1、 常德市一中常德市一中 2021 届高三年级第三次月水平检测考试届高三年级第三次月水平检测考试 数学试题数学试题 满分：满分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟分钟 命题人：高三年级数学备课组命题人：高三年级数学备课组 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的.） 1. 设xR，则 2x 的一个充分不必要条件是（ ） A. 1x B. 1x C. 1x D. 3x 【答案】D 2. 设直线l不在平面内，直线m在平面内，则
2、下列说法正确的是（ ） A. 直线l与直线m没有公共点 B. 直线l与直线m异面 C. 直线l与直线m至多一个公共点 D. 直线l与直线m不垂直 【答案】C 3. 已知幂函数 2 23 22 nn f xnnx nZ的图象关于 y 轴对称，且在0,上是增函数，则n的 值为（ ） A. 3 B. 1 C. 1 D. 3或 1 【答案】A 4. 欧拉公式 i ecosisin 把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos和sin联系在一起，充 分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足 i iiez ，则z （ ） A. 1 B. 2 2 C. 3 2 D. 2 【答案】B 5.
3、设bR，数列 n a的前 n项和3n n Sb，则（ ） A. n a是等比数列 B. n a是等差数列 C. 当1b 时， n a是等比数列 D. 当1b时， n a是等比数列 【答案】D 6. 为得到函数6sin 2 3 yx 的图象，只需要将函数6cos2yx的图象（ ） A. 向右平行移动 6 个单位 B. 向左平行移动 6 个单位 C. 向右平行移动 5 12 个单位 D. 向左平行移动 5 12 个单位 【答案】C 7. 若平面区域 30 230 230 xy xy xy 夹在两条斜率均为 1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值 为（ ） A. 3 5 5 B. 2 C
4、. 3 5 2 D. 5 【答案】B 8. 设( )fx是函数 ( )f x的导函数，且( )2 ( )()fxf x xR ， 1 2 fe （e为自然对数的底数） ，则不等 式 2 (ln )fxx的解集为（ ） A. 0, 2 e B. (0,)e C. 1 , 2 e e D. , 2 e e 【答案】B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求目要求.全部选对得全部选对得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分
5、分. 9. 在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动） ，点D恰好 经过坐标原点，设顶点,B x y的轨迹方程是 yf x，则对函数 yf x的判断正确的是( ) A. 函数 yf x是奇函数 B. 对任意xR，都有 44f xf x C. 函数 yf x的值域为 0,2 2 D. 函数 yf x在区间6,8上单调递增 【答案】BCD 10. 已知函数 tan0,0 2 f xx 图象关于点 ,0 6 成中心对称，且与直线y a 的 两个相邻交点间的距离为 2 ，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数 f x的最小正周期为 B. 函数 f x图象的对称中
6、心为 ,0 6 kkZ C. 函数 f x的图象可由 tan2yx 的图象向左平移 6 得到 D. 函数 f x的递增区间为 , 2326 kk kZ 【答案】D 11. 九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在 其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图 1，用对角线将长和宽分别为b和 a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、 青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图 2 所示的矩形，该矩形长为a b，宽为内接正方形的边长d. 由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图
7、3.设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正 方形对角线AE，过点A作AFBC于点F，则下列推理正确的是（ ） 由图 1和图 2面积相等得 ab d ab ； 由AEAF可得 22 22 abab ； 由ADAE可得 22 2 11 2 ab ab ； 由ADAF可得 22 2abab . A. B. C. D. 【答案】ABCD 12. 对于函数 f x和 g x，设 0 x f x， 0 x g x，若存在，使得1， 则称 f x与 g x互为“零点相邻函数”.若函数 1 2 x f xex 与 2 3g xxaxa 互为“零点相 邻函数”，则实数a的取值可以是（ ） A. 2 B
8、. 7 3 C. 3 D. 4 【答案】ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 给出下列三个函数： 1 y x ； sinyx； exy ， 则直线 1 2 yxb(bR)不能作为函数_ 的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号） 【答案】 14. 已知扇形的周长为 8cm，圆心角为 2，则扇形的面积为 【答案】4 15. 已知向量a和b满足| |2 |2,| 1aabab ，则 a b _. 【答案】1 16. 在平行四边形ABCD中， 2 2AB ，3BC ，且 2 cos 3 A ，以BD为折痕，将 BDC折起
9、，使 点C到达点E处，且满足AEAD，则三棱锥EABD的外接球的半径为_. 【答案】 13 2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在7c ， 1 cos 7 A ， 1 cos 8 A ， 9 cos 16 B .这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在 ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知11ab， .求a，b的值. 【答案】答案见解析. 18. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 且 1 1a ， 5 15S ， 公比大于1的等比数列 n
10、 b满足：2 4 20bb， 3 8b . （1）求 n a， n b； （2）令 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n T. 【答案】 （1） n an，2n n b ； （2） 1 1 22 n n Tn . 19. 函数 2 6cos3sin3(0) 2 x f xx 在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、 C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形. （1）求值及函数 f x的值域； （2）若 0 8 3 5 f x，且 0 10 2 , 3 3 x ，求 0 1f x 的值. 【答案】 （2） 4 ，函数的值域为2 3,2 3 ;（2） 7 6 5 . 20. 如图
11、，已知四棱锥侧棱 PD底面 ABCD，且底面 ABCD 是直角梯形，ADCD，ABCD， AB=AD= 1 2 CD=2，点 M 在侧棱上 （1）求证：BC平面BDP； （2）若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 1 2 ，点 M 为侧棱 PC 的中点，求异面直线 BM 与 PA 所成 角的余弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 10 10 21. 已知函数 4 log41 x fxmx 是偶函数，函数 4 2 x x n g x 是奇函数 （1）求mn的值； （2）设 1 2 h xf xx，若 4 log21g h xha 对任意4 log 3x 恒成立，求实数a的取值范 围 【答案】 （1） 1 2 mn ； （2） 1 ,3 2 . 22. 已知函数 sin x f xex.（e是自然对数的底数） （1）求 f x单调递减区间； （2）记 g xf xax，03a，试讨论 g x在0,上的零点个数.（参考数据： 2 4.8e ） 【答案】 （1） 37 2,2 44 kk kZ； （2）答案见解析.
