1、 海安市实验中学海安市实验中学 20202021 学年第一学期第三次学情检测学年第一学期第三次学情检测 高三数学高三数学 一一选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分每小题四个选项中只有一项符合题意每小题四个选项中只有一项符合题意 1已知全集为R,集合 22 1 1 ,68 0 2 x AxBxxx 剟,则 R AB（ ） A0 x x B 24xx剟 C 02xx或4x D 02xx或4x 2已知 5 12 i z i （i为虚数单位）,则z的共轭复数为（ ） A2 i B2i C2 i D2i 3设xR,则“ 3 8x ”是“| 2x ”的_条件
2、（ ） A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 4声音大小（单位为分贝）取决于声波通过介质时,所产生的压力变化（简称声压,单位为 2 N/m） 已知声 压x与声音大小y的关系式为 2 5 10 lg 2 10 x y ,且根据我国工业企业噪声卫生标准规定,新建企业 工作地点噪声容许标准为 85 分贝若某新建企业运行时测得的声音为 80 分贝,则该企业的声压为（ ） A 2 20N/m B 2 5N/m C 2 0.5N/m D 2 0.2N/m 5过点(1,1)的直线l与圆 22 40 xyx交于,A B两点,则|AB的最小值为 （ ） A2 B2 C2 2 D4 6已知01m
3、n,不等式 11 23 mn ; 11 32 mn; 11 23 loglogmn中正确的个数是（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 7在正方体 1111 ABCDABC D中,E F分别是 11 ,AB BC中点,则EF与 1 C D所成角为 （ ） A90 B60 C45 D30 8 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为 周牌算经作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的 图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽,大如图,正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小 正方形组
4、成的,若,ABa ADb E uu u ruuu rr r 为BF的中点,则AE uuu r （ ） A 42 55 ab r r B 24 55 ab r r C 42 33 ab r r D 24 33 ab r r 二二 选择题选择题:本题共本题共4小题小题,每小题每小题5分分,共共20分分 在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求 全全 部选对的得部选对的得 5 分分,有选错的得有选错的得 0 分分,部分选对的得部分选对的得 3 分分 9已知函数 2 ( )2cos3sin21(0)f xxx的最小正周期为,则下列正确的有（ ） A2 B函数 f
5、x在0, 6 上为增函数 C直线 3 x 是 yf x图象的一条对称轴 D点 5 ,0 12 是 yf x图象的一个对称中心 102020 年初,突如其来的疫情改变了人们的消费方式,在疫情防控常态化背景下,某大型超市为了解人们以 后消费方式的变化情况,更好的提高服务质量,收集并整理了本超市 2020 年 1 月份到 8 月份线上收入和线下 收入的数据,绘制如下的折线图,根据折线图,下列正确的是（ ） A这 8 个月中,线上收入的平均值高于线下收入的平均值 B这 8 个月中,线上收入与线下收入相差最小的月份是 7 月 C这 8 个月中,每月总收入与时间呈现负相关 D从这 8 个月的收入对比来看,
6、在疫情逐步得到有效控制后,人们比较愿意线下消费 11己知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一条渐近线过点 63 , 22 P ,点F为双曲线E的右焦点, 则下列结论正确的是（ ） A双曲线E的离心率为 6 2 B双曲线E的渐近线方程为20 xy C若点F到双曲线E的渐近线的距离为2,则双曲线E的方程为 22 1 42 xy D设O为坐标原点,若POPF,则POFV的面积为 3 2 2 12设函数 2 ( )min |2|,|2|f xxxx,其中min, ,x y z表示, ,x y z中的最小者下列正确的有 （ ） A函数 f x为偶函数 B 42f C当xR时, (
7、 )( )f f xf x D当4,4x 时,|( )2|( )f xf x 三三填空题填空题（本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共计共计 20 分分其中第其中第 16 题第一空题第一空 2 分分,第二空第二空 3 分分） 13数列 n a是公比为 2 的等比数列,其前n项和为 n S,若 54 21SS,则 13 aa_ 14 6 1 (1)xx x 的展开式中的常数项是_ 15若函数 f x满足当0 x 时, 3xf x ,当0 x时, 1f xf x,则 3 log 2f_ 16某同学在参加通用技术实践课时,制作了一个实心工艺品（如图所示） 该工艺品可以看成一是个球
8、 体被一个棱长为 8 的正方体的 6 个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合） 若其中一长个截面圆 的周为6,则该球的半径为_;现定义:球面部被平面所截得的一分叫做球冠截得的圆叫做球冠的底, 垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高 如果球面的半径是R,球冠的高是h,那么球冠的表面积计算 公式是2SRh由此可知,实心工艺品的表面积是_ 四四解答题解答题:本题共本题共 6 小题小题,共共 70 分分解答应写出了文字说明解答应写出了文字说明 证证明过程或演算步骤明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在ababac c,22 cosacbC ,3(cos)sinabCcB三个条件中
9、任选一个,补 充在下面的问题中,并解答 在ABCV中,内角, ,A B C的对边分别是, ,a b c,若_,2 3b 求ac的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和S,满足31 2 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式; （2）记(21) nn bna,求数列 n b的前n项和 n S 19 （本小题满分 12 分） 如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,2FAFC AB,且60DABDBF （1）求证:ACBF; （2）求二面角EAFB的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 2020 年 8 月,体育总局和教育部联合提出了关于深化体教融合,促进青少年
10、健康发展的意见 某地区为落 实该意见,初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远掷实心球1分钟跳绳三项测试,三项考试满 分为 50 分,其中立定跳远 15 分,掷实心球 15 分,1 分钟跳绳 20 分某学校在初三上学期开始时要掌握全年级 学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了 100 名学生进行测试,得到频率分布直方图（如图所示）,且规定计分规则 如下表: 每分钟跳绳个数 155,165 165,175 175,185 185,215 得分 17 18 19 20 （1）现从样本的 100 名学生中,任意选取 2 人,求两人得分之和不大于 35 分的概率; （2）若该校初三年级所有学生的跳绳
11、个数 2 (),XN ,用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方 差已知样本方差 2 169s （各组数据用中点值代替） 根据往年经验,该校初三年级学生经过训练,正式测 试时跳绳个数都有明显进步 假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个, 现利用所得正态分布模型: 全年级有 1000 名学生,预估正式测试每分钟跳 182 个以上人数;（结果四舍五入到整数） 若在全年级所有学生中任意选取 3 人,记正式测试时每分钟跳 195 个以上的人数为Y, 求随机变量Y的分布列和期望 附:若 2 (),XN ,则 (|)0.6826,(| 2 )0.9544,(| 3 )0
12、.9974PXPXPX 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 过点 3 1, 2 ,顺次连接椭圆的四个顶点得 到的四边形的面积为 4,点 1122 ,()(),A x yB xy是椭圆E上的两点 （1）若 12 xx,且OABV为等边三角形,求OABV的边长; （2）若 12 xx,是否存在点,A B,使OABV为等边三角形,若存在,求点,A B,若不存在,说明理由 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( ) ex xaxa f x ,其中aR （1）当0a 时,求曲线 yf x在点 1,1f的切线方程; （2
13、）求证:若 f x有极值,则极大值必大于 0 海安市实验中学海安市实验中学 20202021 学年第一学期第三次学情检测学年第一学期第三次学情检测 高三数学答案高三数学答案 一一选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分每小题四个选项中只有一项符合题意每小题四个选项中只有一项符合题意 1D 2C 3A 4D 5C 6B 7B 8A 二二 选择题选择题:本题共本题共4小题小题,每小题每小题5分分,共共20分分 在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求 全全 部选对的得部选对的得 5 分分,有选错的得有选错的得 0 分分
14、,部分选对的得部分选对的得 3 分分 9BD 10ABD 11ABC 12AB 三三填空题填空题（本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共计共计 20 分分其中第其中第 16 题第一空题第一空 2 分分,第二空第二空 3 分分） 135 1420 156 165,94 四四解答题解答题:本题共本题共 6 小题小题,共共 70 分分解答应写出了文字说明解答应写出了文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17解析 若选,由ababac c有 222 acbac, 由余弦定理有 222 1 cos 222 acbac B acac ,因为0,B,所以 3 B , 4 分 由
15、正弦定理有 2 3 4 sinsin sin 3 ac AC ,所以4,4asinA csinC, 6 分 所以 2 4sin4sin4sin4sin6sin2 3cos4 3sin 36 acACAAAAA , 8 分 因为 2 0, 3 A ,所以 5 , 666 A ,于是 1 sin,1 62 A , 所以(2 3,4 3ac ,即ac的取值范围是(2 3,4 3 10 分 若选,由22 cosacbC ,及正弦定理有2sinsin2sincosACBC, 由AB C有2sinsin2sincosBCCBC,整理得sin2cossinCBC, 因为sin0C ,所以 1 cos 2 B
16、 ,因为0,B,所以 3 B ,以下同 4 分 若选,由3(cos)csinabCB,及正弦定理有3sin3sincossinsinABCCB, 由AB C有3sin()3sincossinsinBCBCCB,整理得3cossinsinsinBCCB, 因为sin0,cos0CB,所以tan3B ,因为,()0B,所以 3 B ,以下同 4 分 18 （本小题满分 12 分） 解析 （1）当1n 时,由31 2 nn Sa 有 11 31 2Sa ,所以 1 1a , 2 分 当2n时,由31 2 nn Sa 有 11 31 2 nn Sa , 所以 1 322 nnn aaa ,整理得 1
17、2 nn aa , 所以数列 n a是以 1 为首项2为公比的等比数列,所以 1 2 n n a ; 5 分 （2）由（1）有 1 212n n bn , 所以 0121 1 23 25 221 2n n Sn , 2得 121 2123223 221 2 nn n Snn , 得 0121 1 22 22 22 221 2 nn n Sn , 1 2 21 1 2(21)232 2(21)23(32 )2 2 1 n nnnn nnn 所以23 23 n n Sn 12 分 19 （本小题满分 12 分） 解析（1）证明:设AC与BD相交于O点,连接FO, 因为四边形ABCD为菱形,所以,A
18、CBD O为AC的中点, 因为FAFC,所以ACOF, 2 分 又,OFBDOOFBD平面BDEF, 所以AC 平面BDEF, 4 分 又因为BF 平面BDEF,所以ACBF; 5 分 （2）连接DF,因为四边形BDEF为菱形,且60DBF, 所以DBFV为等边三角形,O为BD中点,所以OFBD,即,OA OB OF两两垂直, 以点O为坐标原点,OA为x轴,OB为y轴,OF为z轴建立空间直角坐标系, 6 分 因为2,60ABDAB,所以2,3ABBDBFOF,则( 3,0,0),(0,1,0)AB, (0,0, 3),(0, 2, 3)FE, 设平面AEF的法向量为 1111 ,nx y z
19、u r , 因为(3, 2, 3),(3,0, 3)AEAF uuu ruuu r , 所以 1111 111 3230 330 nAExyz nAFxz u r uuu r u r uuu r , 令 1 1x ,得 11 0,1yz,所以 1 (1,0,1)n u r , 8 分 设平面AFB的法向量为 2222 ,nxyz u u r ,因为(3,1,0),(3,0, 3)ABAF uu u ruuu r , 所以 222 222 30 330 nABxy nAFxz u u r uu u r u u r uuu r , 令 2 1x ,得 22 3,1yz,所以 1 (1, 3,1)n
20、 u r , 10 分 所以 12 12 12 210 cos, 525 n n n n nn u r u u r u r u u r u ru u r, 因为二面角EAFB为钝角,所以其余弦值为 10 5 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解析（1）由频率分步直方图得,得分为 17,18 的人数分别为 6 人,12 人, 所以两人得分之和不大于 35 分为两人得分均为 17 分,或两人中 1 人 17 分 1 人 18 分, 所以 211 6612 2 100 29 1650 CC C P C 3 分 （2）160 0.06 170 0.12 180 0.34 190 0.30200
21、 0.1 210 0.08 185x 5 分 又 2 169,13,所以正式测试时,195,13,所以182, 所以 11 (182)0.68260.8413 22 P X ,所以0.8413 1000841.3841人; 7 分 由正态分布模型,任取 1 人,每分钟跳绳个数 195 以上的概率为 1 2 ,即 1 3, 2 YB , 所以 0312 01 33 111113 (0)C1,(1)C1 228228 P YP Y , 所以 2130 23 33 113111 (2)C1,(3)C1 228228 P YP Y , 9 分 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 1 8 3 8
22、3 8 1 8 所以 13313 ( )0123 88882 E Y 11 分 答:（1）两人得分之和不大于 35 分的概率为 29 1650 ; （2）每分钟跳 182 个以上人数为 841;随机变量Y的期望 3 2 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解析（1）依题意 22 131 1,44 42 ab ab , 解得 22 4,1ab,故椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y, 3 分 由 12 xx且OABV为等边三角形可知,直线OA和OB与x轴的夹角均为 30 , 由 3 3 yx与 2 2 1 4 x y联立得 2 712x ,所以 1 2 21 7 x , 5 分 因为OA
23、BV的边长为 1 2 3 x,所以PABV的边长为 4 7 7 ; 6 分 （2）假设存在,A B,使OABV为等边三角形,记AB中点为 00 ,Q x y,则OQAB, 7 分 因为 12 xx,所以直线AB斜率存在,设直线:,AB ykxm AB中点为 00 ,Q x y, 联立 2 2 1 4 x y与ykxm,消去y得 222 348440kxkmxm, 所以 12 2 8 34 km xx k , 9 分 因为AB中点为 00 ,Q x y,所以 12 000 22 43 , 23434 xxkmm xykxm kk , 所以 0 0 03 04 OQ y k xk , 于是 33
24、44 OQAB kkk k , 所以OQ与AB不垂直, 11 分 所以当 12 xx时,不存在点,A B,使OABV为等边三角形 12 分 22 （本小题满分 12 分） 解析（1）函数 f x的导数 2 (2)2()(2) ( ) ee xx xaxaxa x fx , 2 分 当0a 时, 11 (1),(1) ee ff , 4 分 则 f x在 1,1f的切线方程为 11 (1) ee yx,即 1 e y , 5 分 （2）证明:令 0fx,解得2x 或xa, 当2a 时, 0fx恒成立,所以函数 f x在R上单调递减,无极值; 6 分 当2a ,即2a 时, x (), a a (),2a 2 2, fx - + - f x 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数 f x存在极值,函数 f x的极大值为 22 42 (2)0 ee a f , 9 分 当2a ,即2a时, x (2), 2 2, a a , a fx - + - f x 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数 f x存在极值,函数 f x的极大值为()e0 e a a a faa , 综上,当 f x有极值时,函数 f x的极大值必大于 0 12 分
