1、 专题 05 分式 1分式 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A B 叫做分式其中 A 叫做分子，B 叫做分母 分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即当 B0 时，分式 A B 才有 意义 2分式的基本性质 AAM BBM ， AAM BBM （M 为不等于 0 的整式） 3最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式，要进行约分化简 4约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫 做分式的约分 5通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改
2、变分式的值，把异分母的分式化为同分母的 分式，这样的分式变形叫做分式的通分 6基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下： （1）加减运算 abab ccc ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 acadbc bdbd ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 （2）乘法运算 a cac b dbd ，其中a bcd、 、 、 是整式，0bd 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母 （3）除法运算 acada d bdbcb c ，其中abcd、 、 、是整式，0bcd 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被
3、除式相乘 （4）乘方运算( ) n n n aa bb 分式的乘方，把分子、分母分别乘方 7零指数 0 1 (0 )aa 8负整数指数 1 p p a a （0a，p为正整数） 9分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 10分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 11分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 12分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知 数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0
4、，那么就会出现不 适合原方程的根增根 因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带入到最简公分母 中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解 13.分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似， 但要稍复杂一些 解题时应抓住“找等量关系、 恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列 出方程，并进行求解 考点一、分式有意义的条件考点一、分式有意义的条件 例例 1 (200 衡阳) 要使分式 1 1x 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A.x1 B.x1 C.x=1 D.x0 【
5、答案】【答案】B 【解析】【解析】要使分式有意义,需要使分母不为零,即 x10,x1,故选 B. 【名师点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为 0 考点考点二二、分式的值为零的条件、分式的值为零的条件 例例 2 （2020 雅安）分式 2 1 0 1 x x ，则 x 的值是（ ） A. 1 B. -1 C.1 D. 0 【答案】A 【解析】分式 2 1 0 1 x x ， x2-1=0 且 x+10， 解得 x=1. 故选：A 【名师点睛】 本题考查了分式值为 0 的条件， 熟知分式值为 0 的条件是分子为 0 分母不为 0 是解题的关键 考点考点三三
6、、分式的、分式的运算运算 例例 3 （2020 大连）计算： 22 442 1 22 xxxx xx 【答案】 2 x 【解析】原式= 2 (2)3 1 2(2) xx xx x = 2 1 x x = 2xx x = 2 x 【名师点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键 考点考点四四、分式、分式的的化简求值化简求值 例例 4（2020 深圳）先化简，再求值：，其中 a=2. 【答案】1 【解析】原式= 2 12(1)3 (1)1 aaa aa ， = 2 11 (1)1 aa aa = 2 11 (1)1 aa aa = 1 1a ， 当 a=2 时， 【名师点睛】本题主
7、要考查分式的化简求值这一知识点,把分式化到最简是解答的关键 考点考点五五、整数指数幂整数指数幂 例例 5（2020 玉林）2019 新型冠状病毒的直径是 0.00012mm，将 0.00012 用科学记数法表示是（ ） A.12010-6 B.1210-3 C.1.210-4 D.1.210-5 【答案】C 【解析】0.00012=1.2 10-4故选 D 【名师点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10-n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 考点考点六六、分式方程的解、分式方程的解 例例 6（2020 广东）方程 3 12
8、2 x xx 的解是_ 【答案】【答案】x= 3 2 . 【解析】【解析】去分母得 2x=3，解得 x= 3 2 经检验 x= 3 2 是原方程的解.故答案为：x= 3 2 . 【名师点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项 是解题的关键 考点考点七七、分式方程、分式方程有增根有增根 例例 7（2020 潍坊）若关于 x 的分式方程 33 1 22 xm xx 有增根,则 m 的值为_. 【答案】【答案】3. 【解析】【解析】解原分式方程,去分母得:3x（m+3）+(x2),若原分式方程有增根,则 x2,将其代入这个一元一次 方程,得 6（m+3）
9、+(22),解之得,m3. 故答案为：3. 【名师点睛】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程 的根，即代入分式方程后分母的值为 0 或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值 的根，叫做原方程的增根 考点考点八八、列列分式方程分式方程 例例 8（2020 广西）甲、乙两地相距 600km，提速前动车的速度为 vkm/h，提速后动车的速度是提速前的 1.2 倍，提速后行车时间比提速前减少 20min，则可列方程为（ ） A. 6001600 31.2vv B. 6006001 1.23vv C. 600600 20 1.2vv D. 6
10、00600 20 1.2vv 【答案】A 【解析】因为提速前动车的速度为 vkm/h，提速后动车的速度是提速前的 1.2 倍，所以提速后动车的速度为 1.2vkm/h， 根据题意可列方程为： 6001600 31.2vv ， 故选 A 【名师点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键 考点考点九九、分式方程、分式方程的应用的应用 例例 9（2020 黔南州）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消 毒剂每瓶价格的 3 倍少 50 元，已知用 300 元购买甲种品牌消毒剂的数量与用 400 元购买乙种品牌消毒剂的 数量相同.
11、 （1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？ （2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共 40 瓶，且总费用为 1400 元，求购买了多少瓶 乙种品牌消毒剂？ 【答案】 （1）甲品牌消毒剂每瓶的价格为 30 元，乙甲品牌消毒剂每瓶的价格为 40 元； （2）购买了 20 瓶乙 品牌消毒剂. 【解析】 （1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为 x 元，乙甲品牌消毒剂每瓶的价格为（3x-50）元， 由题意得： 300400 350 xx ， 解得：x=30， 经检验，x=30 是原方程的解且符合实际意义. 3x-50=40. 答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为 30 元，乙甲品牌消毒剂每瓶的
12、价格为 40 元 （2）设购买甲品牌消毒剂 y 瓶，乙甲品牌消毒剂（40-y）瓶, 由题意得：30y+40（40-y）=1400， 解得：y=20 40-y=40-20=20. 答：购买了 20 瓶乙品牌消毒剂. 【名师点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等 量关系以及等量关系是解题的关键 1在式子 232 1232 1 412 xya b cxx x axy ，中，分式的个数是（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】B 【解析】分式有： 1 1 x a x ，x+ 2 y 共有 3 个故选 B 2.（2020 衡阳）如果分式 1
13、 1x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A. x 1 B. x1 C. 全体实数 D. x1 【答案】A 【解析】由分式 1 1x 在实数范围内有意义，得 x10，所以 x1 故选 A 3（2020 威海）人民日报讯，2020 年 6 月 23 日，中国成功发射北斗系统地 55 颗导航卫星，至此中国提 前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统新座部署，北斗三号卫星上配置的新一代国产原子弹，使北斗 导航系统授时精度达到了十亿分之一秒，十亿分之一用科学记数法表示为（ ） A.1010-10 B.110-9 C.0.110-8 D.1109 【答案】B 【解析】十亿分之一= 1 100
14、0000000 =110-9 十亿分之一用科学记数法表示为：110-9 故选 B 4.（2020 成都模拟）分式方程 52 1 1 x xx 的解为（ ） Ax1 Bx1 Cx2 Dx2 【答案】A 【解析】解：方程两边同时乘以 x（x1）得，x（x5）+2（x1）x（x1） ， 解得 x1，把 x1 代入原方程的分母均不为 0，故 x1 是原方程的解 故选：A 5把分式 2x xy 中的x y、 都扩大到原来的 3 倍，则分式的值（ ） A扩大到原来的 3 倍 B扩大到原来的 6 倍 C缩小为原来的 1 3 D不变 【答案】D 【解析】 2 33 22 333() xxx xyxyxy 故选
15、 D 6.（2020 河北）若 ab，则下列分式化简正确的是（ ） A 2 2 a bb a B 2 2 a b a b C 2 2 a b a b D 1 2 1 2 a b a b 【答案】D 【解析】ab， A、 2 2 a bb a ，故选项错误； B、 2 2 a b a b ，故选项错误； C、 2 2 a b a b ，故选项错误； D、 1 2 1 2 a b a b ，故选项正确； 故选：D 7对分式 2 1 234 yx xyxy ， 通分时，最简公分母是（ ） A 23 24x y B 22 12x y C 2 24xy D 2 12xy 【答案】D 【解析】最简公分母为
16、：12xy2故选 D 8下列计算中正确的是（ ） A 0 ( 1)1 B 1 ( 1)1 C 3 3 1 2 2 a a D 37 4 1 ()()aa a 【答案】D 【解析】 37373 74 4 1 ()()()aaaaaa a 9.（2020 随州） 22 21 42xxx 的计算结果为（ ） A 2 x x B 2 2 x x C 2 2 x x D 2 (2)x x 【答案】B 【解析】原式 2 2 2 (2 ) 4 xx x = 2 (2) (2)(2) x x xx = 2 2 x x 故选 B 10计算 1x x （x- 1 x ），结果正确的是（ ） A 1 1x B1 C
17、 1 1x D-1 【答案】A 【解析】 1x x (x- 1 x )= 2 11 ( xx xx )= 1 (1)(1) xx xxx = 1 1x 故选 A 11. （2020 鸡西）若关于 x 的分式方程 2 1 m xx 有正整数解，则整数 m 的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 3 或 5 D. 3 或 4 【答案】D 【解析】解分式方程，得 2 m x m ， 经检验， 2 m x m 是分式方程的解， 分式方程有正整数解， 则整数 m 的值是 3 或 4 故选 D 12. （2020 荆门） 已知关于 x 的分式方程 23 2 2(2)(3) xk xxx 的解满足41xx
18、， 且 k 为整数， 则符合条件的所有 k 值的乘积为（ ） A正数 B负数 C零 D无法确定 【答案】A 【解析】 23 2 2(2)(3) xk xxx ， （2x+3） （x+3）=k+2(x-2)(x+3) ， 解得，3 7 k x , -4x-2 且 k2. 【解析】去分母得：1 +2(x-2)k1， 解得：x 2 2 k ， 2 2 2 k ， k2， 由题意得： 2 0 2 k ， 解得：k2, k 的取值范围是 k-2 且 k2. 故答案为：k-2 且 k2. 三、解答题三、解答题 21（2020 济南模拟）写出下列分式中的未知的分子或分母： （1） 2 2 183 24()
19、m nm mn ；（2） 2 ()ab aba b ；（3） 2 2 () xxyxy x 【答案】（1）4n；（2） 2 aab；（3）x 【解析】利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变 形叫做分式的约分，而利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母 的分式化为同分母的分式， 这样的分式变形叫做分式的通分， 根据定义， 2 2 183 244 m nm mnn ， 2 2 abaab aba b ， 2 2 xxyxy xx ， 所以括号内的整式依次为4n， 2 aab，x 22（2020 石家庄一模）计算：（1）
20、2 31221 ()() 2422aaaa ； （2） 22 22 44 244 xxx xxxx 【答案】（1）3；（2） 22 2 x x . 【解析】（1） 2 31221 ()() 2422aaaa 3(2)122(2)2 (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2) aaa aaaaaaaa 3186 (2)(2)(2)(2) aa aaaa 3(6)(2)(2) 3 (2)(2)6 aaa aaa （2）原式 2 (4)(2)(2)4222 (2)(2)222 x xxxxxx x xxxxx 23.（2020 河池）先化简，再计算： 2 2 1 211 aa aaa ，其中2
21、a. 【答案】 1 1 a a ，3. 【解析】原式= 2 (1)1 (1)1 a a aa = 1 11 a aa = 1 1 a a 当 a=2 时，原式= 2+1 3 2 1 . 24.（2020 扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染 进货单 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品的进价比乙商品的进价每件高 50% 王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40 件 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单 【答案】甲商品的进价为 60 元/件，乙商品的进价为 40 元/件，购进甲商品 120 件，购进乙商品 80 件. 【解析】
22、设乙商品的进价为 x 元/件，则甲商品的进价为（1+50）x 元/件， 依题意，得： 00 72003200 40 (1 50 xx ） ， 解得：x=40， 经检验，x=40 是原方程的解，且符合题意， （1+50）x=60， 3200 80 x ， 00 7200 120 1+50 x （） . 答：甲商品的进价为 60 元/件，乙商品的进价为 40 元/件，购进甲商品 120 件，购进乙商品 80 件. 25. （2020 永州） 某药店在今年 3 月份， 购进了一批口罩， 这批口罩包括有一次性医用外科口罩和 N95 口罩， 且两种口罩的只数相同其中购进一次性医用外科口罩花费 1600
23、元，N95 口罩花费 9600 元已知购进一 次性医用外科口罩的单价比 N95 口罩的单价少 10 元 （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和 N95 口罩的单价各是多少元？ （2）该药店计划再次购进两种口罩共 2000 只，预算购进的总费用不超过 1 万元，问至少购进一次性医用 外科口罩多少只？ 【答案】（1）一次性医用外科口罩的单价是 2 元，N95 口罩的单价是 12 元；（2）至少购进一次性医用外 科口罩 1400 只. 【解析】（1）设一次性医用外科口罩的单价是 x 元，则 N95 口罩的单价是（x+10）元，依题意有 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200
24、乙 3200 16009600 10 xx ， 解得：x=2， 经检验，x=2 是原方程的解， x+10=2+10=12. 故一次性医用外科口罩的单价是 2 元，N95 口罩的单价是 12 元; （2）设购进一次性医用外科口罩 y 只，依题意有 2y+12（2000-y）10000， 解得 y1400. 故至少购进一次性医用外科口罩 1400 只. 26.（2020 湖州）某企业承接了 27000 件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共 50 名工人，合作 生产 20 天完成已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产 25 件，乙 车间每人每天生产 30 件 （
25、1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ （2）为了提前完成生产任务生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高 20%，乙车间维持不变 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同） ，甲车间维持不变 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同 求乙车间需临时招聘的工人数； 若甲车间租用设备的租金每天 900 元，租用期间另需一次性支付运输等费用 1500 元；乙车间需支付临时 招聘的工人每人每天 200 元问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由 【答案】（1）甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名
26、工人参与生产；（2）乙车间需临时招聘 5 名工人，选择方案一能更节省开支理由见解析 【解析】（1）设甲车间有 x 名工人参与生产，乙车间有 y 名工人参与生产，由题意的： 50 20 2530=27000 xy xy （） ， 解得 30 20 x y . 甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名工人参与生产. （2）设方案二中乙车间需临时招聘 m 名工人，由题意得： 00 2700027000 = 30 251+20+20 3030 25+20+m) 30（）（ ， 解得：m=5. 经检验，m=5 是原方程的解，企鹅符合题意. 乙车间需临时招聘 5 名工人. 企业完成生产任务所需的时间为： 00 27000 =18 30 251+20+20 30（） （天） 选择方案一增加的费用为 90018+1500=17700（元） ， 选择方案二增加的费用为 518200=18000（元） ， 1770018000， 选择方案一能更节省开支
