1、 1 2020 年高考理科数学年高考理科数学 解三角形题型归纳与训练解三角形题型归纳与训练 【题型归纳】【题型归纳】 题型一题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用正弦定理、余弦定理的直接应用 例例 1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2 sin()8sin 2 B AC (1)求cosB (2)若6ac，ABC面积为 2，求b 【答案】【答案】 （1） 15 cos 17 B （2）2b 【解析】【解析】由题设及ABC得 2 sin8sin 2 B B ，故sin4(1 cos )BB 上式两边平方，整理得 2 17cos32cos150BB， 解得cos1B（舍去） ， 15
2、 cos 17 B . （2）由 15 cos 17 B 得 8 sin 17 B ，故 14 sin 217 ABC SacBac 又2 ABC S，则 17 2 ac 由余弦定理及6ac得 2222 2cos()2(1 cos )bacacBacacB 1715 362(1)4 217 所以2b 【易错点】【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例例 2 ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,若2 coscoscosbBaCcA,则B . 【答案】【答案】 3 【解析】【解析】 1 2sincos
3、sincossincossin()sincos 23 BBACCAACBBB. 2 【易错点】【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。 【思维点拨】【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。 例例 3 在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 b1，c 3，C2 3，则 S ABC _. 【答案】【答案】 3 4 【解析】【解析】因为 cb，所以 BC，所以由正弦定理得 b sin B c sin C，即 1 sin B 3 sin2 3 2，即 sin B1 2，所以 B 6，所以 A 6 2 3 6.所以 S ABC 1 2
4、bc sin A 1 2 3 1 2 3 4 . 【易错点】【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围 【思维点拨】【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。 题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例例 1 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且, ,A B C成等差数列 (1)若2 3,2bc，求ABC的面积 (2)若sin,sin,sinABC成等比数列，试判断ABC的形状 【答案】【答案】(1)32 (2)等边三角形 【解析】【解析】(1)由 A，B，C 成等差数列，有 2BAC(1)
5、 因为 A，B，C 为ABC 的内角，所以 ABC(2) 得 B 3 ， b2a2c22accosB(3) 所以 3 cos44)32( 22 aa 解得4a或2a(舍去) 所以32 3 sin24 2 1 sin 2 1 Bacs ABC (2)由 a，b，c 成等比数列，有 b2ac(4) 由余弦定理及(3)，可得 b2a2c22accosBa2c2ac 再由(4)，得 a2c2acac，即(ac)20。因此 ac 从而 AC(5) 由(2)(3)(5)，得 ABC 3 3 所以ABC 为等边三角形 【易错点】【易错点】等差数列，等比数列容易混淆 【思维点拨】【思维点拨】在三角形中，三边和
6、三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数 列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了. 例例 2 在ABC 中，已知2a bc ， 2 sinsinsinABC ，试判断ABC 的形状。 【答案】【答案】等边三角形 【解析】【解析】 2 sinsinsinABC 2 abc，又2a bc ，所以 22 4()abc，所以 2 4()bcbc，即 2 ()0bc，因而bc；由2a bc 得ab。所以abc，ABC 为等边三角形。 【易错点】【易错点】条件的转化运用 【思维点拨】【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形： （1）一个
7、方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用； （2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 题型三与三角形中有关的不等式问题题型三与三角形中有关的不等式问题 例例 1ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 2 3sin a A . （1）求CBsinsin; （2）若 6cos Bcos C=1，a=3，求ABC 的周长. 【答案】【答案】（1） 3 2 sinsinCB ；（2）333 ABC C 【解析】【解析】 . 3 2 sinsin . sin3 sin sinsin 2 1 . sin3 sin 2 1 , sin3 sin
8、 2 1 ) 1 ( 2 BC A A BC A a Bc A a Bac 由正弦定理得 即由题设得 .333.33 , 93)(, 9 . 8, sin3 sin 2 1 . 3 , 3 2 . 2 1 )cos( , 2 1 sinsincoscos) 1 ()2( 222 2 ABC Ccb bccbbccb bc A a Abc ACBCB CBCB 即由余弦定理得 即又 即 得由题设及 4 【易错点】【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系 【思维点拨】【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使 用面积公式建立等式，再将所有边的关系
9、转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形 问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长 度和它所对的角， 再有另外一个条件， 求面积或周长的值”， 这类问题的通法思路是： 全部转化为角的关系， 建立函数关系式，如sin()yAxb，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具 体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 例例 2 已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,cos3 sin0aCaCbc . (1)求 A 的大小； (2)若 a7,求ABC 的周长的取值范围 【答案】【答案】(1) 3
10、(2)(14,21 【解析】【解析】(1)由正弦定理得： cos3 sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBC sincos3sinsinsin()sinACACACC 1 3sincos1sin() 62 AAA 663 AA ； (2)由已知：0b,0c ,7bca , 由余弦定理 222222 31 492cos()3()()() 344 bcbcbcbcbcbcbc 当且仅当 bc7 时等号成立, 2 ()4 49bc,又bc7,7bc14, 从而ABC 的周长的取值范围是(14,21 【易错点】【易错点】求周长范围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本
11、不等式求出所求问题. 【思维点拨】【思维点拨】 周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合 边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 例例 3ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2c-a=2bcos A. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=23,求 a+c 的最大值. 5 【答案】【答案】(1)B= 3 （2）43 【解析】【解析】:(1)2c-a=2bcos A, 根据正弦定理,得 2sin C-sin A=2sin Bcos A.A+B=-C,sin C=sin(A+B)=sin Bcos A+co
12、s Bsin A, 代入式,得 2sin Bcos A=2sin Bcos A+2cos Bsin A-sin A,化简得(2cos B-1)sin A=0. A 是三角形的内角,sin A0,2cos B-1=0,解得 cos B=1 2, B(0,),B= 3 . (2)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 12=a2+c2-ac. (a+c)2-3ac=12,12(a+c)2-3 4(a+c) 2,当且仅当 a=c=23时取等号, a+c43 【易错点】【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解. (1)根据正弦定理与两角和的正弦
13、公式,化简条件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,结合sin A0得到cos B,从而解出 B;(2)由余弦定理,可得出 12=a2+c2-ac.再利用基本不等式求最大值. 【思维点拨】【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方 程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素; (2) 正弦定理、 余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函 数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系; (3) 涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角
14、函数形式求解. 题型四解三角形的实际应用题型四解三角形的实际应用 例例 1 在某次测量中， 在 A 处测得同一平面方向的 B 点的仰角是 50 ， 且到 A 的距离为 2， C 点的俯角为 70 ， 且到 A 的距离为 3，则 B、C 间的距离为( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】【答案】 D 【解析】【解析】 因BAC120 ，AB2，AC3. BC2AB2AC22AB AC cos BAC492 2 3 cos 120 19. BC 19. 【易错点】【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型 【思维点拨】【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现
15、实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理 解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题 6 例例 2 设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、 乙两楼的高分别是（ ）. A. 1520 3,3 23 mm B. 10 3,20 3mm C. 1032,20 3mm D. 40 20 3,3 3 mm 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设甲楼为DA，乙楼为BC，如图，在 20 R,60 ,20 ,tan6020 3 ,40 cos60 t ABDABDBDmADBDm ABm， 30
16、,120CABABCACBCACB，在ABC中，设ACBCx，由余弦定理得： 222 2? cosABACBCAC BCACB，即 222 1600 xxx，解得 40 3 3 x ，则甲、乙两楼的高 分别是 40 20 3 ,3 3 mm， 【易错点】【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型 【思维点拨】【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理 解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题 【巩固训练】【巩固训练】 题型一题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用正弦定理、余弦定理
17、的直接应用 1.在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知 a=2， 2sinA=sinC= 10 4 时，求 b 及 c 的长 【答案】【答案】b=6或 26；4c 。 【解析】【解析】当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理 ac sinAsinC ，得 c=4 由 sinC= 10 4 ，及 0C 得 cosC= 6 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得 b26b-12=0 7 解得 b=6或 26 所以 6 4 b c 或 2 6 4 b c 2.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 已知 b+c=2a cos B.
18、（I）证明：A=2B； （II）若ABC 的面积 2 = 4 a S，求角 A 的大小. 【答案】【答案】 （1）略 （2） 2 或 4 【解析】【解析】 （I）由正弦定理得sinsin2sincos ,BCAB 故2sincossinsinsinsincoscossin ,ABBABBABAB 于是sinsinBAB，又,0,A B,故0,AB所以 BAB或BAB因此A（舍去）或2AB 所以，2 .AB （II）由 2 4 a S 得 2 1 sinC 24 a ab，故有 1 sinsinCsin2sincos 2 ，因为sin0，得sinCcos 又，C0,，所以C 2 当C 2 时，
19、2 ； 当C 2 时， 4 综上， 2 或 4 3.ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2cos( coscos ).C aB+bAc 8 （I）求 C； （II）若7,cABC的面积为 3 3 2 ，求ABC的周长 【答案】【答案】 （I） 3 ； （II）57 【解析】【解析】 （I）由已知及正弦定理得，2cosC sincossincossinC ， 2cosCsinsinC 故2sinCcosCsinC 可得 1 cosC 2 ，所以C 3 (II)由已知， 13 3 sin 22 abC . 又 3 C ，所以6ab. 由已知及余弦定理得， 22 2cos7aba
20、bC. 故 22 13ab，从而 2 25ab. 所以ABC的周长为57 题型二题型二 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 1.在ABC 中， 内角 A，B， C 所对的边分别是 a，b，c，若 cacosB(2ab)cos A， 则ABC 的形状为( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 【答案】【答案】D 【解析】【解析】因为 cacosB(2ab)cos A， C(AB)， 所以由正弦定理得 sin Csin Acos B2sin Acos Asin B cos A， 所以 sin Acos Bcos Asin B
21、sin Acos B2sin Acos AsinBcos A， 所以 cos A(sin Bsin A)0， 所以 cos A0 或 sin Bsin A， 所以 A 2或 BA 或 BA(舍去)， 所以ABC 为等腰或直角三角形 2.在ABC 中,若 sin A=2cos Bsin C,则ABC 的形状是 . 【答案】【答案】等腰三角形 9 【解析】【解析】由已知等式得 a=2 c2a2b2 2ac c,所以 a2=a2+c2-b2,所以 c2=b2,即 c=b.故ABC 为等腰三角形. 3. ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若c bcos A，则ABC 为( ) A
22、钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 【答案】【答案】A 【解析】【解析】依题意，得sin C sin Bcos A，sin Csin Bcos A，所以 sin(AB)sin Bcos A，即 sin Bcos Acos Bsin A sin Bcos A0，所以 cos Bsin A0.又 sin A0，于是有 cos B0，B 为钝角，ABC 是钝角三角形，选 A. 题型三题型三 与三角形有关的不等式问题与三角形有关的不等式问题 1.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos2Bcos B1cos A cos C. (1)求证：a，b，c 成
23、等比数列； (2)若 b2，求ABC 的面积的最大值 【答案】【答案】 （1）略 （2） 3. 【解析】【解析】(1)证明：在ABC 中，cos Bcos(AC)由已知，得 (1sin2B)cos(AC)1cos A cos C， sin2B(cos A cos Csin A sin C)cos A cos C， 化简，得 sin2Bsin A sin C. 由正弦定理，得 b2ac， a，b，c 成等比数列 (2)由(1)及题设条件，得 ac4. 则 cos Ba 2c2b2 2ac a 2c2ac 2ac 2acac 2ac 1 2， 当且仅当 ac 时，等号成立 0B，sin B 1co
24、s2B1 f(1 2 2) 3 2 . S ABC 1 2ac sin B 1 2 4 3 2 3. ABC 的面积的最大值为 3. 2 在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c已知 2 1 sinsin sin 24 BC BC . (1).求角 A 的大小； (2).若7a ， ABC的面积为 3 2 ，求bc的值 10 【答案】【答案】(1). 2 3 A (2). 3bc 【解析】【解析】(1).由已知得 1 cos1 sin sin 24 BC BC ， 化简得 1 cos cossin sin1 sin sin 24 BCBC BC ， 整理得 1 cos co
25、ssin sin 2 BCBC，即 1 cos 2 BC， 由于0B C，则 3 BC，所以 2 3 A (2).因为 1133 sin 2222 ABC SbcAbc ，所以2bc 根据余弦定理得 2 2 2222 2 72cos 3 bcbcbcbcbcbc， 即 2 72bc，所以3bc 3.在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且满足 cos2Ccos2A2sin) 3 (C sin() 3 C (1)求角 A 的大小； (2)若 a 3，且 ba，求 2bc 的取值范围 【答案】【答案】 （1）A 3或 2 3 .（2） 3，2 3) 【解析】【解析】(1)由已知
26、得 2sin2A2sin2C)sin 4 1 cos 4 3 (2 22 CC ， 化简得 sin2A3 4，sin A 3 2 ， 又 0A，sin A 3 2 ， 故 A 3或 2 3 . (2)由 a sinA b sinB c sinC，得 b2sinB，c2sinC，因为 ba，所以 BA，所以 A 3， 故 2bc4sinB2sinC 4sinB2sin) 3 2 (B3sinB 3cos B 11 2 3sin) 6 ( B. 因为 ba，所以 3B 2 3 ， 所以 6B 6 2， 所以 2bc 的取值范围为 3，2 3) 题型四题型四 解三角形的实际应用解三角形的实际应用 1
27、.一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ， 那么 B，C 两点间的距离是 ( ) A10 2海里 B10 3海里 C20 3海里 D20 2海里 【答案】【答案】A 【解析】【解析】如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30 ，ACB 45 ， 根据正弦定理得 BC sin 30 AB sin 45 ，解得 BC10 2(海里) 2. 要测量对岸两点之间的距离，选取相距的两点，并测得 75ACB ，4
28、5BCD ，30ADC ，45ADB ，求,A B之间的距离. 【答案】【答案】5km 【解析】【解析】如图所示，在ACD中，=120ACD ，=DC=30CADA ， 3ACCDkm.在BCD中，=45BCD ，=75BDC ， =60CBD 3sin7562 sin602 BC .ABC中，由余弦定理， 得，所以5ABkm. A，B之间的距离为5km. 3.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm，则 河流的宽度BC等于 ,A B3km,C D 2 2 2 6262 323cos755 22 AB 12 A240( 31)m B180( 21)m C120( 31)m D30( 31)m 【答案】【答案】C 【解析】【解析】tan15tan(6045 )23， 60tan6060tan15120( 3 1)BC A CB 60m 75 30
