1、2021 年（老高考）数学（文）模拟试卷年（老高考）数学（文）模拟试卷练练(七七) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 12020 湖南省期末统测设集合 Ax|y x3，Bx|12 且 b2，则 ab4 且 ab4”的逆命题为真命题； 命题“若函数 f(x)x2ax1 有零点，则 a2 或 a2”的逆否命题为真命题； 命题“x0R，x20 x00” 其中正确的序号为( ) A B C D 42020 武昌区高三年级调研考试已知 alog0.10.2，blog1.10.2，c1.10.2，则 a，b，c 的大小关系
2、为( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 5 2020 南昌市 NCS 第一次模拟考试根据散点图， 对两个具有非线性关系的相关变量 x， y 进行回归分析，设 uln y，v(x4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为u 0.5v 2，则变量 y 的最大值的估计值是( ) Ae Be2 Cln 2 D2ln 2 62020 福州市高三期末质量检测执行如图所示的程序框图，若输入的 t3，则输出的 i( ) A9 B31 C15 D63 72020 开封市高三第一次模拟考试国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为 15 的观 礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的
3、第一排和最后一 排测得旗杆顶端的仰角分别为 60 和 30 ，第一排和最后一排的距离为 24.5 米，则旗杆的高度 约为( ) A17 米 B22 米 C30 米 D35 米 82020 福建重点高中联考函数 f(x) x3 exe x的大致图象为( ) 92020 安徽省示范高中名校高三联考数学老师要从甲、乙、丙、丁、戊 5 个人中随机 抽取 3 个人检查作业，则甲、乙同时被抽到的概率为( ) A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 102020 安徽省示范高中名校高三联考已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，F1，F2为其左、 右焦点，|F1F2|2 2，
4、B 为短轴的一个端点，三角形 BF1O(O 为坐标原点)的面积为 7，则椭 圆的长轴长为( ) A4 B8 C.1 33 2 D1 33 11 2020 安徽十四校联盟联考“中国剩余定理”又称“孙子定理” “中国剩余定理” 讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 到 2 019 这 2 019 个数中，能被 3 除余 1 且被 4 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列， 构成数列an， 则此数列的项数为( ) A167 B168 C169 D170 12 2020 江西九江三校联考已知函数 f(x) sin x，1x0， |log2 019x|，x0， 若 abcd， 且 f
5、(a) f(b)f(c)f(d)，则ab cd 的值为( ) A1 B0 C1 D2 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将正确答案填在题中的横线上) 132020 广州市高三年级调研检测已知 (0，)，tan 4 4 3，则 sin cos _. 142020 长沙市四校高三年级模拟考试在平面直角坐标系 xOy 中，A(a,0)，B(1， 3)， 点 P 满足 OP OB2OA，若AOP120 ，则实数 a 的值为_ 152020 广西名校模拟数列an的首项 a12，且 an13an2(nN*)，令 bnlog3(an 1)，则 bn_. 162020 福建厦门双十中
6、学质检如图，在三棱锥 P - ABC 中，PA4，AC2 7，PB BC2 3，PA平面 PBC，则三棱锥 P - ABC 的内切球的表面积为_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(12 分)2020 山西临汾三模已知函数 f(x)1 2cos 22x 3 2 sin 2xcos 2x1. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)当 x 0， 4 时，求 f(x)的最值 18(12 分)2020 全国卷如图，在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，点 E，F 分别在棱 DD1， BB1上，且 2DEED1，BF2FB1，证明： (1)当
7、 ABBC 时，EFAC； (2)点 C1在平面 AEF 内 19(12 分)2020 福州市高三毕业班适应性练习卷为抗击新型冠状病毒，普及防护知识， 某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名学 生，将他们的竞赛成绩(满分为 100 分)分为 6 组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)， 90,100，得到如图所示的频率分布直方图 (1)求 a 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表) (2)在抽取的 100 名学生中，规定：竞赛成绩不低于 80 分为“优秀”，竞赛成绩低于
8、 80 分为“非优秀”请将下面的 22 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“竞赛成 绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考公式及数据： K2 nadbc2 abcdacbd， nabcd P(K2k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 20(12 分)2020 四川成都一诊已知椭圆 C：x 2 2y 21 的右焦点为 F，过点 F 的直线(不 与 x 轴重合)与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l：x2 与 x 轴相交于点 H，过点 A 作 ADl， 垂足为 D
9、. (1)求四边形 OAHB(O 为坐标原点)的面积的取值范围； (2)证明：直线 BD 过定点 E，并求出点 E 的坐标 21(12 分)2020 武汉市高中毕业生学习质量检测 (1)证明函数 yex2sin x2xcos x 在区间 ， 2 上单调递增 (2)证明函数 f(x)e x x2sin x 在(，0)上有且仅有一个极大值点 x0，且 0f(x0)0) (1)若不等式 f(x)3 2有解，求 a 的最大值； (2)当 a 取(1)中的最大值时，函数 f(x)的最小值为 m，若 b，c 均为正实数，且满足 2bc 2m，求证：b2c23. 2021 年（老高考）数学（文）模拟试卷年（
10、老高考）数学（文）模拟试卷(七七) 1. 答案：A 解析：因为 Ax|y x3，所以 Ax|x3，所以RAx|x3又 Bx|14 且 ab4，则 a2 且 b2”，取 a1，b5，满 足 ab4 且 ab4，但不满足 a2 且 b2，所以错误； 对于，若函数 f(x)x2ax1 有零点，则 a240，解得 a2 或 a2，原命题 为真命题，由于原命题与其逆否命题同真同假，所以正确； 对于，命题“x0R，x20 x00”的否定是“xR，x2x0”所以错误，故选 B. 4答案：D 解析：因为 alog0.1 0.20，即 0a1，blog1.1 0.21.10 1，所以 cab，故选 D. 5答案
11、：B 解析： 将 uln y， v(x4)2， 代入回归方程可得 ln y0.5(x4)22， 则 ln y2， ye2， 所以变量 y 的最大值的估计值为 e2. 6答案：B 解析：执行程序框图，t3，i0；t8，i1；t23，i3；t68，i7；t203，i 15；t608，i31，满足 t606，退出循环因此输出 i31，故选 B. 7答案：C 解析： 如图所示， 依题意知AEC45 ， ACE180 60 15 105 ， EAC180 45 105 30 ，由正弦定理 CE sin EAC AC sin AEC， 可得 AC 24.5 sin 30 sin 45 49 2 2 (米)
12、， 在 RtABC 中，ABAC sin ACB49 2 2 sin 60 49 2 2 3 2 49 6 4 30(米) 8答案：D 解析：易知函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，且 f(x) x3 e xex x3 exe xf(x)， 所以 f(x)为偶函数，排除 B，C； f(1) 13 e1e 1 1 e1 e 0 的草图如图所示， 由图象中 y 轴的左侧和 f(a)f(b)，可知ab 2 1 2，即 ab1； 由图象中 y 轴的右侧和 f(c)f(d)，可知log2 019 clog2 019 d，即 log2 019(cd)0，求得 cd 1. 所以ab cd 1.故选 A
13、. 13答案：4 2 5 解析：依题意 tan( 4) tan tan 4 1tan tan 4 1tan 1tan 4 3，解得 tan 1 70，由于 (0，)， 所以 0， 2 .由 tan sin cos 1 7 2cos21 ， 解得 sin 1 5 2， cos 7 5 2， 所以 sin cos 8 5 2 4 2 5 . 14答案：1 解析：由已知得OP OB 2OA (1， 3)(2a,0)(12a， 3)，又AOP120 ， 所以 cos AOP OA OP |OA | |OP | a2a2 |a| 12a23 1 2，得 a1. 15答案：n 解析：由 an13an2(n
14、N*)，可知 an113(an1)，所以an 11 an1 3， 所以数列an1是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an13n，所以 bnlog3(an 1)n. 16答案：9 4 解析：由 PA平面 PBC，且 PA 4，PB2 3，AC2 7，得 AB2 7，PC2 3， 所以PBC 为等边三角形，ABC 为等腰三角形 V三棱锥P - ABCV三棱锥A - PBC1 3SPBCPA 1 3 3 4 (2 3)244 3， 三棱锥 P - ABC 的表面积 S1 22 342 3 4 (2 3)21 22 3516 3. 设三棱锥 P - ABC 的内切球半径为 r，则 V三棱锥P
15、 - ABC1 3Sr，即 4 3 1 316 3r，解得 r 3 4， 所以三棱锥 P - ABC 的内切球的表面积为 4(3 4) 29 4 . 17解析：f(x)1 2cos 2 2x 3 2 sin 2xcos 2x1 1 2 1 2 1 2cos 4x 3 4 sin 4x1 1 2sin 4x 6 5 4. (1)f(x)的最小正周期 T2 4 2. (2)当 x 0， 4 时， 则 4x 6 6， 7 6 那么 sin 4x 6 1 2，1 当 4x 6 7 6 时，函数 f(x)取得最小值为 1，此时 x 4； 当 4x 6 2时，函数 f(x)取得最大值为 7 4，此时 x
16、12. 所以当 x 0， 4 时，函数 f(x)的最大值为7 4，最小值为 1. 18 解析： (1)如图， 连接 BD， B1D1.因为 ABBC， 所以四边形 ABCD 为正方形， 故 ACBD. 又因为 BB1平面 ABCD，于是 ACBB1.所以 AC平面 BB1D1D. 由于 EF平面 BB1D1D，所以 EFAC. (2)如图，在棱 AA1上取点 G，使得 AG2GA1，连接 GD1，FC1，FG. 因为 D1E2 3DD1，AG 2 3AA1，DD1綊 AA1，所以 ED1綊 AG，于是四边形 ED1GA 为平行 四边形，故 AEGD1. 因为 B1F1 3BB1，A1G 1 3
17、AA1，BB1 綊 AA1，所以 FG 綊 A1B1， FG 綊 C1D1，四边形 FGD1C1为平行四边形，故 GD1FC1.于是 AEFC1.所以 A，E，F， C1四点共面，即点 C1在平面 AEF 内 19解析：(1)由题意可得(0.0050.0100.0200.030a0.010)101 解得 a0.025. 因为 450.05550.1650.2750.3850.25950.174， 所以估计这 100 名 学生的平均成绩为 74 分 (2)由(1)知，在抽取的 100 名学生中，竞赛成绩优秀的有 100 (0.250.1)1000.35 35(名)，由此可得完整的 22 列联表：
18、 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计 35 65 100 K2的观测值 k10010252540 2 50503565 900 91 9.8906.635， 所以有 99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关” 20解析：(1)由题设知 F(1,0)，设直线 AB 的方程为 xmy1(mR)，A(x1，y1)，B(x2， y2) 由 xmy1， x2 2y 21， 消去 x 并整理，得(m22)y22my10. 4m24(m22)0，则 y1y2 2m m22，y1y2 1 m22， 所以|y1y2| y1y224y1y22 2 m 21 m22 . 所
19、以四边形 OAHB 的面积 S1 2|OH|y1y2| 1 22 2 2 m21 m22 2 2 m 21 m22 . 令 m21t，则 t1，所以 S2 2t t21 2 2 t1 t ，t1. 因为 t1 t2(当且仅当 t1，即 m0 时取等号)，所以 00,2xsin x0，4cos x0，故 y0， 所以 yex2sin x2xcos x 在区间 ， 2 上单调递增 (2)由题意可得 f(x)e xx12x2cos x x2 ， 令 g(x)ex(x1)2x2cos x，则 g(x)x(ex2xsin x4cos x)， 当 x ， 2 时，由(1)知 ex2xsin x4cos x
20、0，则 g(x)0， 故 g(x)在 ， 2 上单调递减， 而 g 2 e 2 21 0. 由零点存在性定理知，存在唯一的 x0 ， 2 使得 g(x0)0， 即 ex0(x01)2x20cos x00. 当 x(，x0)时，g(x)0，即 f(x)0，f(x)为增函数； 当 x x0， 2 时，g(x)0，即 f(x)0，f(x)为减函数 又当 x 2，0 时，f(x) exx1 x2 2cos xf 2 . f 2 2 2 e 2sin 2 2 1 2 e 20， 故 f(x0)0. f(x0)ex0 x0 2sin x0，令 m(x)e x x，x ， 2 ，则 m(x)e xx1 x2
21、 0，所以 m(x)单调 递减，所以1 e 2 2 m(x)e 0. 所以当 x0 ， 2 时，1ex0 x0 0,02sin x02， 故1f(x0)0， 所以 0f(x0)2. 22解析：(1)由曲线 C 的参数方程，得其普通方程为 4yx2，由 xcos ， ysin ，得 4sin 2cos2 ，曲线 C 的极坐标方程为 cos2 4sin ，即 4sin cos2 . 射线 l2的极坐标方程为 2(0) (2)依题意设 A(A，)，B B， 2 ，则由(1)可得 A 4sin cos2 ， B 4sin 2 cos2 2 ，即 B4cos sin2 ， SOAB1 2|OA| |OB
22、| 1 2|A B| 8|sin cos | cos2 sin2 ，0 2，020， SOAB 8 cos sin 16 sin 216，(当且仅当 sin 21，即 4时，取等号) OAB 的面积的最小值为 16，此时 4. 23解析：(1)由题意知，f(x)|2xa|xa| 3x，xa 2 x2a，ax0) 作出函数 f(x)的大致图象如图所示 若不等式 f(x)3 2有解，则 f a 2 3 2， 得 a1，所以 a 的最大值为 1. (2)当 a 取(1)中的最大值时，函数 f(x)的最小值为 f 1 2 3 2，故 m 3 2， 因而 2bc3. 因为(21)(b2c2)2b2(2c2b2)c22b22 2bcc2( 2bc)2， 所以 3(b2c2)32，从而 b2c23.
