1、 泸泸州市高州市高 20162016 级第一次教学质量诊断性考试级第一次教学质量诊断性考试 数学（理科）数学（理科） 第第卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分分） 、选择题：本大题共有、选择题：本大题共有 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .每小题给出的四个选项中，只有每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的一项是符合要求的. . 1.已知集合( , )|2Ax yyx? ? ?，( , )|2 x Bx yy?，则AB元素的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.命题“xR? ?，1 x ex?（e是自然对数的底数）”的否定
2、是 A.不存在xR?，使1 x ex? B.xR? ?，使1 x ex? C.xR? ?，使1 x ex? D.xR? ?，使1 x ex? 3.已知函数 2 tan ( ) 1tan x f x x ? ? ，则函数( )f x的最小正周期为 A. 6 ? B. 3 ? C. 2 ? D. 4 ? 4.设 1 3 1 ( ) 2 a ?， 1 2 1 ( ) 3 b ?， 3 ln()c ? ?，则下列关系正确的是 A. abc? B. bac? C. acb? D. cba? 5.函数( )cossinf xxxx?的图象大致为 A. B. C. D. 6.若l，m是两条不同的直线，m ?
3、平面?，则“lm?”是“l?”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.正数a，b，c满足346 abc ?，则下列关系正确的是 A. 111 cab ? B. 221 cab ? C. 122 cab ? D. 212 cab ? 8.在梯形ABCD中， 2 ABC ? ?，ADBC，222BCADAB?.将梯形ABCD绕AD所在的直线 旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为 A.(52)? B.(42)? C.(5 2 2)? D.(32)? 9已知函数( )sin()(0,|) 2 f xAxA ? ?的部分图象如图所示，将函数
4、( )yf x?的图象上所有点 的横坐标缩短为原来的 1 4 ，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移(0)? ?个单位长度，得到的函 数图象关于直线 5 6 x ? ?对称，则?的最小值为 A. 8 ? B. 6 ? C. 4 ? D. 3 ? 10.周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正 方形，若图中直角三角形两锐角分别为?，?，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则cos()?的 值为 A. 5 9 B. 4 9 C. 9 16 D. 16 25 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 1624 3 ? B. 8 1
5、6 3 ? C. 168 3 ? D. 84 3 ? 12 已知函数 1 ( )ln(1)(0) x f xeaxaxa a ? ?的值域与函数( ( )f f x的值域相同，则a的取值范围 为 A.(0,1 B.1,)? C. 1 (0, 2 D. 1 ,) 2 ? 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 9090 分分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .把答案填在答把答案填在答题题纸上）纸上） 13.使不等式 1 2 log (2)0x?成立的x的取值范围是_. 14.在ABC?中，角A，B，C所对的边分别为
6、a，b，c，若sinsin()sinaAcCabB?，则角C的 大小为_. 15.已知函数 21,0 ( ) ,0 x x f x x x ? ? ? ? ? ? ，则(1)90f x?的解集为_. 16.长方体 1111 ABCDABC D?中， 1 2ABAAAD?，E是 1 DD的中点， 1 1 4 BFC KAB?，设过点E、 F、K的平面与平面AC的交线为l，则直线l与直线 11 AD所成角的正切值为_. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 1717?2121 题为必考题，题为必考题
7、， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共一）必考题：共 6060 分分. . 17.在ABC?中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知6a ?， 1 cos 8 A?. （1）若5b ?，求sinC的值； （2）ABC?的面积为15 7 4 ，求bc?的值. 18.已知函数( )2sincosf xaxxxx?. （1）求曲线( )yf x?在x?处的切线在y轴上的截距； （2）若函数( )f x在区间0, 2 ? 上是增函数，求实数a的取值范围. 19.如图， 在平面
8、直角坐标系xOy中， 点 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy都在单位圆O上，xOA?， 且( , ) 3 2 ? ? ?. （1）若 13 sin() 614 ? ?，求 1 x的值； （2）若 3 AOB ? ?，求 22 12 yxy?的取值范围. 20.如图， 在四棱锥PABCD?中， 平面PBC ?平面ABCD， 底面ABCD是平行四边形， 且 4 BCD ? ?， PDBC?. （1）求证：PCPD?； （2）若底面ABCD是菱形，PA与平面ABCD所成角为 6 ? ，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余 弦值. 21.已知函数 1 ( )()ln() 2 f xx
9、axx aR?. （1）若( )fx是( )f x的导函数，讨论( )( )lng xfxxax? ?的单调性； （2）若 1 (,2) 2 ae e ?（e是自然对数的底数），求证：( )0f x ?. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一做的第一 题计分题计分. . 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程 为 2 sin2 cos (0)aa?，过点( 2, 4)P
10、 ?的直线l的参数方程为 25 45 xt yt ? ? ? ? ? ? ? ? （t为参数），直线l与 曲线C相交于A，B两点. （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若 2 | |PA PBAB?，求a的值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知定义在R上的函数( ) |f xxmx?， * mN?，若存在实数x使( )2f x ?成立. （1）求实数m的值； （2）若1a ?，1b ?，( )( )4f af b?，求证： 41 3 ab ?. 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 1-5：BDCAD 6-10：BBAAD 11、12：CC 二、填空题二、填空题 1
11、3. (2,3) 14. 3 ? 15. 4,)? 16.4 三、解答题三、解答题 17解：（1）由 1 cos 8 A?， 则0 2 A ? ?，且 3 7 sin 8 A?， 由正弦定理 5 7 sinsin 16 b BA a ?， 因为ba?，所以0 2 BA ? ?，所以 9 cos 16 B ?， sinsin()CAB? 7 sincoscossin 4 ABAB? （2） 113 715 7 sin 2284 ABC SbcAbc ? ?，20bc ?， 222 2cosabcbcA? 22 1 2 2036 8 bc? ?， 22 41bc?， 222 ()2bcbcbc?4
12、14081?， 9bc?. 18.解：（1）因为( )2coscossinfxaxxxx?cossinaxxx?， 当x?时，( )fa?，( )1fa?， 所以曲线( )yf x?在x?处的切线方程为： ()(1)()yaax?， 令0x ?得：2y? ?， 所以曲线( )yf x?在x?处的切线在y轴上的截距为2?； （2）因为( )f x在区间0, 2 ? 上是增函数， 所以( )0fx ?在区间0, 2 ? 上恒成立， 则cossin0axxx?，即 cossinaxxx?， 令( )cossing xxxx?， 则( )sinsincosg xxxxx? ?cos0xx?， 所以(
13、)g x在区间0, 2 ? 上单调递增， 所以 max ( )() 22 g xg ? ?， 故实数a的取值范围是,) 2 ? ?. 19.解：（1）由三角函数的定义有 1 cosx?， 因为 13 sin() 614 ? ?，(,) 3 2 ? ? ?， 所以 5 266 ? ?， 3 3 cos() 614 ? ? ?， 所以 1 coscos() 66 x ? ? cos()cossin()sin 6666 ? ? 3 3313 1 14214 2 ? ? 1 7 ?； （2）由题知 1 cosx?， 2 sin() 3 y ? ? 2222 12 cossin () 3 yxya ?
14、? 1 cos2() 1 cos2 3 22 ? ? ? ? ? ?， 33 1cos2sin2 44 ? ? 3 sin(2) 1 23 ? ?， (,) 3 2 ? ? ?， 4 2( ,) 33 ? ?， 3 sin(2)(,0) 32 ? ? ?， 31 sin(2) 1( ,1) 234 ? ? ?. 所以y的取值范围是 1 (,1) 4 . 20.证明：（1）过P作PEBC?，垂足为E，连接DE， 因为平面PBC ?平面ABCD，所以PE ?平面ABCD， 因为PDBC?，所以BC ?平面PDE，所以DEBC?， 因为 4 BCD ? ?，所以DEEC?， 因为PEDPEC?，所以
15、PDPC?； 解法一：（2）因为BCAD，BC ?平面ADP，AD ?平面ADP， 所以BC平面ADP， 设平面PBC ?平面PAD ?直线l，所以lBC， 因为BC ?平面PDE，所以lPE?，lPD?， 所以DPE?是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角， 因为PE ?平面ABCD， 故PAE?是直线PA与平面ABCD所成角，即 6 PAE ? ?， 设PEa?，则3AEa?，2PAa?， 设DEm?，则ECm?，2DCm?， 所以 222 ( 3 )( 2 )amm?，所以ma?， 故 4 DPE ? ?，所以 2 cos 2 DPE?， 即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦
16、值为 2 2 . 解法二：（2）因为BC ?平面PDE，PE ?平面ABCD， 故PAE?是直线PA与平面ABCD所成角，即 6 PAE ? ?， 且DEBC?，DEPE?， 设PEa?，则3AEa?，2PAa?， 在DEC?中，设DEm?，则ECm?，2DCm?， 在EDA?中，所以 222 ( 3 )( 2 )amm?，所以ma?， 以E为坐标原点，分别以ED、DB、EP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则( ,0,0)D a，( , 2 ,0)A aa，(0,0, )Pa， 则平面PBC的法向量(1,0,0)a ? ?， 设平面PAD的法向量( , , )bx y z ? ?，
17、 因为(,2 ,)APmm m? ?，(0,2 ,0)ADm?， 所以 20 20 my mxmymz ? ? ? ? ? ? ，故(1,0,1)b ? ?， 设平面PBD与平面PAC的夹角为?， 则 12 cos 22 | b a ba ? ? ? ? ? ?， 平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为 2 2 . 21.解：（1）因为 3 ( )ln 2 a fxx x ?，所以 3 ( )(1)ln 2 a g xaxx x ?， 2 1 ( )1 aa g x xx ? ? (1)() (0) xxa x x ? ? ?， （）当0a? ?即0a ?时，所以0xa?，且方程( )0
18、g x ?在(0,)?上有一根， 故( )g x在(0,1)上为增函数，(1,)?上为减函数， （）当0a?即0a ?时， 所以方程( )0g x ?在(0,)?上有两个不同根或两相等根， （）当1a ? ?时 2 (1) ( )0 x fx x ? ?，( )f x在(0,)?上是减函数； （）当1a ? ?时，由( )0fx ?得1xa? ?， 所以( )f x在(1,)a?上是增函数；在(0,1)，(,)a?上是减函数； （）当10a? ?时，由( )0fx ?得1ax? ?， 所以( )f x在(,1)a?是增函数；在(0,)a?，(1,)?上是减函数； （2）因为 3 ( )ln 2 a fxx x ?，令 3 ( )ln 2 a h xx x ?，则 2 1 ( ) a h x xx ?， 因为 1 (,2) 2 ae e ?，所以 2 1 ( )0 a h x xx ?， 即( )h x在(0,)?是增函数， 下面证明( )h x在区间(,2 ) 2 a a上有唯一零点 0
