1、 第 1 页，总 6 页 “隐形圆隐形圆”问题问题 【问题概述问题概述】 江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆 方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用 圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题 【求解策略求解策略】 策略一策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例例 1 1（1）如果圆(x2a) 2 (ya3) 2 4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数a的取值 范围是 （2）（2016 年南京二模）
2、已知圆 O：x 2 y 2 1，圆 M：(xa) 2 (ya4) 2 1,若圆 M 上存 在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得APB60，则a的取值范围是 （3）（2017 年苏北四市一模）已知 A、B 是圆 1: 22 1 yxC上的动点，3AB , P 是圆 1)4()3( : 22 2 yxC上的动点，则PBPA的取值范围是 (4) 若对任意R,直线4) 6 sin(2sincos: yxl与圆 1)3()( : 22 mymxC均无公共点,则实数m的取值范围是 注：直线l：Ryyxxsin)(cos)( 00 为圆 M：的切线系 22 0 2 0 )()(Ry
3、yxx 例例 2 2 （2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x 2 y 2 4 上两点，点 A(1, 1)，且 ABAC，则线段 BC 的长的取值范围为 第 2 页，总 6 页 变式变式 1 1 （2017 年常州高三期末卷） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 O : x 2 y 2 16 ， 点 P (1, 2) ，M、N 为圆 O 上两个不同的点，且 0PNPM ，若 PNPMPQ ，则PQ的最小值是 变式变式 2 2 已知圆 C1 ：9 22 yx，圆 C2 ：4 22 yx,定点 )0 , 1 (P,动点BA,分别在圆 C1 和 圆 C2 上
4、，满足 0 90APB,则线段 AB的取值范围 A B 0 P 变式变式 3 3 已知向量 a、b、c 满足3a,2b,1c, 0cbca ,则ba的取值范围是 策略二策略二 动点动点 P P 对两定点对两定点 A A、B B 张角是张角是 0 90，0, 1PBPAkk PBPA 或 确定隐形圆。确定隐形圆。 例例 3 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C： (x 3) 2 ( y 4) 2 1 和两点 A(m, 0) ， B(m, 0) ，若圆上存在点 P，使得 0 90APB，则 m 的取值范围是 （2） （海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (
5、1，0) ，Q(2 ，1) ， 直线l：ax by c 0 其中实数 a，b，c 成等差数列，若点 P 在直线l上的射影为 H，则线 段 QH 的取值范围是 （3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设 m R ，直线 1 l：x my 0 与直线 2 l：mx y 2m 4 0 交于点 00, y xP，则 0 2 0 2 0 2xyx的取值范围是 第 3 页，总 6 页 变式变式 4 4 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1 l：kxy20 与直线 2 l：xky 20 相交于点 P，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 xy40 的距离的最大值为 策略三策略
6、三 两定点两定点 A A、B B，动点，动点 P P 满足满足 PA PA PB PB 确定隐形圆确定隐形圆 例例 4 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点(2,3)A，点(6, 3)B，点P在直线3430 xy上， 若满足等式 20AP BP 的点P有两个，则实数的取值范围是 （2）（2016 年盐城三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CBCA （为常数），且点 C总不在以点B为圆心， 2 1 为半径的圆内，则负数的最大值为 策略四策略四 两定点两定点 A A、B B，动点，动点 P P 满足满足 PAPA 2 PBPB 2 是定值确定隐形圆是定值确定隐形圆 例例 5
7、5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(xa) 2 (ya2) 2 1，点 A(0，2)，若 圆 C 上存在点 M，满足 MA 2 MO 2 10，则实数a的取值范围是 （2）（2017 年南京、 盐城一模） 在 ABC 中， A， B， C 所对的边分别为 a, b, c ， 若82 222 cba， 则 ABC 面积的最大值为 变式变式 5 5（2008 江苏）若 AB 2 ， BCAC2 ，则 SABC 的最大值 策略五策略五 两定点两定点 A A、B B，动点，动点 P P 满足满足) 1, 0( PB PA 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 例例 6
8、 6（1）（2016 年南通一模）在平面直角坐标 xOy 中，已知点 A(1, 0), B(4, 0) ，若直线 第 4 页，总 6 页 0myx上存在点P使得PBPA 2 1 ，则实数m的取值范围是 （2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x 2 y 2 1， 1 O：(x4) 2 y 2 4，动点 P 在直线03byx上，过点 P 作圆 O， 1 O的两条切线，切点分别为 A，B， 若满足 PB 2PA 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围 例例 7 7 （2017 年南通二模） 一缉私艇巡航至距领海边界线 l （一条南北方向的直线） 3.8 海里的
9、A 处， 发现在其北偏东 30方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击已知缉私 艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行 （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功； （参考数据： 7446. 533, 6 3 17sin 0 ） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由 北 l 领海 公海 B 30 A 策略策略六六 由圆周角的性质确定隐形圆由圆周角的性质确定隐形圆 例例 8 8 （1）已知 a, b, c 分别为 ABC 的三个内角 A, B,
10、C 的对边，a 2， (a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC 则 ABC 面积的最大值为 第 5 页，总 6 页 （2）（2017 年常州一模）在ABC中， 0 45C，O 是ABC的外心，若OBnOAmOC， Rnm,，则nm的取值范围是 【同步练习同步练习】 1已知直线 l : x 2 y m 0 上存在点 M 满足与两点 A(2, 0) , B(2, 0) 连线的斜率之积 为 1 ，则实数 m 的取值范围是 2(2016 年泰州一模)已知实数 a，b，c 满足 a2 b2 c2 ， c 0 ，则 ca b 2 的取值范围是 3 已知 , t R ，则 (cos t 2)2
11、(sin t 2)2 的取值范围是 4 已知圆 C : ( x 3)2 ( y 4)2 1 和两点 A(m, 0), B(m, 0) (m 0) 若圆 C 上 存在点 P，使得 1PBPA ，则 m 的取值范围是 5在平面直角坐标系 xOy 中，圆 x 2 y 2 1 交x轴于 A, B 两点，且点 A 在点 B 左边，若直线 03myx存在点 P ，使得 PA 2 PB ，则 m 的取值范围为 6（2016 年苏北四市一模）已知 A(0,1) ，B(1,0) ，C(t,0) ，点 D 是直线 AC 上的动点，若 AD 2BD 恒成立，则最小正整数 t 的值为 7（2016 年无锡一模）已知圆
12、 C : ( x 2) 2 y 2 4 ，线段 EF 在直线 l: y x 1 上运 动，点 P 为线段 EF 上任意一点，若圆 C 上存在两点 A、B，使得 0PBPA ，则线段 EF 长度 第 6 页，总 6 页 的最大值是 8如图，已知点 A(1,0)与点 B(1,0)，C 是圆 x2y21 上的动点(与点 A,B 不重合)，连接 BC 并延长至 D，使得|CD|BC|，则线段 PD 的取值范围 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( t ，0)(t 0) ，B(t ，0) ，点 C 满足 8BCAC ， 且点 C 到直线 l： 3x 4y 24 0 的最小距离为 5 9 ,则实数
13、 t 的值是 10（2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O(0, 0) ，A(0, 3) 如果 圆 C : ( x a) 2 ( y 2a 4) 2 1 上总存在点 M 使得 MA 2MO ，则圆心 C 的横坐标 a 的 取值范围是 11已知向量 a、b、c 满足2a,3bab,若 0322cbac ,则cb的最大值是 12设点 A, B 是圆 x2 y2 4 上的两点，点 C(1, 0) ，如果 0 90ACB，则线段 AB 长度 的取值范围为 13在 ABC 中， 2BC ,1AC，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C、 D 两点在直线 AB 的两侧)当C 变化时，线段 CD 长的最大值为 14（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 xOy 中，圆21: 2 2 1 yxC，圆 2 22 2 :mmymxC，若圆 2 C上存在点P满足:过点P向圆 1 C作两条切线 PA、PB，切点 为 A、B，ABP 的面积为 1,则正数 m 的取值范围是
