1、8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦两角和与差的余弦 课后篇巩固提升 基础达标练 1.cos 70cos 335+sin 110sin 25的值为( ) A.1 B. C. D. 解析原式=cos 70cos 25+sin 70sin 25=cos(70-25)=cos 45= . 答案 B 2.化简 sin( - )cos( - )-sin( ) sin( - )的结果为( ) A.cos B.-cos C.sin D.-sin 解析原式=cos( )cos( - )-sin +3x sin( - )=cos +3x+ -3x =cos =-cos . 答案 B 3.(多选)已
2、知 cos = ,则 cos( - )可以取的值为 ( ) A. B.- C. D.- 解析因为 cos = ,则 sin = - = ,当 sin = 时,cos( - ) (cos +sin )= ,当 sin =- 时,cos( - ) (cos +sin )=- . 答案 AB 4.已知ABC的三个内角分别为 A,B,C,若 a=(cos A,sin A),b=(cos B,sin B),且 a b=1,则ABC一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析因为 a b=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,且 A,
3、B,C 是三角形的内角,所以 A=B,即ABC一定 是等腰三角形. 答案 B 5.已知 为三角形的内角且 cos + sin = ,则 = . 解析因为 cos + sin =cos cos +sin sin =cos( - ) ,因为 0, 所以- - ,所以 - ,= . 答案 6.已知 sin(-45)=- ,090,则 cos = . 解析因为 090,所以-45-4545, 所以 cos(-45)= - - , 所以 cos =cos(-45)+45 =cos(-45)cos 45-sin(-45)sin 45= . 答案 7.已知向量 a=(sin , cos -sin ),b=(
4、cos - sin ,cos ),且 a b=2. (1)求 cos(+)的值; (2)若 0 ,0 ,且 sin = ,求 2+ 的值. 解(1)因为 a=(sin , cos -sin ),b=(cos - sin ,cos ), 所以 a b=sin (cos - sin )+( cos -sin )cos = cos cos - sin sin = cos(+). 因为 a b=2,所以 cos(+)=2, 即 cos(+)= . (2)因为 0 ,sin = , 所以 cos = . 因为 0 ,0 ,所以 0+. 因为 cos(+)= ,所以 sin(+)= , 所以 cos(2+
5、)=cos+(+)=cos cos(+)-sin sin(+)= .因为 0 ,0 , 所以 02+sin ,所以 , 因此 cos(-)=cos cos +sin sin = ,sin(-)= - - , cos(+)=cos cos -sin sin = ,sin(+)= - , cos 2=cos(+)-(-)=cos(-)cos(+)+sin(-)sin(+)= . 答案 5.已知 cos - -sin = ,则 cos + 的值是 . 解析由于 cos - -sin = , 整理得 cos + sin -sin = , 即 cos - sin = ,则 cos + = , 可得 co
6、s + =-cos + =- . 答案- 6.若 a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0 ,且 a b= ,则 -= . 解析 a b=cos cos +sin sin =cos(-)= .因为 0 ,所以 0- , 所以 -= . 答案 7.已知 a=(cos ,sin ),b=(cos ,-sin ),均为锐角,且|a-b|= . (1)求 cos(+)的值; (2)若 sin = ,求 cos 的值. 解(1)由题意得|a|=1,|b|=1, 则|a-b|2=(a-b)2=a2-2a b+b2=2-2(cos cos -sin sin )=2-2cos(+)= , 解
7、得 cos(+)= . (2),( ),+(0,), 由 sin = ,cos(+)= 可得 cos = ,sin(+)= ,故 cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin = . 素养培优练 已知函数 f(x)=Asin x+ (xR),且 f(0)=1. (1)求 A 的值; (2)若 f()=- , 是第二象限角,求 cos . 解(1)依题意得 f(0)=Asin A=1,故 A= . (2)由(1)得 f(x)= sin x+ , 由 f()=- 可得 f()= sin + =- , 则 sin + =- ,是第二象限角, 2k+ 2k+(kZ), 2k+ + 2k+ (kZ), 又sin + =- 0, + 是第三象限角, cos + =- - =- , cos =cos* - + =cos + cos +sin + sin =- =- .
