1、. 四川省自贡市普高四川省自贡市普高2019 届第一次诊断性考试数学试题届第一次诊断性考试数学试题(理工类理工类) 第第卷（共卷（共 60 分）分） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知 1|?xxA，032| 2 ?xxxB，则?BA?（ ） A 31|? xx B1|?xx或1?x C 3|?xx D1|?xx 2若 i i z 32? ?（其中i为虚数单位） ，则复数z的虚部是（ ） Ai 2 B i 2? C
2、2? D2 3等差数列 n a的前n项和为 n S，若11 7 ?a，则? 13 S（ ） A66 B99 C110 D143 4在矩形ABCD中，8?AB，6?AD ，若向该矩形内随机投一点P，那么使ABP?与ADP?的面积都 小于 4 的概率为（ ） A 36 1 B 12 1 C 9 1 D 9 4 5从 1，3，5 三个数中选两个数字，从 0，2 两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇 数的个数为（ ） A6 B12 C18 D24 6将函数 xxf2sin)(?向右平移 4 ? 个单位后得到函数)(xg，则)(xg具有性质（ ） A在) 4 , 0( ? 上单调递增，为
3、偶函数 B最大值为 1，图象关于直线 4 3? ?x对称 C在) 8 , 8 3 ( ? ?上单调递增，为奇函数 D周期为?，图象关于点)0 , 8 3 ( ? 对称 . 7已知数列 n a，则 321 aaa?是数列 n a是递增数列的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 8如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框 图，若输入的ba,分别为 63，36，则输出的?a（ ） A3 B6 C9 D18 9在四边形ABCD中，2?AC，1?BD，则?)()(DBCADCAB （ ） A5 B5? C3? D3 10 若长
4、方体 1111 DCBAABCD ?的顶点都在体积为?288的球O的球面上， 则长方体 1111 DCBAABCD ?的 表面积的最大值等于（ ） A576 B288 C144 D72 11如果函数)(xfy ?满足 ) 4 ()( ? ?axfaxf（0?a） ，则)(axfy ?的一个正周期为（ ） A 4 1 B 4 a C 2 1 D 2 a 12下列四个命题：2ln55ln?； e ? ?ln； 112 11 ? ； 242ln3?e ，其中真命题的个 数是（ ）（e为自然对数的底数） A1 B2 C3 D4 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，满分分，满分 20 分，将答案填
5、在分，将答案填在答题纸上）答题纸上） . 13?)675sin( 0 14在 n x x ) 3 ( 2 ?的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于 15满分为 100 分的试卷，60 分为及格线，若满分为 100 分的测试卷，100 人参加测试，将这 100 人的卷 面分数按照24，36)，36，48)，84，96 分组后绘制的频率分布直方图如图所示，由于及格人数较少， 某老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以 10 取整”的方法进行换算以提高及格率(实数 a 的取整等 于不超过 a 的最大整数)，如：某位学生卷面 49 分，则换算成 70 分作为他的最终考试成
6、绩则按照这种方式， 这次测试的不及格的人数变为 16函数13)( 23 ?xaxxf存在唯一的零点 0 x，且 0 x0?，则实数a的取值范围是 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 题，共题，共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）、证明过程或演算步骤 ） 17已知向量)sin2 , 3(),1 ,cos(xnxm? （1）当 nm ? 时，求 x xx 2 cos1 sincos3 ? 的值； （2）已知钝角ABC?中，角B为钝角，cba,分别为角CBA,的对边，且)sin(2BAbc?，若函数 22 4)(nmxf? ，求)(Bf的值 18 某
7、调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查， 该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同 性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知 100 人中同意父母生“二 孩”占 60%，统计情况如下表： 同意 不同意 合计 . 男生 a 5 女生 40 d 合计 100 （1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明 理由； （2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行 长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学
8、期望. 附： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K ? ? ? )( 0 2 kkP? 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19若数列 n a的前n项和为 n S，首项0 1? a，且)(2 *2 NnaaS nnn ? （1）求数列 n a的通项公式； （2）若0? n a，令)( )2( 1 * 2 Nn aa b n n ? ? ? ，设数列 n b的前n项和 n T，比较 n T与 4 3 大小. 20 如 图 ， 四 棱 锥ABCDP?中 ， 侧 面PAD为 等 边 三
9、角 形 ， 且 平 面?PAD 底 面ABCD， 1 2 1 ?ADBCAB， 0 90?ABCBAD . （1）证明：ABPD ?； . （2）点M在棱PC上，且 PCPM? ，若二面角DABM?大小的余弦值为 7 21 ，求实数?的值. 21已知函数1)1 ( 2 1 ln)( 2 ?xaaxxxf （1）求)(xf的单调区间； （2）若)(xf有极值，对任意的 21,x x，当 21 0xx ?，存在 0 x使 12 12 0 )()( )( xx xfxf xf ? ? ? ，证明： 021 2xxx? 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为： ? ? ? ? ? ? ? sin
10、1 cos1 ty tx （t为参数，), 0?），以坐标原点 为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：) 3 cos(4 ? ? （1）求圆C的直角坐标方程； （2）设点) 1 , 1 (P，若直线l与圆C交于BA,两点，求|PBPA的值. 23设函数 )( | 1| 1|)(Rxxaxxf? （1）当1?a时，求不等式2)(?xf的解集； （2）对任意实数3 , 2?x，都有32)(? xxf成立，求实数a的取值范围 高高 2019 届数学届数学“一诊一诊”参考答案参考答案 一、选择题（60 分） ADDAC ACCCB AB 二、填空题（20 分） 13. 2 2
11、 14.15 15.18 16.2?a 三、解答题（70 分） . 17.（1） nm ? , xxsin2cos3? ，即 2 3 tan?x 22 3cos sin3tan6 111cos2tan xxx xx ? ? （2）2 sin()cbAB?，sin2sinsinCBC? 1 sin0, sin 2 CB? 由角B为钝角知 5 6 B ? ? 22 ( )44cos21f xmnx? 5 ( )4cos13 3 f B? ? 18. （1）因为 100 人中同意父母生“二孩”占 60%， 所以=6040=20a? ，d =40-5=35 文（2）由列联表可得 而 所以有 97.5%
12、的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关 （2） 由题知持“同意”态度的学生的频率为， 即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为 .由于总体容量很大， 故 X 服从二项分布， 即从而 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 X 的数学期望为 19. （1） 10 a且 2 2 nnn Saa?()nN? . 2 111111 2,(1)01Saaa aa?即 22 111 222() nnnnnn nSSaaaa ? ?时 111 ()() nnnnnn aaaaaa ? ?（） 11 =0 nnnn aaaa ? ?1或者 1 =(-1)n nn ana ? ?或者 （2）
13、 11 11 =() (2)22 n b n nnn ? ? 11111111 =(1) 2324352 n T nn ? ? 11113111 =(1) 22124212 n T nnnn ? ? （） 3 4 n T? 20.（1）证明：取 AD 的中点 O，连 OC,OP ?PAD为等边三角形，且 O 是边 AD 的中点 ADPO ? 平面PAD ?底面ABCD，且它们的交线为 AD ABCDPO平面? POBA? OPOADADBA?且, PADAB平面? ABPD ? O . (2)分别以 OC,OD,OP 为轴轴轴zyx,建立空间直角坐标系xyzO?， 则)0 , 0 , 1 ()
14、,3, 0 , 0(),0 , 1, 1 (),0 , 1, 0(CPBA? )3, 0 , 0(),3, 0 , 1 (?OPPC )3, 0 ,(?PCPM )33, 0 ,(?PMOPOM,即：)33, 0 ,(?M 设),(zyxm ?，且m是平面 ABM 的一个法向量， )33, 1 ,(),0 , 0 , 1 (?AMAB ? ? ? ? ? 0)1 (3 0 zyx x ? 取) 1 , 33, 0(?m 而平面 ABD 的一个法向量为)3, 0 , 0(?OP 2 00321 cos, 7 33(1)1 m OP ? ? ? ? 3 5 3 1 ?或10? 3 1 ? 21.
15、解： （1）)(xf的定义域为), 0( ?， 2 1(1)(1) ( )(1) xax fxaxa xx ? ? ?. 理科若0?a，则0)( / ?xf，所以)(xf 在), 0( ?上是单调递增. 若0?a，当 1 (0,)x a ?时，( )0fx?，)(xf单调递增. 当 1 (,)x a ?时，( )0fx? , )(xf单调递减. (2) 由（1）当0?a时，)(xf存在极值. 由题设得 22 121212 12 0 1212 lnln()(1)() ()() 2 ()= a xxxxa xx f xf x fx xxxx ? ? ? ? . 12 12 12 (lnln)1 (
16、)(1) 2 xx a xxa xx ? ? ? . 又 1212 12 2 ()(1) 22 xxxx faa xx ? ? ? ，5 分 ? 121221 021 12121221 (lnln)2()21 ()()(lnln) 2 xxxxxx fxfxx xxxxxxxx ? ? ? ? ? 2 21 2 211 1 2(1) 1 ln 1 x xx x xxx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设t x x ? 1 2 .则) 1( 1 ) 1(2 ln 1 ) 1(2 ln 1 2 1 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ?t t t t x x x x x x . 令) 1(
17、 1 ) 1(2 ln)(? ? ? ?t t t ttg，则 ? 2 22 2 (1)(1) 1(1) ( )0 (1)(1) tt t g t ttt t ? ? ? ? 所以)(tg在), 1 ( ?上是增函数，所以0) 1 ()(? gtg 又 21 0xx ?，所以0 12 ? xx， 因此 12 0 ()()0 2 xx fxf ? ? 即 12 0 ()() 2 xx ffx ? ? 又由 1 ( )(1)fxaxa x ?知( )fx?在), 0( ?上是减函数， 所以 0 21 2 x xx ? ? ，即 021 2xxx?. 22 （1） 2 4 cos()2 cos2 3 sin 3 ? ? 22 22 3xyxy? 圆 22 :22 30C xyxy? （2） 将 1cos , 1sin xt yt ? ? ? ? ? ? ? ? 代入 22 :22 30C xyxy? ? 2 2 3sin2sin2 30tt? . 设点BA,所对应的参数为 21,t t则 1 2 2 3t t ? ? 1 2 2 3PAPBt t? 23 （1）当1a ?时，( )112f xxx? 当1x ?时112,1xxx? ? ?1x? 当11x? ?时1 12,xxx? ? ? 当1?x时1 12,1xxx? ? ? ? ?1x? ? 综
