1、1 徐汇徐汇区区 2020 学年度第一学期高三年级模拟质量调研学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷数学学科试卷 2020.12.16 考生注意：考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并并将将核对后的条形码贴在指定位置上核对后的条形码贴在指定位置上. 2 本试卷共有本试卷共有 21 道题，满分道题，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 一、一、填空题（本大题共有填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）考生应在答题纸的相应
2、分）考生应在答题纸的相应 位置填写结果位置填写结果. 1.求极限 2 2 2 lim 253 n nn nn + = + _. 【答案】 1 2 【解析】 2 2 2 1 1 21 limlim 53 2532 2 nn nn n nn nn + + = + + 2.已知(2, 3),( 1,),ambm= 若/ / ,ab则=m_. 【答案】1或3 【解析】()/23013a bm mmor= 3.不等式 1 0 32 x 的解集为_. 【答案】 2 3 x x 【解析】 1 2 23 323 x xx = + 4.在 6 (1)x的二项式展开式中,中间项的系数是_. 【答案】20 【解析】
3、中间项为() 3 333 46 120TCxx= = 5.设集合 ( , )4 ,( , )6 28,. xx Ax yyxRBx yyxR=则AB =_. 【答案】() ()1,4 , 2,16 【解析】46 2846 280 xxxx = +=令2xt =，则()() 2 680240tttt+= 2 解得24tor=，所以22412 x orxor=，() ()1,4 , 2,16AB= 6.函数arccos , 1,0yxx= 的反函数是 1( ) fx =_. 【答案】cos, 2 x x 【解析】( ) 1 cos, 2 fxx x = 7.用数学归纳法证明 251* 1 222(
4、) n n + +N能被 34 整除时，从k到1k +添加的项数共有_项（填 多少项即可）. 【答案】5 【解析】()( ) 551525354 122222 kkkkk f kf k + +=+，共5项 8.如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是_. 【答案】 3 【解析】圆锥的侧面展开是半圆，半圆的半径为母线l，设圆锥的底面半径为r 则半圆的弧长2 2 l lrr=， 所以母线与底面所成角的余弦值为 1 cos 23 r l = 9.小王同学有 4 本不同的数学书，3 本不同的物理书和 3 本不同的化学书，从中任取 2 本，则这 2 本书属于不同的 学科概
5、率为_（结果用分数表示）. 【答案】 11 15 【解析】 111111 434333 2 10 11 15 CCCCCC P C + = 10.ABC中,45 ,AM =是AB的中点,若| | 2ABBC=,D在线段AC上运动, 则 DB DM的最小值为_. 【答案】 7 ,4 8 3 【解析】45A =，2ABBC=，ABC是等腰直角三角形; 取MB的中点为E，作EFAC，则 3 2 sin 4 EFAEA=， 22 17 2 CEBCBE=+= 所以 3 217 , 42 DE ， 则 ()() 22217 ,4 48 DB DMDEEBDEEMDEEBDE =+= 11.已知函数( )
6、=f xaxb+（其中abR、）满足：对任意的0,1x，有( )1f x ，则(21)(21)ab+的最小值 为_. 【答案】9- 【解析】1)(xf, + 11 11 ba b 令zba=+) 12)(12（，() ()412120+ab,令12, 12+=+=byax 3121+=byxyz =根据线性规划图易判断 9, 1, 2 min =zba 4, 2 1 , 2 1 max =zba 12.已知双曲线 22 :1 45 xy =的左右焦点分别为 12 ,FF、直线l与的左、 右支分别交于点P、Q（P、Q均在x 轴上方）.若直线 12 PFQF、的斜率均为k，且四边形 12 PQFF
7、的面积为20 6，则k =_; 【答案】2 【解析】由题意知)0 , 3( 1 F，)0 , 3( 2 F 1 PF 2 QF, 21 QFPF与直线也关于原点对称 令直线 21 QFPF、延长后与曲线交点为MN、;则四边形PQMN为平行四边形 QMFPQMNFPQF SSS 112 2 1 = 平行四边形四边形 ;设)3(: 2 =xkyQF,与曲线联立化简得: 0203624)45( 2222 =+kxkxk 4 2 2 2 21 2 45 120 11 k k kxxkQM + +=+=; 2 1 6 1 k k d QMF + = 620 45 1206 2 1 2 2 1 = + =
8、 k kk S QMF ;化简得0508329 24 =+kk 解得 = = 29 25 2 2 2 k k ， 29 25 2 =k时，直线与曲线交于两侧，此时交点不在x轴上方，舍去。 2=k 二、二、选择题（本题共有选择题（本题共有 4 4 题，满分题，满分 2020 分，每题分，每题 5 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置， 将代表正确选项的小方格将代表正确选项的小方格涂黑涂黑. . 13.已知xR，条件 2 :p xx ，条件 1 :1q x ，则p是q的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C
9、.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】命题() 2 :00,1p xxx，命题() 1 :100,1qx x 14.若2 i是关于x的实系数方程 2 0 xaxb+=的一根，则ab+等于 （ ） A.1 B.-1 B.9 D.-9 【答案】A 【解析】因为是实系数一元二次方程，所以虚根成对存在且互为共轭 12 44xxaa+= = ，()() 2 12 2245x xiiib=+= 1ab +=，选A 15.方程 8 coslogxx=的实数解的个数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】函数零点问题，作图容易看出 16.设T是平面直角坐标系xO
10、y上以A （0，2）、3B （-，-1）、( 3, 1)C为顶点的三角形考虑以下五种平面上 的变换：绕原点作120的逆时针旋转；绕原点作240的逆时针旋转；关于直线OA的对称；关于直线OB 的对称；关于直线OC的对称；任选三种变换，可以相同，共有 125 种变换方式, 若要使得T变回起始位置(即 5 点ABC、 、分别都在原有位置),共有（ ）种变换方式? A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】C 【解析】解法一：条件等价BCAABC ，条件等价 CABABC ，条件等价 ACBABC ，条件等 价 CBAABC ，条件等价 BACABC ， 三同只有，两种；两同不存在； 同由罗列可
11、知有：，三种，同由罗列可知有：，三种，同由罗 列可知有：，四种，同由罗列可知有：，四种； 同由罗列可知有：，四种.;合计 20 种. 解法二：解法二：本题完全超纲，是大学抽象代数的交换群，一般本科生还学不到（他们学高等代数） 注意到是所有的排列 其实本题给出的五种变换加上“不变换”是所有的变换情况（三个点的全置换群） 由于缺少“不变换”的变换，本题要求的中均 不为，且相互不等，所以共有种，选 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7676 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. . 1717
12、（本题满分（本题满分 1414 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分）分） 如图:在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2,4ACBCCC=, , 90ACBEF =、分别为棱 1 AAAB、的中点. (1)求异面直线 1 AC与EF所成的角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求五棱雉 11 CEFBB A的体积 1 1 C EFBB A V . 【答案】(1) 30 arccos 6 ； (2) 14 3 ; 【解析】 （1）即求 A1C 与 A1B 的夹角即可，设所成角为，通过余弦定理或者直接通过垂直关系均可得出从而
13、()() 22 2 222 11 11 2 62 52 30 cos 262 2 52 2 ACABBC AC AB + + = ，或者直接 1 1 30 cos 6 AC AB = 6 （2）显然，高即为 2CF = 。从而 1 11 1 114 33 C EFBB AEFBB A VSCF = 五边形 1818 （本题满分（本题满分 1414 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分）分） 设椭圆 22 22 1(0) 1 xy m mm += + 的两个焦点分别是 12 ,F F M是椭圆上任意一点, 12 FMF的周长为22 2
14、+. （1）求椭圆的方程: （2）过椭圆在y轴负半轴上的顶点B及椭圆右焦点 2 F作一条直线交椭圆于另一点N，求 1 FNB的大小（结果 用反三角函教值表示） 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y+=； （2） 4 arccos 5 ； 【解析】 （1）易知： 2 21222 2m + +=+，可得：1m= 则椭圆方程为： 2 2 1 2 x y+= (2) 2(1,0), (0,1) FB， 得直线 2: 1BFyx=； 与椭圆联立 2 2 1 1 2 yx x y = += 可得： 12 4 ,0 3 xx= 则 4 1 ( , ) 3 3 N ； 直线BN 倾斜角为 4 ， 则 22
15、 122 715 24 2 ( )( ), 3333 FNBNF NBF=+=+= 由余弦定理得： 222 11 1 1 4 cos 25 NFBNBF FBN NF BN + = ；则 1 4 arccos 5 FBN= 1919 （本题满分（本题满分 1414 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分）分） 进博会期间, 有一个边长 80m的正方形展厅OABC,由于疫情,展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分,己 划出以O为圆心,60m为半径的扇形ODE作为展厅， 现要在余下的地块中划出一坏矩形的样品说明会场地PGBF， 矩形有两
16、条边分别落在边AB和BC上，设 5 (). 1212 POA = （1）用表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到 1 2 m） （2）当取何值时，矩形PGBF的面积 PGBF S最大，并求出最大面积（精确到 1 2 m） 7 【答案】 （1） 2 1412m;（2） 2 1421m 【 解 析 】（ 1 ） 过 点P作 1 PPOA， 2 PPOC， 则 1 8080=8060 sinBGGAPP= 2 =80-PP8060 cosPG=，则=(8060sin )(8060cos ) PGBF SBG PG 当矩形PGBF为正方形时，有BGPG=，即：8060si
17、n =8060cos 又 5 1212 ， 4 =，此时： 2 44 =(8060sin) (8060sin)=1412 44 PGBF SBGPGm = （2）=(8060sin )(8060cos ) PGBF SBG PG=40016-12(sin +cos )+9sincos ，令 sincos2sin()= 4 t +=+， 5 1212 ， 6 , 2 2 t 2 2 9(1)4 =40016 12=1800()1400 23 PGBF t Stt +， 6 , 2 2 t 故当 6 2 t =即= 12 时， PGBF S有最大值 2 1421m 2020 （本题满分（本题满分
18、1616 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 6 6 分）分） 设( )x表示不小于x的最小整数，例如(0.3)=1( 2.5)=-2， (1)解方程(1)3;x= (2)设 * ( )( ),;f xxxn=N试分别求出( )f x在区间(0,1 (1,2、以及(2,3上的值域；若( )f x在区间(0, n上 的值域为, n M求集合 n M中的元素的个数: (3)设实数 2 ( )sin2 0, ( )2, ( ), 57 xx ag xxah x xxx + =+= + 若对于任意 12
19、 ,(2,4x x 都有 ( )() 12 ,g xh x求实数a的取值范围. 【答案】 （1）（3,4 ； （2） (1) 2 n n+ 个元素； （3）3a ； 【解析】 （1）(1)3 213 34xxx= ；故解集为（3,4 （2）(0,1, ( )1,( )( ) = ( )1xxf xxxx= =；所以，值域为1 8 (1,2, ( )2,( )( ) = (2 )xxf xxxx=2(2,4x 所以，值域为3,4 (2,3, ( )3,( )( ) = (3 )xxf xxxx=3(6,9x所以，值域为7,8,9 设( ,1, ( )1,( )( ) = (1) )xi ixif
20、 xxxix+= + =+ 22 (1)(,21ixii ii+，所以其中元素个数为 22 21 ()1iiiii+ += +个 (0, xn当时，共有 (1) 1+2+3+.+ 2 n n n + =个元素 (3) 2 2 sin2sin2 ( ) 53 57 () 24 xx h x xx x + = + + 2 5 (2,4 2 xx=当时， 5 sin2 2 +取得最大值为 3， 2 sin2 53 () 24 x x + + 取 得 最 小 值 为 3 4 ； 故 max 5 ( )( )4 2 hxh=由 题 意 得 ， 为 使 对 于 任 意 12 ,(2,4x x 都 有 12
21、 ()g xh x）， 即 1max2 ()g xhx） ( ) ( 24 x g xxa x +）4对任意(2,4x恒成立 2 ( )6axxx+ 2 max (2,3, ( )3, 3(6 )9 3xxaxxa = += 2 max (3,4, ( )4,4(6 )xxaxx= +，此时最大值取不到 9， 9 4 a 综上，3a 2121 （本题满分（本题满分 1818 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分）分） 对于项数为(3,)m mmN的有限数列 n a，记该数列前i项 12
22、 , i a aa中的最大项为 i x(1,2,),im=即 12 max,; ii xa aa=该 数 列 后m i项 12 , iim aaa + 中 的 最 小 项 为 i y(1,2,1),im=即 12 min,(1,2,3,1) iiiiimi yaaadxy im + = (1)对于共有四项的数列：3,4,7,1,求出相应的 123 ,d d d； (2)设c为常数,且 1 (1,2,3,), km k axc km + +=求证:(1,2,3,) kk xa km= (3)设实数0,数列 n a满足 11 2 1,(2,3,), 3 nn aaanm =+=若数列 n a对应的
23、 i d满足 1ii dd + 对任意 的正整数1,2,3,2im=恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；(2)详解析；(3) 【解析】 （1）易计算，所以 9 （2）显然对任意成立，又 所以对任意成立；这样 （3）这是个迭代的套路，主要计算得到，所以时数列递减，时数列递增，下 面给出解答：若，则，为递增数列 若，则，为常数列 若，则 记，则是以 为公比的等比数列，且首项为 当时，数列首项为正，公比在中，所以递减 当时，数列首项为负，公比在中，所以递增 当时，数列首先为正，公比在中，所以递增 注意到与单调性相同，所以 时，递减，所以不满足题意 时，为常数列，所以不满足题意 时，递增， ；由于递增，所以 所以实数
