1、 2021 年 1 月普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（四） （解析版） 一、选择题一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分，每小题列出的四个选项中只有一个 是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.已知全集0,1,2,3,4U ，集合1,2,3 ,2,4AB，则 UA B （ ） A.1,2,4 B.2,3,4 C.0,2,4 D.0,2,3,4 解析：选 C 由题可得，0,4 UA ，所以 UA B 0,2,4.故选 C. 2.若(0, )，则“ 1 sin 2 ”是“ 6 ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必
2、要条件 解析：选 B 当 6 时， 1 sinsin 62 ，所以是必要条件，当 1 sin 2 ，因为 (0, )，所以 6 或 5 6 ，所以是不充分条件.所以“ 1 sin 2 ”是“ 6 ” 的必要不充分条件.故选 B. 3.函数( )2 (0) x f xx的值域为（ ） A.(0,1 B.0,1 C.1,2 D.(1,2) 解析：选 A 因为0 x，所以 0 221 x ，又20 x ，所以可知函数的值域为(0,1.故 选 A. 4.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（ ） A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆锥、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆柱 D.一
3、个圆柱、两个圆锥 解析：选 D 将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在直线旋转一周，所得几何体为一个圆 柱和两个圆锥，故选 D. 5.设 1 3 log 2a ， 1 2 1 log 3 b ， 0.3 1 2 c ，则（ ） A.abc B.acb C.bca D.bac 解析：选B 由题可得， 00.3 1111 2233 1111 loglog10log 1log 2 3222 bca .故选 B. 6.不等式 2 320 xx的解集为（ ） A.(, 2)( 1,) B.( 2, 1) C.(,1)(2,) D.(1,2) 解析：选 D 因为 2 32(1)(2)0 xxxx等价于 10,
4、 20, x x 或 10, 20, x x 解得 12x.所以不等式的解集为(1,2).故选 D. 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.12 B.12 2 C.6 D.4 解析：选 A 由图可知，该几何体是一个长方体挖去一个圆柱后 的组合体，所以该几何体的体积为4 4 116V .故选 A. 8.过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点 1 F的直线与椭圆上方交于点A.若 12 AFF为等 腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A.32 B.2 1 C. 2 2 D. 3 2 解析：选 B 由题可得，因为 12 AFF为等腰直角三角形，故 121
5、2FFAFc，所以 2 2 2AFc.因为 12 2AFAFa， 所以22 22cca， 即 1 21 21 c e a . 故选 B. 9.函数 2 ( )23f xxx的单调递减区间是（ ） A. 3 ,) 4 B. 3 (, 4 C. 3 ,0 4 和 3 ,) 4 D. 3 (, 4 和 3 0, 4 解析：选 D 由题可得，当0 x时， 22 39 ( )232() 48 f xxxx，此时函数在 3 ,) 4 上单调递增， 在 3 0, 4 上单调递减； 当0 x时， 22 39 ( )232() 48 f xxxx， 此时函数在 3 (, 4 上单调递减，在 3 ,0) 4 上单
6、调递增.所以函数的单调递减区间是 3 (, 4 和 3 0, 4 .故选 D. 10.已知点 00 (,)P x y和点(1,2)Q位于直线:3280lxy的两侧，则（ ） A. 00 320 xy B. 00 320 xy C. 00 328xy D. 00 328xy 解析： 选 C 将点(1,2)Q代入直线方程所在代数式，得3 4 80 ，因为点 00 (,)P x y和 点(1,2)Q位于直线:3280lxy的两侧，所以 00 3280 xy ，即 00 328xy.故 选 C. 11.函数( )2sin(4) 3 f xx 的一个对称中心为（ ） A.(,0) 3 B.(,0) 12
7、 C. 5 (,0) 24 D.(,0) 12 解析：选 B 由题得，令4 3 xk ，解得, 412 k xkZ .所以函数的对称中心为 (,0) 412 k .对比选项，当0k 时，该函数的一个对称中心为(,0) 12 .故选 B. 12.设,m n是两条不同的直线，, 是两个不同的平面，则下列命题中正确 的是（ ） A.若/ / ,mn且，则mn B.若,mn且mn，则 C.若/,/nm且n，则/m D.若,mn且/mn，则/ / 解析：选 A 由题可得，选项 A 中，可以有/mn情况存在；选项 C 中，可以有m； 选项 D 中，这两个平面可以相交.故选 B. 13.若直线34(0)xy
8、m m与坐标轴围成的三角形的面积为24，则实数m的值为（ ） A.12 B.24 C.24 D.24或24 解析：选 B 由题可得，该三角形为直角三角形，直线与坐标轴的交点分别为 (,0),(0,) 34 mm ，所以 2 1 24 23424 mmm S ，解得24m.故选 B. 14.设 n S为等比数列 n a的前n项和， 若 1 1a ， 且 234 2,2a S a 成等差数列， 则数列 2 n a 的前n项和为（ ） A. 41 3 n B. 2 (21) n C. 4 1 3 n D.41 n 解析：选 A 设等比数列的公比为q，因为 1 1a ，且 234 2,2a S a 成
9、等差数列，所以 324 222Saa，即 23 2qq，所以2q ，所以 1 2n n a ，所以 2121 (2)4 nn n a . 所以 1 441 1 43 nn n T .故选 A. 15.已知单位向量 1 e与 2 e的夹角为，且 1 cos 3 .向量 12 32aee与 12 3bee的夹 角为，则cos（ ） A. 2 2 3 B. 1 3 C. 2 3 D. 6 3 解 析 ： 选A 因 为 21 942329 3 a ， 21 9 12 3 18 3 b ， 1 929 1 18 3 a b ，所以 82 2 cos 33 2 2 .故选 A. 16.若点( , )P x
10、 y在圆 22 410 xyx 上，则 1 y x 的最大值为（ ） A. 2 2 B. 1 2 C.1 D.2 解 析 ： 选A 设 1 y k x ， 则(1)yk x， 代 入 圆 方 程 ， 有 2222 (1)(24)10kxkxk ，该方程有解，所以 2222 (24)4(1)0kk ， 化简得 2 1 2 k ，即 22 22 k.所以 1 y x 的最大值为 2 2 .故选 A. 17.设函数 21,0, ( )0,0, 21,0, xx f xx xx 若不等式(1)()0 m f xf x 对任意0 x恒成立，则实 数m的取值范围是（ ） A. 1 1 (, ) 4 4 B
11、. 1 (0, ) 4 C. 1 (,) 4 D.(1,) 解析：选 C 由题可得，函数( )f x是奇函数且是递增函数，因为(1)()0 m f xf x ， 所以1 m x x ， 即 2 mxx 对任意的0 x恒成立， 所以 1 4 m ， 解得 1 4 m . 故选 C. 18.ABC是边长为6的正三角形，D在AB上， 且满足2ADDB， 现沿着CD将ACD 折起至 ACD，使得 A在平面BCD上的投影在BDC内部（包括边界） ，则二面角 ACDB所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. 2 0, 5 B. 2 2 0, 5 C. 2 0, 5 D. 2 ,1 5 解析：选 C 由题可得
12、，如图，在ABC中，过点A作AOCD交CD于点O，交BC 于点H.因为点 A在平面BCD上的投影在BDC内部（包括边界）.所以可知其投影在线 段OH上.过点 A作 AMOH，垂足为M，则有 AM 平面BDC.所以 AOH为二 面角 ACDB所成角的平面角.因为4,6,60ADACCAD，所以 6 21 7 AO . 以BC所在直线的为x轴，BC中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则有 (0,3 3),(3,0),( 2, 3)ACD ，设( , 0)H a.因为AHCD，所以0AH CD，即 53 30a，解得 3 3 5 a .所以 621 5 AH ，所以 6 216 2112 21 57
13、35 OH ， 所以 12 21 0, 35 OM . 在 AOM中， 2 c o s 0 , 562 1 7 O MO M AO HAO.故选 C. 二、填空题二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分，其中第一道填空题两个空） 19.双曲线 2 2 1 4 x y的渐近线方程为 ，离心率为 . 解析： 15 ; 22 yx 因为双曲线的方程为 2 2 1 4 x y，所以可知2,1ab，所以 5c ，所以双曲线的渐近线方程为 1 2 b yxx a ；其离心率为 5 2 c e a . 20.已知数列 n a中， 111 1 ,2(1,) 3 nnnn aa aaannN
14、，则数列 n a的通项公式 为 . 解析： 1 52 n a n 因为 11 2(1,) nnnn a aaannN ，所以有 1 11 2 nn aa ，所 以 1 n a 是以2为公差，首项为 1 1 3 a 的等差数列，所以 1 52 n n a ，即 1 52 n a n . 21.在ABC中，已知D是AB边上一点，若2ADDB， 1 3 CDCACB，则 . 解析： 2 3 因为2ADDB，所以可知,A D B三点共线，因为 1 3 CDCACB， 所以可知 1 1 3 ，解得 2 3 . 22.已知定义在R上的函数( )f x满足(1)f x的图象关于(1,0)点对称，且当0 x时
15、恒有 (2)( )f xf x，当0,2)x时，( )1 x f xe，则20162015ff . 解析：1 e 因为(1)f x的图象关于(1,0)点对称，所以( )f x的图象关于点(0,0)对 称.因为当0 x时恒有(2)( )f xf x，所以 20162015ff(0)(1)ff0(1)e1 e . 三、解答题 23.等比数列 n a的前n项和为 n S，已知 132 ,S S S成等差数列. (1)求 n a的公比q； (2)若 13 3aa，求 n S. 解：(1)因为 132 ,S S S成等差数列， 所以 312 2SSS， 所以 123112 2()aaaaaa， 即 2
16、2(1)2qqq， 解得 1 2 q 或0q . 因为0q ，所以 1 2 q . (2)因为 13 3aa，所以 111 13 3 44 aaa， 解得 1 4a . 所以 1 41 () 81 2 1 () 1 32 1 2 n n n S . 24.已知抛物线C： 2 2(0)xpy p上一点( ,4)S s到其焦点F的距离为 17 4 ，O为原点. (1)过点(0, )Tt作倾斜角为45的直线与抛物线C相交于BA,两点，若90AOB，求 实数t的值； (2)设抛物线C上一点P的横坐标为 1，过P的直线l交x轴于点M，过点P作PM的垂 线交C于另一点N,若MN的中点为Q,且MNPQ，求直
17、线l的方程 解：(1) 17 4 24 p ，解得 1 2 p ，所以抛物线的方程为 2 xy. 将直线方程yx t代入 2 xy，得 2 0 xxt ，设 1212 ( ,), ( ,)A x yB x y， 则 12 x xt ，所以 222 1212 y yx xt， 由90AOB，得 2 1212 0,OA OBx xy yxtt uur uu u r g 因为0t ，所以1t . (2)由题意知，过点(1,1)P的直线MP斜率存在且不为 0，设其为k 则直线PM方程为(1)1yk x， 当 1 0,1yx k 则 1 (1,0)M k . 而PMPN，所以直线NP斜率为 1 k ，直
18、线PN方程为 1 (1)1yx k ， 代入 2 xy，得 2 11 10 xx kk ,由 1 1 NP x x k ， 得 2 112 (1,1)N kkk 由MNPQ得,PNPM得： 2 2 111 11 111 1k kkk ， 解得1k 或 1 3 k 求得直线l的方程为20 xy或340 xy. 25.已知函数 2 ( )() 1 xa f xaR x . (1)当1a 时，解不等式( )1f x ； (2)对任意的(0,1)b，当(1,2)x时，( ) b f x x 恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1)因为1a ，所以 2 1 ( ) 1 x f x x . 所以 2 1 ( )1 1 x f x x ，即为 2 11xx . 即 2 10, 11 x xx 或 2 10, 1(1) x xx 解得01x. 所以不等式的解集为(0,1). (2) 2 ( ) 1 xab f x xx 恒成立等价于 1 ()xab x x 恒成立， 即 1 ()xab x x 或 1 ()xab x x 恒成立. 所以有(1) b abx x 或(1) b abx x 恒成立. 所以21ab或 5 (2) 2 ab 对任意(0,1)b恒成立， 解得1a 或 9 2 a . 所以实数a的取值范围是 9 (,1,) 2 .
