1、外接球与内切球的定心方法外接球与内切球的定心方法 【法一法一】长方体与球的中心对称性质（长方体的对称中心即为球心）-长方体（或可补 形为长方体的柱体、锥体）的体对角线就是其外接球直径。 【补形方法】分别以上、下底面直角三角形的两条直角边为临边构造上、下矩形底面。 【法二法二】球的集合定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。 图（1） 图（2） 图（3） 于图（1） ，OA=OB=OC=OP 对= 1 2 PB; 对于图（2） ，OA=OB=OC=OP= 1 2 PC; 对于图（3）, ,PAABCPAAC PABCABBC PAABA面又 ,ttBCPABBCPBRPBCRPAC面从而在
2、与中，OA=OB=OC=OP= 1 2 PC. 根据球的集合定义可知，O 为三棱锥 P-ABC 的外接球球心。 【法三法三】射影长定理（射影线段等长斜线段等长）-分别过几何体的两个相交平面 多边形的外接圆圆心作各自平面的垂线，二垂线的交点即为外接球的球心，特别地，当一个 平面（多边形）的外心恰好在另一个（下指第二个）与其相交的平面（多边形）的垂线（垂 线过第二个平面多边形的外心）上时，则该外心即为几何体的外接球球心。 【法四法四】过几何体的某个面的外接圆圆心作该平面的垂线与和该平面相交的某条棱的中垂 线的交点即为几何体的外接球球心。 注法四是法三的升级版，应用法四须使二垂线共面（否则，二垂线异
3、面，没有交点） 。 【法法 五五】 构造以底面外接圆直径为一条直角边， 底面的垂线为另一条直角边的直角三角形， 则其斜边即为该几何体的外接球直径。 注法五是法二的升级版，应用了直径所对的圆周角是直角定理。 【证明】根据作法可得，LMML,由 PL面 LMN,得 PLLM,PLLL,又 PLML=L,LM 面 PML,LMPM, 于是，PLLPML与均 为直角三 角形，连结 OM、 OL,则 OM=OL=OL=OP= 1 2 PL=R,因此，点 O 即为三棱锥 P-LMN 的外接球球心。 【例 1】已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=4，SA=SB=SC=4，
4、 则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ） 。 A. 2 3 3 B.2 3 C.2 D.3 3 【例 2】 四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上， AB=2， BC=CD=1，60BCD,AB 面 BCD,则球 O 的表面积为（ ） 。 A.8 B. 8 2 3 C. 8 3 3 D.16 3 【例 1 解析】SA=SB=SC顶点 S 在底面 ABC 内的射影是底面的外心。取 RtABC斜边 AB 的中点 D.连结 SD 则 SD面 ABC.所以 SDAB.所以SAB的外心 O 在 SD 上， 从而 O 即为球 心，R球=OS=OB.由 R 2 =(2 3R) 2 +
5、4 解得 R= 4 3 3 。 【例 2 解析】法一：过底面正ABC的外心（重心）G 作 GH面 BCD,过棱 AB 的中点 F 作 FOBG交GH于 点O ， 则O为 球 心 ， FO垂 直 平 分 棱AB. 2 R球=OB 2=OG2+BG2= 222 1224 11 sin60= 2333 ABBE ，所以球 O 的表面积 S=4 2 16 3 R . 法 二 ： 如 图 ， 作 正ABC的 外 接 圆 直 径BE, 则AE即 为 球 直 径 。 2222 16 4= 3 AERABBE 球 ,解得 2 R球= 4 3 。故球 O 的表面积为 16 3 。 【练习题】1.将边长为2的正方
6、形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角 B-AC-D.则四面体 ABCD 的内切球的半径为（ D ） 。 A.1 B.2 23 C.2 1 D.23 2.已知三棱锥 A-BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，AB 为球 O 的直径，若该三棱锥的体积 为 4 3 3 ，BC=4，BD=3,90CBD，则球 O 的表面积为（ ） 。 A.11 B.20 C.23 D.35 3.已知 A、B、C 是球 O 的球面上三点，AB=2，AC= 2 3, 60ABC，且棱锥 O-ABC 的体 积为 4 6 3 ，则球 O 的表面积为（ D ） 。 A.10 B.24 C.36 D.48 4.将正方
7、形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到三棱锥 D-ABC 的外接球的半径为2 2，则三棱锥 D-ABC 的体积为（ B ） 。 A.16 2 B.16 2 3 C.8 2 D. 8 2 3 5.已知点 A、 B、 C、 D 在同一个球的球面上， AB=BC=2,AC=2， 若四面体 ABCD 的体积为 2 3 3 ， 球心 O 恰好在棱 DA 上，则这个球的表面积为（ D ） 。 A. 25 4 B.4 C.8 D.16 6.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为 4 3 的球体与棱柱 的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ C ） 。 A.6 3 B.12 3
8、C.18 3 D.24 3 7.在三棱锥 P-ABC 中，底面 ABC 是等边三角形，侧面 PAB 是直角三角形，且 PA=PB=2，当三 棱锥 P-ABC 表面积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（ A ） 。 A.12 B.8 C.4 3 D. 32 3 8.已知边长为2 3的菱形 ABCD 中，60A ,现沿对角线 BD 折起，使得二面角 A-BD-C 为 120,此时点 A、B、C、D 在同一个球面上，则该球的表面积为（C ） 。 A.20 B.24 C.28 D.32 9.已知底面为正方形的四棱锥 O-ABCD,各侧棱长均为2 3，底面面积为 16，以 O 为球心，2 为半径作一个球，
9、则这个球与四棱锥 O-ABCD 相交部分的体积为（ C ） 。 A. 2 9 B. 8 9 C.16 9 D. 4 3 10.设 A、 B、 C 是半径为 2 的球的球面上的三个不同的点， 且 OABC,BC=3，120BAC, 则三棱锥 O-ABC 的体积为（ A ） 。 A. 3 4 B. 3 2 C. 3 3 4 D.3 11.如图，直三棱柱 ABC-ABC的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，AB=AC,侧面 BCCB是半 球底面圆的内接正方形，则侧面 ABBA的面积为（ C ） 。 A.2 B.1 C.2 D. 2 2 12.已知球的直径SC=4， A,B是该球球面是的两点， AB=
10、2，45ASCBSC,则棱锥S-ABC 的体积为（ C ） 。 A. 3 3 B. 2 3 3 C. 4 3 3 D. 5 3 3 13.已知圆柱的高为 2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则 这个球的表面积等于（ D ） 。 A.4 B.16 3 C. 32 3 D.16 14.如图， 在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2，60DAB,E 为 AB 的中点， 将ADEBEC与 分别沿 ED、EC 折起，使得 A,B 重合于点 P,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ B ） 。 A. 4 3 27 B. 6 2 C. 6 8 D. 6 24 15.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC是边长为 4 的等 边三角形，三棱锥 P-ABC 的体积为16 3 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ D ） 。 A.16 3 B. 40 3 C. 64 3 D. 80 3
