1、 2021 年 1 月普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（三） （解析版） 一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分.每小题列出的四个备选项中只有一 个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.） 1.函数 2 2101yxx的值域为 A(0,) B(1,) C0 ,) D4 ,) 解析：选 D 因为 22 2101(1)914yxxx ，所以函数 2 2101yxx的值 域为4,)，故选 D 2.1和4的等比中项为（ ） A.2 B.2 C.2 D.4 解析：选 C 由题可得，设等比中项为a，则 2 4a ，解得2a .故选 C. 3.在ABC中，角, ,A B C所对的
2、边分别为, ,a b c.若 222 abcbc，则角A的大小为 （ ） A.60 B.120 C.45 D.135 解析： 选 B 由余弦定理可知 22222 2cosabcbcAbcbc， 所以 1 cos 2 A ， 因为0180A，所以120A.故选 B. 4.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 2 3 B. 2 C. 2 2 3 D. 解 析 ： 选A 由 题 可 得 ， 该 几 何 体 是 半 个 圆 锥 . 所 以 其 体 积 为 112 2 2 323 V .故选 A. 5.要得到函数sinyx的图象，只需将函数sin() 3 yx 的图象（ ） A.向
3、左平移 3 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度 C.向左平移 6 个单位长度 D.向右平移 6 个单位长度 解析：选 B 将函数sin() 3 yx 的图象向右平移 3 个单位长度即可得到函数 sinyx的图象.故选 B. 6.已知经过(2,1),(1,)ABm两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是（ ） A.1m B.1m C.11m D.1m或1m 解析：选 A 因为经过(2,1),(1,)ABm两点的直线的倾斜角为锐角，所以 1 0 12 AB m k ， 解得1m.故选 A. 7.设平面向量(2, ),( 3,1)ax b ，若/ab，则实数x的值为（ ） A. 3 2
4、B. 2 3 C. 3 2 D. 2 3 解析：选 D 因为/ab，所以2 30 x，解得 2 3 x .故选 D. 8.设 n S为等差数列 n a的前n项和.已知 66 36,324,144(6) nn SSSn ，则n为 （ ） A.16 B.17 C.18 D.19 解析：选C 因为 6 324,144(6) nn SSn ，所以 612345nnnnnnnn SSaaaaaa 180，所以 661 6()36180216 nnn SSSaa ，所以 1 36 n aa.所以 1 ()36 324 22 n n n aan S ，解得18n .故选 C. 9.已知抛物线 2 :C yx
5、的焦点为 00 , (,)F A xy是C上一点， 0 3 2 AFx，则 0 x （ ） A. 1 4 B. 1 2 C.1 D.2 解析：选 B 由题可得，抛物线的准线方程为 1 4 x .因为 0 3 2 AFx，由抛物线的定 义可知， 00 13 42 xAFx，解得 0 1 2 x .故选 B. 10.点( 3,1,5),(4,3,1)AB的中点坐标为（ ） A. 1 (,2,3) 2 B. 7 ( ,1, 2) 2 C.( 12,3,5) D. 1 4 ( ,2) 3 3 解析：选 B 设中点为P，则其坐标满足 34 1 3 5 1 (,) 222 ，即为 1 (,2,3) 2 .
6、故选 B. 11.若x、y满足约束条件 360 2 2 xy xy y ，则 22 xy的最小值为 A.5 B.4 C.2 D.2 解析：选 C 由不等式组做出可行域如图，目标函数 22 xy可视为可行域内的点与原点距 离的平方，故其最小值为原点到直线2xy的距离的平方，由点到直线的距离公式可知， 原 点 到 直 线2xy的 距 离 为 2 2 2 d ， 所 以 所 求 最 小 值 为2. 故 选 B. 12.设, a bR，则“4ab”是“2a且2b”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 件 解析：选 B 当2a且2b时，4ab成立，所以是
7、必要条件，当4,1ab时， 4ab，但2a，2b，所以是不充分条件.所以是必要不充分条件.故选 B. 13.在正方体 1111 ABCDABC D中，下列几种说法正确的是（ ） A. 11 ACAD B. 11 DCAB C. 1 AC与DC成45角 D. 11 AC与 1 BC成60角 解析：选 D 由题可得，设1AB ，以D为坐标原点， 1 ,DA DC DD分别为, ,x y z轴，建 立空间直角坐标系Dxyz.则 111 (0,0,0),(0,0,1), (1,0,0),(1,0,1), (1,1,0),(1,1,1)DDAABB， 1 (0,1,0),(0,1,1)CC. 所 以 1
8、1 ( 1,1,0),( 1,0,0)ACAD ， 因 为 11 10AC AD ， 所 以 选 项A错 误 ； 11 (0,1,0),(0,1,0)ABDC， 因 为 11 10AB DC ， 所 以 选 项 B 错 误 ； 因 为 1 ( 1,1,1),(0,1,0)ACDC ，所以 16 cos 632 ，所以 1 AC与DC不成45角， 故选项 C 错误.所以正确的选项是 D. 14.设,0a b ，则 4 (1)(1) ba ab 的最小值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.13 解析：选 C 444 (1)(1)1 4529 bababa ababab .故选 C. 15.设,
9、l m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A.若,lm m，则l B.若, /llm，则m C.若/,lm，则/lm D.若/,/lm，则/lm 解析：选 B 由直线与平面垂直的判定定理可知，选项 A 错误；直线与平面平行，则直 线与平面内的直线没有交点，则是平行或异面，故选项 C 错误；平行于同一个平面的两条直 线不一定平行，故选项 D 错误.故选 B. 16.下列四个命题中正确的是( ) A.若, a bR，则abab B.若, a bR，则abab C.若实数, a b满足abab，则0ab D.若实数, a b满足abab， 则0ab 解析：选 C 当2,0ab时，
10、abab，abab，所以 A,B 均不成立； 当0,2ab时，abab，但0ab，所以 D 不成立，故选 C. 17.已知F是双曲线 22 22 1( ,0) xy a b ab 的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂 直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点， 若ABE是锐角三角形， 则该双曲线的离心率e的 取值范围为（ ） A.(1,) B.(1,2) C.(1,12) D.(2,12) 解析：选 B 如图，因为 2 b AFBF a ，EFac，要使ABE是 锐角三角形，则只需AEB为锐角，故45AEF，所以AFEF，即 22 ca ac a ，化简得 2 20ee ，解得12e .因
11、为1e，所以 12e .故选 B. 18. 如 图 所 示 ， 平 行 四 边 形ABCD中 ，4 ,2A BA D， 60DAB.,E F在边CD，CB上，且满足 CD CE CD ， CB CF CB . 若将CEF沿EF折起， 使得平面CEF与平面ABFED垂直.则直线AC 与直线BE所成角的余弦值为（ ） A. 3 5 B. 2 5 C. 1 10 D. 3 10 解析：选 D 如图所示，设COEF，则CO平面ABFED.因为 CACOOEEDDA，所以 5 3 2 CACOOEEDDA，3BE .设直 线AC与直线BE所成角为，则 5315 cos3coscos 22 CA BECA
12、BE|()COOEEDDA(BC )|CEOEBCOECEEDBCEDCEDABCDACE 11 |33 24 9 41| 4 ，所以 3 cos 10 .即直线AC与直线BE所成角的余弦值为 3 10 .故选 D. 二、填空题（本大题共 5 小空，每空 3 分，合计 15 分） 19. 已 知 集 合 2 1,2 ,3ABa a， 若1AB ， 则 实 数a ， AB . 解析：1; 1,2,4 因为1AB ，且 2 33a ，所以1a ，所以1,4B ，所以 1,2,4AB . 20.在ABC中，ABAC，2,4ABAC，则AB BC . 解析：4 因为ABAC，所以AB BC 2 4AB
13、 . 21. 若 直 线10 xy 与 圆 22 ()2xay恒 有 公 共 点 ， 则 实 数a的 取 值 范 围 是 . 解析： 3,1 将直线与圆方程联立，消去y，化简得 22 2(22 )10 xa xa ，由 方程有解可知， 22 (22 )8(1)0aa ，即 2 230aa，解得31a .故选 C. 22.已知定义在 R 上的奇函数( )f x和偶函数( )g x满足( )( )3xf xg x.若对1,2x，恒 有( )(2 )0af xgx，则实数a的取值范围是 . 解析： 41 ,) 12 因为( )f x是奇函数，所以()( )fxf x ，( )g x是偶函数，所以 (
14、)( )gxg x.因为( )( )3 x f xg x，所以可知( )33 xx f x ，( )33 xx g x .所以 ( )(2 )af xgx 22 (33 )(33)0 xxxx a 对1,2x恒成立，即 222 33(33 )2 3333 xxxx xxxx a 2 33 33 xx xx 对1,2x恒成立，令 8 80 33 , 39 xx t ，所以 2 ()at t 对 8 80 , 39 t恒成立，所以 41 12 a .所以实数a的取值范围是 41 ,) 12 . 三、 （本大题共 3 小题，共 31 分.） 23.在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,
15、a b c.若 222 bacac. (1)求角B的大小； (2)求sinsinAC的取值范围. 解：(1)由余弦定理可得， 22222 2cosbacacBacac， 所以有 1 cos 2 B . 因为0B. 所以 3 B . (2)因为 3 B ，所以 2 3 AC ，即 2 3 CA ，且 2 0 3 A . 所以 233 sinsinsinsin()sincos3sin() 3226 ACAAAAA . 因为 2 0 3 A ，所以 5 666 A . 所以当 62 A ， 3 AC 时， max 3sin()3 6 A ； 当 5 66 A 或 66 A ，即 2 3 A 或0A时
16、， min 3 3sin() 62 A . 所以 3 sinsin(, 3 2 AC. 24.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cmn mn 的离心率为 3 2 ，且经过点 3 (,1) 2 P. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线:(0)l ykxt k交椭圆C于,A B两点，D为AB的中点， OD k为直线OD的 斜率，求证： OD k k为定值. 解：(1)根据题意有 22 2 22 3 , 4 31 1 4 nm n mn 解得 22 1,4mn， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 y x . (2)联立方程组 22 , 44 ykxt xy 消去y，化简得： 222 (4)
17、240kxktxt. 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，AB中点坐标为 00 (,)D xy. 则有 12 0 2 24 xxkt x k ， 00 2 4 4 t ykxt k . 所以 0 0 4 OD y k xk ， 所以 4 4 OD k kk k 为定值. 25.已知函数 2 ( )() 1 xa f xaR x . (1)当1a 时，解不等式( )1f x ； (2)对任意的(0,1)b，当(1,2)x时，( ) b f x x 恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1)因为1a ，所以 2 1 ( ) 1 x f x x . 所以 2 1 ( )1 1 x f x x ，即为 2 11xx . 即 2 10, 11 x xx 或 2 10, 1(1) x xx 解得01x. 所以不等式的解集为(0,1). (2) 2 ( ) 1 xab f x xx 恒成立等价于 1 ()xab x x 恒成立， 即 1 ()xab x x 或 1 ()xab x x 恒成立. 所以有(1) b abx x 或(1) b abx x 恒成立. 所以21ab或 5 (2) 2 ab 对任意(0,1)b恒成立， 解得1a 或 9 2 a . 所以实数a的取值范围是 9 (,1,) 2 .
