1、 专题 03 轴对称 1轴对称图形与轴对称的相关概念 （1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形， 这条直线就是它的对称轴 （2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直 线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 2轴对称的性质 （1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形 （2）轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等 （3）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （4）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段
2、的垂直平分线 （5） 两个图形关于某条直线对称， 那么如果它们的对应线段或延长线相交， 那么交点一定在在对称轴上 3轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别： （1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形； （2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的 联系： （1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合； （2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴 对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 4线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的
3、距离相等 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 5画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤 先找到关键点，画出关键点的对应点，然后按照原图顺序依次连接各点 6关于坐标轴对称的点的坐标的关系 （1）点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，-y） （2）点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（-x，y） （3）点（x，y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x，-y） 7等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（简写成等边对等角） 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，（简写成三线合一） 8等腰三角形的判定 如
4、果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成等角对等边） 9等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60 度 10等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等腰三角形 （2）有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形 11含 30 度角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半 12最短路径问题 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题 考点一、轴对称图形考点一、轴对称图形 例例 1 （2020 永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开
5、展安全教育下列安全图标不是轴对称的是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确 故选：D 【名师点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠 后可重合 考点二考点二、轴对称的、轴对称的性质性质 例例 2（2020 哈尔滨）如图，在 Rt ABC 中，BAC=90，B=50，ADBC，垂足为 D，ADB 与 ADB关于直线 AD 对称，点 B 的对称点是点 B，则CAB的度数为（ ） A10 B20 C30 D40 【答
6、案】A 【解析】解：BAC=90，B=50， C=40， ADB 与ADB/关于直线 AD 对称，点 B 的对称点是 B/， AB/B=B=50， ACB/=AB/B-C=10， 故选：A. 【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的两个部分也是全等图形，轴对称（轴对称图形）对 应线段相等，对应角相等 考点三考点三、利用轴对称、利用轴对称设计设计图案图案 例例 3 （2020 吉林）图、图、图都是3 3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点A，B，C 均为格点在给定的网格中，按下列要求画图： （1）在图中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点 （2
7、）在图中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点 （3）在图中，画一个DEF，使DEF与ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点 【答案】 （1） （2） （3）见解析 【解析】 （1）如图，MN 即为所求； （2）如图，PQ 即为所求； （3）如图， DEF 即为所求 【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解本题的关键 考点四考点四、图形的、图形的剪拼剪拼 例例 4 （2020 武汉一模）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时 （机翼间无缝隙） ，AOB的度数是 【答案】22.5 【解析】在解本题的过程
8、中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利 用图形的轴对称的性质，直接得到AOB的度数是22.5 【名师点睛】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关 键 考点五、轴对称与考点五、轴对称与最最小小值值 例例5 （2020荆门） 在平面直角坐标系中， 长为2的线段CD（点D在点C右侧） 在x轴上移动0,2A，0,4B， 连接AC、BD，则ACBD的最小值为（ ） A2 5 B2 10 C6 2 D3 5 【答案】B 【解析】设 C（m，0） ， CD=2， D（m+2，0） ， A（0，2） ，B（0，4） ， AC+BD= 2
9、222 222)4m（ 要求 AC+BD 的最小值，相当于在 x 轴上找一点 P（n，0） ，使得点 P 到 M（0，2）和 N（-2，4）的距离 和最小，如图 1 中，作点 M 关于 x 轴的对称点 Q，连接 NQ 交 x 轴 P/，连接 MP/，此时 P/M+P/N 的值最小. N（-2，4） ，Q（0，-2） P/M+P/N 的值最小值=P/N+P/Q=NQ= 22 262 10， AC+BD 的最小值为 210， 故选：B. 【名师点睛】本题考查对称轴最短问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学 会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解
10、决问题，属于中考选择题 中的压轴题. 考点六、线段垂直平分线考点六、线段垂直平分线的性质的性质 例例 6 （2020 枣庄） 如图， 在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D， 交BC于点E， 连接 AE，若6BC ， 5AC ，则ACE的周长为( ) A8 B11 C16 D17 【答案】B 【解析】DE垂直平分AB，AEBE， ACE的周长ACCEAEACCEBEACBC5611，故选 B 【名师点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距 离相等是解题的关键 考点七考点七、坐标与、坐标与图形变化图形变化-对称对称 例例 7 （2020 济南）如图
11、，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点都在格点上如果将ABC 先沿 y 轴翻折， 再向上平移 3 个单位长度，得到ABC，那么点 B 的对应点 B的坐标为（ ） A（1，7） B（0，5） C（3，4） D（-1，2） 【答案】C 【解析】由坐标系可得 B（-1，1） ，将ABC 先沿 y 轴翻折得到 B 点对应点（3，1）再向上平移 3 个单位 长度，点 B 的对应点/的坐标为（3，1+3） ， 即（3，4） ， 故选：C. 【名师点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称和平移，熟练掌握点的坐标的变化规律是解题的关键 考点考点八、等腰三角形的八、等腰三角形的性质性质 例例 8 （2020 齐齐哈
12、尔）等腰三角形的两边长分别为 3，4，其这个等腰三角形周长是 【答案】10 或 11 【解析】由题意知，应分两种情况： （1）当腰长为 3 时，三角形三边长为 3，3，4，334，能构成三角形；周长=3+3+4=10， （2）当腰长为 4 时，三角形三边长为 3，4，4，周长=3+4+4=11， 故答案为：10 或 11 【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键 考点考点九、等腰三角形的九、等腰三角形的判定判定 例例 9 （2020 黄冈模拟）如图，已知CD90，BC 与 AD 交于点 E，ACBD，求证：AEBE 【答案】见解析 【解析】证明：CD90， AC
13、B 和BDA 是直角三角形， 在 RtACB 和 RtBDA 中， = = ， RtACBRtBDA（HL） ， ABCBAD， AEBE 【名师点睛】本题考查了全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记掌握等腰三角形的判定定理，证明 三角形全等是解题的关键 考点十、等边三角形的考点十、等边三角形的性质性质 例例 10 （2020 常州）如图，在 ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 BC、AB 于点 E、F若AFC 是等边三 角形，则B= 【答案】30 【解析】EF 垂直平分 BC， BF=CF， B=BCF， ACF 为等边三角形， AFC=60 ， B=BCF=30 ， 故答案为：30.
14、【名师点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用垂直平分 线的性质求出B=BCF 是解本题的关键 考点十一、等边三角形的性质与考点十一、等边三角形的性质与判定判定 例例 11 （2020 宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C 为小路端点）和一棵小树（A 为小树位 置）测得的相关数据为：ABC=60 ，ACB=60 ，BC=48 米，则 AC= 米 【答案】48 【解析】ABC=60 ，ACB=60 ， BAC=60 ， ABC 是等边三角形， BC=48 米， AC=48 米. 故答案为：48. 【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题
15、的关键是得到 ABC 是等边三角形 考点考点十二、含十二、含 30 度度角的直角三角形角的直角三角形 例例 12 （2020 黔西南州）如图，在 Rt ABC 中，C=90 点 D 在线段 BC 上，且B=30 ，ADC=60 ， BC=3 3，则 BD 的长度为 【答案】23 【解析】C=90 ，ADC=60 ， DAC=30 ， CD= 1 2 AD， B=30 ，ADC=60 ， BAD=30 ， BD=AD， BD=2CD， BC=3 3， CD+2CD=3 3， CD= 3 DB=2 3， 故答案为：2 3. 【名师点睛】本题考查了含 30角的直角三角形的性质，直角三角形 30所对的
16、直角边等于斜边一半的性 质，属于基础题，速记性质是解题的关键. 1.（2020 宜昌）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片从对称美的角度看，拍得最成功的是（ ） A B C D 2 将ABC 沿着平行于 BC 的直线折叠， 点 A 落到点 A， 若C=120 ， A=26 ， 则ADB 的度数是 （ ） A100 B104 C108 D112 3.（2020 潜江模拟）如图，ABC 与ABC关于直线 l 对称，且A105 ，C30 ，则B（ ） A25 B45 C30 D20 4.（2019广西北部湾）如图，在ABC 中 AC=BC，A=40 ，观察图中尺规作图的痕迹可知BCG 的度 数为（
17、） A. 40 B. 45 C.50 D.60 5（2020 大连）平面直角坐标系中，点 P（3，1）关于 x 轴的对称的点的坐标是（ ） A（3，1） B（3，1） C（3，1） D（3，1） 6.（2020 毕节）已知等腰三角形两边的长分别为 3 和 7，则此等腰三角形的周长（ ） A13 B. 17 C. 13 或 17 D.13 或 10 7（2020 聊城）如图，在 ABC 中，AB=AC，C=65 ，点 D 是 BC 边上任意一点，过点 D 作 DFAB 交 AC 于点 E，则FEC 的度数是（ ） A120 B. 130 C. 145 D.150 8.（2020 武汉东西湖模拟）
18、如图，已知ABC 中，AB3，AC5，BC7，在ABC 所在平面内一条直线， 将ABC 分割成两个三角形，使其中有一个边长为 3 的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A2 条 B3 条 C4 条 D5 条 9 （2020 成都一模） 如图， ABC 中， ABC、 ACB 的平分线相交于 O， MN 过点 O 且与 BC 平行 ABC 的周长为 20，AMN 的周长为 12，则 BC 的长为（ ） A10 B16 C8 D4 10如图，在ABC 中，AB=AC=11，BAC=120 ，AD 是ABC 的中线，AE 是BAD 的角平分线，DF AB 交 AE 的延长线于点 E，则 DF 的
19、长为（ ） A4.5 B5 C5.5 D6 11.（2020温州模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分 角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。 C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若BDE=75，则CDE的度数是（ ） A.60 B.65 C.75 D.80 12.（2020 四川模拟）如图，在ABC 中，ABC=45，AB=3，ADBC 于点 D，BEAC 与点 E，AE=1. 连接 DE，将AED 沿直线 AE 翻折至ABC 所在的平面，得AEF，连接 DF.过点 D 作 DG
20、DE 交 BE 于 点 G.则四边形 DFEG 的周长为（ ） A.8 B. C. D. 二、填空题二、填空题 13我国传统木质结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一常见的图案，这个图案有_条对称轴 14.（2020 天门模拟）若等腰三角形的一个底角为 72 ，则这个等腰三角形的顶角为 . 15.（2020 台州）如图，等边三角形纸片 ABC 边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点分别过点 E，F 沿着 平行于 BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的DEF 的周长是 . 16.（2020 南京）如图，线段 AB、BC 的垂直平分线 l1、l2相交于点 O，若1=39 ，则AOC= . 三、
21、解答题三、解答题 17.（2020 仙桃模拟）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹 （1）如图，四边形 ABCD 中，ABAD，BD，画出四边形 ABCD 的对称轴 m； （2）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AD，画出 BC 边的垂直平分线 n 4 22 24+3 22+ 18.（2020 荆州一模）如图，ABC 中，C90，AC4，BC8 （1）用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线； （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交 BC 于点 D，求 BD 的长 19如图，点 D 是 BC 的中点，DE 垂直平分 AC，垂足为 E，F 是 BA 的
22、中点求证：DF 是 AB 的垂直平分 线 20（2020 鄂州一模）如图所示，在ABC 中，AB=AC，A=120 （1）作线段 AB 的垂直平分线， 分别交 BC、 AB 于点 M、 N（要求用尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法） ； （2）连接 AM，判断AMC 的形状，并给予证明； （3）求证：CM=2BM 21图和图均为正方形网格，点 A，B，c 在格点上 （1）请你分别在图，图中确定格点 D，画出一个以 A，B，C，D 为顶点的四边形，使其成为轴对称图 形，并画出对称轴，对称轴用直线 m 表示； （2）每个小正方形的边长为 1，请分别求出图，图中以 A，B，C，D 为顶点的四边形的面
23、积 22（2020 黄冈模拟）已知：BOA 是一条公路，河流 OP 恰好经过桥 O 平分AOB （1）如果要从 P 处移动到公路上路径最短，除图中所示 PM 外，还可以选择 PN，求作这条路径，两条路 径的关系是，理由是 （2）河流下游处有一点 Q，如果要从 P 点出发，到达公路 OA 上的点 C 后再前往点 Q，请你画出一条最短 路径，表明点 C 的位置 （3）D 点在公路 OB 上，到桥 O 点的距离与 C 点相等，作出CDP，求证：CDP 为等腰三角形 23.（2020 衡阳）如图，在 ABC 中，B=C，过 BC 的中点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、 F （1）求证：
24、DE=DF； （2）若BDE=40 ，求BAC 的度数 24如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，过 D 点的直线 GF 交 AC 于 F，交 AC 的平行线 BG 于 G 点，DE GF，交 AB 于点 E，连接 EG （1）求证：BG=CF （2）请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论 25. （2020 绍兴） 问题： 如图， 在 ABD 中， BA=BD， 在 BD 的延长线上取点 E， C， 作AEC， 使 EA=EC 若 BAE=90 ，B=45 ，求DAC 的度数 答案：DAC=45 思考： （1）如果把以上“问题”中的条件“B=45”去掉，其余条件不变，那么DAC 的度数会改变吗？说明 理由 （2）如果把以上“问题”中的条件“B=45”去掉，再将“BAE=90”改为“BAE=n”，其余条件不变，求 DAC 的度数
