1、2021 年（老高考）数学（文）模拟试卷年（老高考）数学（文）模拟试卷 4 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1 2020 黄冈中学， 华师附中等八校第一次联考设 i 是虚数单位， 若复数 a 5i 12i(aR) 是纯虚数，则 a( ) A1 B1 C2 D2 22020 大同市高三学情调研测试已知集合 A 满足0,1A0,1,2,3，则集合 A 的个 数为( ) A1 B2 C3 D4 32020 福建省高三毕业班质量检测设 x，y 满足约束条件 xy0 x2y0 y10 ，则 z2xy 的 最大值是( )
2、 A0 B3 C4 D5 42020 福州市高中毕业班质量检测已知函数 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)x2ln( x)，则曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为( ) Axy0 Bxy20 Cxy20 D3xy20 52020 郑州市高中毕业年级质量预测若 2， ，2cos 2sin 4 ，则 sin 2 的 值为( ) A7 8 B. 7 8 C 1 8 D. 1 8 62020 武昌区高三调研从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中， 余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 3 D.
3、 5 6 7 2020 合肥市高三第一次教学质量检测“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世 纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、 经济融合、 文化包容的命运共同体 自2013年以来， “一带一路”建设成果显著 如图是2013 2017 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ) A这五年，2013 年出口额最少 B这五年，出口总额比进口总额多 C这五年，出口增速前四年逐年下降 D这五年，2017 年进口增速最快 8 2020 武汉市部分学校高三在线学习摸底检测已知函数 f(x) 3sin(x)cos(x )(00)
4、为偶函数，且 yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 2，则 f 6 的值为( ) A1 B1 C. 3 D. 2 92020 广东调研最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早 500 多年发现勾股定理如图所示，ABC 满足“勾三股四弦五”，其中股 AB4，D 为弦 BC 上一点(不含端点)，且ABD 满足勾股定理，则 AB AD( ) A. 25 144 B. 25 169 C. 169 25 D.144 25 10函数 f(x)ln|x|sin x|(x 且 x0)的图象大致是( ) 112020 河南省豫北名校高三质量考评如图为一个正方体 ABCD- A1B1C1D1
5、与一个半球 O1构成的组合体，半球 O1的底面圆与该正方体的上底面 A1B1C1D1的四边相切，O1与正方形 A1B1C1D1的中心重合将此组合体重新置于一个球 O 中(球 O 未画出)，使该正方体的下底面 ABCD 的顶点均落在球 O 的表面上，半球 O1与球 O 内切，设切点为 P，若四棱锥 P - ABCD 的表面积为 44 10，则球 O 的表面积为( ) A.121 6 B.121 9 C12 D9 122020 湖北省部分重点中学高三起点考试 如图，点 A 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右顶点，点 P 为双曲线上一点，作 PBx 轴，垂足为 B，若 A 为
6、线段 OB 的中点，且以 A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线 C 恰有三个 公共点，则双曲线 C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将正确答案填在题中的横线上) 13 2020 南昌市模拟考试已知函数 f(x) 22x，x0 2 x，x0 ， 则 f lg1 5 f lg1 2 f(lg 2)f(lg 5)的值为_ 142020 武昌区高三年级调研考试已知一组数据 10,5,4,2,2,2，x，且这组数据的平均数 与众数的和是中位数的 2 倍，则 x 所有可能的取值为_ 152020 广州市高三年级阶段训练题设向
7、量 a(m,1)，b(2,1)，且 a b1 2(a 2b2)则 m _. 16 2020 山西省六校高三第一次阶段性测试函数 y5sin 5x 5 (15x10)的图象与 函数 y 5x1 x22x2图象的所有交点的横坐标之和为_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(12 分)2020 湖北省部分重点中学高三起点考试已知数列an是等比数列，Sn为数列 an的前 n 项和，且 a33，S39. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bnlog2 3 a2n3，且bn为递增数列，若 cn 4 bnbn1，求证：c1c2c3cn1. 18
8、(12 分)如图 1 是由正方形 ABCG， 直角梯形 ABED， 三角形 BCF 组成的一个平面图形， 其中 AB2DE 2，BEBFCF 3，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG， 如图 2. (1)证明：图 2 中的 D，E，C，G 四点共面，且平面 ABD平面 DEC； (2)求图 2 中点 A 到平面 BCE 的距离 19(12 分)2020 惠州市高三第一次调研考试试题某品牌汽车 4S 店，对该品牌旗下的 A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养，汽车 4S 店记录了 100 辆该品牌三种类型汽车的维修情况， 整理得下表： 车型 A 型 B 型 C 型 频数
9、 20 40 40 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的 100 辆该品牌三种类型汽车中随机取 10 辆进 行问卷回访 (1)分别求抽取 A 型、B 型、C 型汽车的问卷数量 (2)维修结束后这 100 辆汽车的司机采用“100 分制”打分的方式表示对 4S 店的满意度， 按照大于等于 80 分为优秀，小于 80 分为合格，得到如下列联表： 优秀 合格 合计 男司机 10 38 48 女司机 25 27 52 合计 35 65 100 问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店的满意度与性别有关系？请 说明原因 参考公式：K2 nadbc2 abcdacbd，其中nabcd.
10、 附表： P(K2k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 20(12 分)2020 郑州市高中毕业年级质量预测在平面直角坐标系 xOy 内，动点 A 到定 点 F(3,0)的距离与 A 到定直线 x4 的距离的比值为 3 2 . (1)求动点 A 的轨迹 C 的方程； (2)设点 M，N 是轨迹 C 上两个动点，直线 OM，ON 与轨迹 C 的另一交点分别为 P，Q， 且直线 OM，ON 的斜率之积等于1 4，问四边形 MNPQ 的面积 S 是否为定值？请说明理由 21(12 分)2020 湖北省部分重点中学高三起点考试已知函
11、数 f(x)ex(xln xa)(e 为 自然对数的底数，a 为常数，并且 a1) (1)判断函数 f(x)在区间(1，e)内是否存在极值点？并说明理由； (2)若当 aln 2 时，f(x)0)与 C1，C2的公共点分别为 A，B， 0， 2 ，当|OB| |OA| 4 时，求 的值 23(10 分)2020 安徽省示范高中名校高三联考已知函数 f(x)k|x2|，kR，且 f(x 2)0 的解集为1,1 (1)求 k 的值； (2)若 a，b，c 是正实数，且 1 ka 1 2kb 1 3kc1，求证： 1 9a 2 9b 1 3c1. 2021 年（老高考）数学（文）模拟试卷年（老高考）
12、数学（文）模拟试卷(四四) 1答案：C 解析：由已知，得 a 5i 12ia 5i12i 12i12ia2i，由题意得 a20，所以 a 2，故选 C. 2答案：C 解析：由题意可知 A 可能为0,1，0,1,2，0,1,3，则满足条件的集合 A 的个数为 3， 故选 C. 3答案：D 解析：解法一 易知可行域是一个以 O(0,0)，B(1,1)，C(2,1)为顶点的三角形区域(包括边 界)，如图中阴影部分所示作出直线 y2x，并平移，当动直线 y2xz 过点 C(2,1)时， 截距 z 取得最大值 5，故选 D. 解法二 直接求出三条直线的交点 O(0,0)，B(1,1)，C(2,1)，分别
13、代入目标函数 z2xy， 求出相应的 z 的值，并通过比较得点 C 为最优解，此时 z5，故选 D. 4答案：A 解析： 解法一 当 x0 时， x0)，f(1)1，又 f(1)1，曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 yx， 故选 A. 5答案：A 解析：2cos 2sin 4 ，2(cos 2sin2) 2 2 (cos sin )， 2， ，cos sin ，cos sin 2 4 ，(cos sin )212sin cos 1sin 21 8，sin 2 7 8，故选 A. 6答案：C 解析：所有可能结果为(红，黄)，(白，紫)；(红，白)，(黄，紫)；(红，紫)，(黄，白)；(黄
14、， 白)，(红，紫)；(黄，紫)，(红，白)；(白，紫)，(红，黄)，共 6 种，其中红色和紫色的花在同 一花坛的结果有 2 种，不在同一花坛的结果有 4 种，故所求概率 P4 6 2 3，故选 C. 7答案：C 解析：由题图可知，这五年，2013 年出口额最少，出口总额比进口总额多，2017 年进口 增速最快，故选项 A、B、D 正确，而这五年，出口增速 2013 年到 2014 年是递增的，故选项 C 是错误的，故选 C. 8答案：B 解析： 因为函数 f(x) 3sin(x)cos(x)2sin x 6 为偶函数， 所以 6 k 2，kZ，令 k0，可得 2 3 .又 yf(x)图象的两
15、相邻对称轴间的距离为 2，所以 1 2 2 2， 所以 2，所以 f(x)2sin 2x 2 2cos 2x，所以 f 6 2cos 31，故选 B. 9答案：D 解析：根据题意得，AC3，AB4，BC5. 因为ABD 满足勾股定理，所以 ADBC. 则可得 AD34 5 12 5 ， 所以AB AD |AB | |AD | cosAB ，AD|A B| |AD| cosDAB|A B| |AD|AD | |A B |AD |2 144 25 ，故选 D. 10答案：D 解析：由于 f(x)ln|x|sin x|f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称，由此 排除 B 选项f
16、()ln sin ln 0，由此排除 C 选项当 0x 时，f(x)ln xsin x， 令 g(x)f(x)1 xcos x，则 g(x)( 1 x2sin x)0，f() 1 10，则 f(x)f(x)22x2x2，又 lg1 5lg 5，lg 1 2lg 2，所以 f lg1 5 f lg1 2 f(lg 2)f(lg 5)4. 14答案：11,3,17 解析：数据的平均数为25x 7 ，众数为 2，若 x2，则中位数为 2，所以25x 7 24，解 得 x11；若 2x5sin 6 5 2， 所以在(1,0)内两函数图象有一个交点根据两函数图象均关于点(1,0)对称可知两函 数图象的交
17、点关于点(1,0)对称，画出两函数在15,10上的大致图象，如图，得到所有交点 的横坐标之和为1(2)37. 17解析：(1)设数列an的公比为 q，当 q1 时，符合条件，a1a33，an3， 当q1时 ， a1q2 a11q3 1q 9， 所 以 a1q2a11qq29 ， 解 得 a1q1 2 ，an12 1 2 n1. 综上，an3 或 an12 1 2 n1. 注：列方程组 a1q2a1a1qa1q29 求解可不用讨论 (2)若 an3，则 bn0，与题意不符，所以 an12 1 2 n1. 所以 a2n312 1 2 2n23 1 2 2n，b nlog2 3 a2n3log22
18、2n2n， cn 4 bnbn1 1 nn1 1 n 1 n1， c1c2c3cn 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n16.635， 所以能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为司机对 4S 店的满意度与性别有关系 20解析：(1)设 A(x，y)，由题意， x32y2 |x4| 3 2 ， 化简得 x24y212， 所以动点 A 的轨迹 C 的方程为x 2 12 y2 31. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|x1x22y1y22， 由直线 OM，ON 的斜率之积为1 4，得 y1y2 x1x2 1 4， 因为点 M，N 在椭圆 C 上， 所
19、以 y213x 2 1 4，y 2 23x 2 2 4，代入 y1y2 x1x2 1 4化简得 x 2 1x 2 212. 直线 MN 的方程为(y2y1)x(x2x1)yx2y1x1y20，原点 O 到直线 MN 的距离 d |x1y2x2y1| x2x12y2y12. 所以MON 的面积 SMON1 2 |MN| d 1 2|x1y2x2y1|， 根据椭圆的对称性，四边形 MNPQ 的面积 S4SMON2|x1y2x2y1|， 所以 S24(x1y2x2y1)24(x21y222x1x2y1y2x22y21)12(x21x22)144，所以 S12. 所以四边形 MNPQ 的面积为定值 1
20、2. 21解析：(1)f(x)ex ln xx1 xa1 ， 令 g(x)ln xx1 xa1，x(1，e)，则 f(x)e xg(x)， g(x)x 2x1 x2 0 恒成立，所以 g(x)在(1，e)上单调递减， 所以 g(x)0，h(1)ln 210，即 f(x)0， 当 x(x1，)时，h(x)0，即 f(x)0 恒成立， 所以 r(x)在 1 2，1 上单调递增，所以 er(x)0，所以 f(x)max1， 所以1f(x)max0，所以若 f(x)k(kZ)恒成立，则整数 k 的最小值为 0. 22解析：(1)由 xcos ，ysin ，可得曲线 C1的极坐标方程为 cos sin
21、1， 即 sin 4 2 2 . 曲线 C2的普通方程为(x2)2y24，即 x2y24x0， 又 xcos ，ysin ，所以曲线 C2的极坐标方程为 4cos . (2)由(1)知|OA|A 1 cos sin ，|OB|B4cos ， |OB| |OA|4cos (cos sin )2(1cos 2sin 2)22 2sin 2 4 .|OB| |OA|4，2 2 2sin 2 4 4，sin 2 4 2 2 . 由 0 2，知 42 4 5 4 ，2 4 3 4 ， 4. 23解析：(1)因为 f(x)k|x2|，所以 f(x2)0 等价于|x|k， 由|x|k 有解，得 k0，且其解集为x|kxk 又 f(x2)0 的解集为1,1，故 k1. (2)由(1)知1 a 1 2b 1 3c1，又 a，b，c 是正实数，所以由基本不等式得 a2b3c(a2b3c) 1 a 1 2b 1 3c 3 a 2b a 3c 2b a 2b 3c 3c a 3c 2b3 a 2b 2b a a 3c 3c a 2b 3c 3c 2b 32229， 当且仅当 a2b3c 时取等号 也即1 9a 2 9b 1 3c1.
