 20,所以原式=cos . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系,通过拆、 凑等手段消除角之
8、间的差异,合理选择联系它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为 弦或统一为切. (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、 降幂、配方、开方等. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究本例三角函数式若变为: (1+sin-cos )(sin 2-cos 2) 2-2cos (0),试化 简. 解因为 0,所以 0 2 0). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)f(x)=1 2asin 2x- 3a 1+cos2 2 + 3 2 a+b=1 2asin 2x- 3 2 acos 2x+b=asin 2-
9、 3 +b(a0). (2)令 2+2k2x- 3 3 2 +2k(kZ),得 k+5 12xk+ 11 12(kZ). 因此 f(x)的单调递减区间是 + 5 12 , + 11 12 (kZ).令 2x- 3=k(k Z),得 x= 2+ 6(kZ), 故函数图像的对称中心为 2 + 6 , (kZ). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答题模板(1)运用和、差、倍角公式化简. (2)统一化成f(x)=asin x+bcos x+k的形式. (3)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(x+)+k的形式,研究其性质. 失误警示造成失分的原因:(1)公式应用错误;(2)函数关系式化简
10、不 到位;(3)求单调区间时未用区间. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练已知函数 f(x)=sin 2 + 3 +sin 2- 3 +2cos 2x-1,xR. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间 - 4 , 4 上的最大值和最小值. 解(1)因为 f(x)=sin 2xcos 3+cos 2xsin 3+sin 2xcos 3-cos 2xsin 3+cos 2x=sin 2x+cos 2x= 2sin 2 + 4 , 所以 f(x)的最小正周期 T=2 2 =. (2)因为 f(x)在区间 - 4 , 8 上单调递增,在区间 8 , 4
11、上单调递减, 又 f - 4 =-1,f 8 = 2,f 4 =1,所以函数 f(x)在区间 - 4 , 4 上的最大 值为 2,最小值为-1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.已知 cos =-1 4(-180-90),则 cos 2=( ) A.- 6 4 B. 6 4 C.-3 8 D.3 8 解析因为-180-90, 所以-90 2-45. 又 cos =-1 4, 所以 cos 2 = 1+cos 2 = 1- 1 4 2 = 6 4 . 答案B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.已知 sin =-3 5,3 7 2 ,则 tan 2的值为( ) A.3
12、 B.-3 C.1 3 D.-1 3 解析由题意,可知 37 2 ,且 sin =-3 5, 可得 cos =-4 5, 所以 tan 2 = sin 1+cos=-3,故选 B. 答案B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.若cos 22=a,则sin 11= ,cos 11= . 解析 cos 22=2cos211-1=1-2sin211, 所以 cos 11= 1+cos22 2 = 1+ 2 ,sin 11= 1-cos22 2 = 1- 2 . 答案 1- 2 1+ 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.已知 tan = 3, , 3 2 ,则 sin 2=
13、 . 解析由题意知 =4 3 , 则 sin 2=sin 2 3 =sin 3 = 3 2 . 答案 3 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.化简:cos2A+cos2 3 - +cos2 3 + . 解原式=1+cos2 2 + 1+cos 2 3 -2 2 + 1+cos 2 3 +2 2 = 3 2 + 1 2cos 2A+cos 2 3 -2 +cos 2 3 + 2 =3 2 + 1 2 cos2 + cos 2 3 cos2 + sin 2 3 sin2 +cos 2 3 cos2-sin 2 3 sin2 =3 2 + 1 2 cos2 + 2cos 2 3 cos2 =3 2 + 1 2(cos 2A-cos 2A)= 3 2.
