1、 1 / 5 天一大联考天一大联考 20202021 学年海南省高三年级第一次模拟考试学年海南省高三年级第一次模拟考试 数学数学答案及评分细则答案及评分细则 一一、单项选择题单项选择题：本本题共题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1. .B 2. .D 3. .A 4. .A 5. .D 6. .C 7. .D 8. .B 二二、多项选择题、多项选择题：本：本题共题共 4 小题小题，每小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分. 9. .CD 10. .BCD 11. .AC 12. .AB 三三、填空题：本填空题：本题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
2、分，共分，共 20 分分 13. .4 14. .1 15. .4 16. .64 364+； 31 2 四、解答题：四、解答题：共共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. .解析解析 由题意 2 2 nnn akakS+=， 2 111 2 nnn akakS + +=， 两式相减并整理，得 22 11 () nnnn aak aa + =+， （2 分） 因为0 n a ，所以 1nn aak + =，于是 n a是公差为k的等差数列.（4 分） （缺少0 n a 扣 1 分） 又 2 111 2akaka+=， （5 分） 解
3、得 1 ak=（ 1 0a =舍去） ， （6 分） 所以(1) n aknknk=+=. （8 分） （套公式 1 分，结果 1 分） 选择条件： 因为 34 23426Sakkkkk=+=，所以3k =， （9 分） 故3 n an=. （10 分） 选择条件： 因为 3 3ak=， 12 24aak+=，而0k ，所以 312 2aaa+， （9 分） 与条件矛盾，故不存在满足条件的 k. （10 分） 选择条件： 因为 6 (123456)2142Skk=+ + +=，所以2k =， （9 分） 故2 n an=.（10 分） 2 / 5 18. .解析解析 （）因为, 3 B =所以
4、 3 sin 2 B =， （1 分） 由 13 3 sin 22 ABC SacB= ， （3 分） （三角形面积公式 1 分，方程 1 分） 得6ac =， （4 分） 又因为2a =，所以3c =. （5 分） （）由已知及余弦定理得 22222 2cosbacacBacac=+=+ ， （6 分） 即 2 492 37b =+ =， （7 分） 因此7b =. （8 分） 由正弦定理得 sinsinsin3 2 7 ACB acb =， （10 分） （正弦定理 1 分，方程 1 分） 故 33 sinsin 2 72 7 ACac= （11分） 39 2 3 2814 = =. （1
5、2分） 19. .解解析析 （）样本中总客户数为1000，其中高消费的中老年人有200人， （2分） 随机选一人，则该客户是高消费的中老年人的概率为 2001 10005 =. （3分） （）样本中低消费的年轻人的平均消费为 95 1+85 3+70 5+50 7 =3.5 95857050 + （千元）.（6分）（算式1分，结果1分） （）22列联表如下： 低消费 高消费 合计 年轻人 300 100 400 中老年人 400 200 600 合计 700 300 1000 （8分）（数据部分正确的得1分） 2 2 1000 (300 200 100 400) 7.937 400 600 7
6、00 300 K = ， （10分） （算式1分，结果1分，结果在7.9，8内都算对） 因为7.9376.635，（11分） 所以有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关. （12分） 3 / 5 20. .解析解析 （）因为ABC和SBC都为等边三角形，且有公共边BC， 所以ABSBBCACSC=. （1分） 因为P为SA的中点，所以SABP，（2分） SACP，（3分） 又因为BPCPP=，（4分） 所以SA 平面PBC.（5分） （缺“相交”扣1分，缺“直线在平面内”不扣分） （）取BC的中点O，连接OA，OS，由条件可得OA，BC，OS两两垂直. 以O为坐标原点，,OA OB OS
7、的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系. （6分） 设2AB =，则3AOOS=， 则点( 3,0,0)A，(0,1,0)B，(0, 1,0)C，(0,0, 3)S， 2 33 ,0, 33 Q ， （7分） 所以( 3,1,0)CA = ，( 3,0,3)SA = ， 2 33 , 1, 33 BQ = . （8分） 设平面SAC的一个法向量为( , , )x y z=n， 则 30, 330, CAxy SAxz =+= = n n （9分） 令1x =，可得(1,3,1)=n. （10分） 设BQ与平面SAC所成角为， 则sin|cos,|BQ= n | | BQ BQ =
8、n| n （11分） 2 33 3 3 10 33 1041 11 3 1 33 + = + + + . （12分） 4 / 5 21. .解析解析 （）当点D与椭圆E的上顶点重合时，有(0, )Db. （1分） 所以 22 |5ADab=+=. （2分） 又因为离心率 22 3 2 ab e a =， （3 分） 由解得2,1ab=， （4 分） 所以E的方程为 2 2 1 4 x y+=. （5 分） （）由题意，设直线CD的方程为1xmy=+， （6 分） 联立方程组 2 2 1 4 1, x y xmy += =+ ， 得 22 (4)230mymy+=， （7 分） 设 1122 (
9、 ,),(,)C x yD xy，则 12 2 2 4 m yy m += + ， 12 2 3 4 y y m = + . （8 分） 由（）得( 2,0)A ，(2,0)B，所以 2 1 2 2 y k x = + ， 1 2 1 2 y k x = ， （9 分） 则 12121122 21212121 (2)(1) = (2)(3)3 kyxy mymy yy ky xy mymy yy = + （10 分） 1 2 12121 121 1 2 () 4 3 3 3 4 m y my yyyy m m my yy y m + + + = + + + （11分） 1 3 =. （12分）
10、 22. .解析解析 （）根据题意，( )22e0 x fxxa=+恒成立，即 max ( )0fx, （1 分） 设( )( )g xfx=，则( )22exg x=. （2分） 令( )0g x=，得0 x =， 当0 x ，( )g x单调递增；当0 x 时，( )0g x，( )g x单调递减. （3分） 所以 max ( )(0)2g xga=. （4分） 5 / 5 所以20a，即2a ，故a的取值范围是(,2. （5分） （）由题意得 12 2 ( )() (0) f xf x f + =， 又因为( )f x单调递减，不妨设 12 0 xx. （6 分） 设 2 ( )() ( )ee 2 xx f xfx F xx + =， （7 分） 则( )2ee xx F xx =+， 设( )( )G xF x=，则( )2ee0 xx G x =，所以( )G x即( )F x单调递减. （8分） 当0 x =，所以( )F x在(,0)上单调递增. （9分） 因为 1 0 x ，所以 1 )()(0FFx， （10 分） 即 1112 ()()()( (0) 22 )f xfxf xf x f + =，整理可得 12 ()()fxf x，即 12 0 xx+. （12 分）
