1、课时作业课时作业 21 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 基础夯实 1.(2020 四川泸州)下列命题是假命题的是( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.矩形的对角线互相垂直 C.菱形的对角线互相垂直平分 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等 2.(2020 浙江台州)下列是关于某个四边形的三个结论:它的对角线相等;它是一个正方形;它是 一个矩形.下列推理过程正确的是( ) A.由推出,由推出 B.由推出,由推出 C.由推出,由推出 D.由推出,由推出 3.(2020 广东广州)如图,矩形 ABCD的对角线 AC,BD交于点 O,AB=6,BC=8,过点 O 作 OEAC,交 AD 于
2、点 E,过点 E 作 EFBD,垂足为 F,则 OE+EF 的值为( ) A. B. C. D. 4.(2020 贵州安顺)菱形的两条对角线长分别是 6和 8,则此菱形的周长是( ) A.5 B.20 C.24 D.32 5.(2020 浙江湖州)四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时,其形状 也会随之改变.如图,改变正方形 ABCD的内角,正方形 ABCD 变为菱形 ABCD.若DAB=30 ,则菱形 ABCD的面积与正方形 ABCD 的面积之比是( ) A.1 B. C. D. 6.(2020 黑龙江鹤岗)如图,菱形 ABCD的对角线 AC,BD 相交于点 O,
3、过点 D作 DHAB 于点 H,连接 OH,若 OA=6,S菱形ABCD=48,则 OH的长为 ( ) A.4 B.8 C. D.6 7.(2020 浙江嘉兴、舟山)如图,ABCD的对角线 AC,BD 相交于点 O,请添加一个条件: , 使ABCD是菱形. 8.(2020 北京)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD相交于点 O,E是 AD的中点,点 F,G 在 AB上,EF AB,OGEF. (1)求证:四边形 OEFG是矩形; (2)若 AD=10,EF=4,求 OE和 BG的长. 基础夯实 9.(2020 四川乐山)观察下列各方格图中阴影部分所示的图形(每一小方格的边长为 1),如果
4、将它们沿 方格边线或对角线剪开重新拼接,不能拼成正方形的是( ) 10.(2020 宁夏)如图,菱形 ABCD 的边长为 13,对角线 AC=24,点 E,F分别是边 CD,BC 的中点,连接 EF 并延长与 AB 的延长线相交于点 G,则 EG=( ) A.13 B.10 C.12 D.5 11.(2020 四川内江)如图,在矩形 ABCD中,BD为对角线,将矩形 ABCD沿 BE,BF所在直线折叠,使点 A 落在 BD 上的点 M处,点 C落在 BD 上的点 N处,连接 EF.已知 AB=3,BC=4,则 EF 的长为( ) A.3 B.5 C. D. 12.(2020 甘肃天水)如图,在
5、边长为 6的正方形 ABCD内作EAF=45 ,AE交 BC于点 E,AF交 CD 于 点 F,连接 EF,将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 得到ABG,若 DF=3,则 BE 的长为 . 13.(2020 陕西)如图,在菱形 ABCD中,AB=6,B=60 ,点 E 在边 AD上,且 AE=2.若直线 l经过点 E,将 该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点 F,则线段 EF的长为 . 14.(2020 甘肃武威)如图,点 M,N 分别在正方形 ABCD的边 BC,CD上,且MAN=45 ,把ADN 绕点 A 顺时针旋转 90 得到ABE. (1)求证:AEMANM. (2)若 BM=
6、3,DN=2,求正方形 ABCD边长. 参考答案 课时作业 21 矩形、菱形、正方形 1.B 解析 A.正确,平行四边形的对角线互相平分,故选项 A不符合题意; B.错误,应该是矩形的对角线相等且互相平分,故选项 B符合题意; C.正确,菱形的对角线互相垂直且平分,故选项 C不符合题意; D.正确,正方形的对角线相等且互相垂直平分,故选项 D不符合题意. 2.A 解析 根据正方形特点由可以推理出,再由矩形的性质根据推出,故选 A. 3.C 4.B 解析 如图所示, 四边形 ABCD是菱形, AC=8,BD=6, AB=BC=CD=AD,OA= AC=4, OB= BD=3,ACBD, AB=
7、=5, 此菱形的周长=45=20. 5.B 解析 根据题意可知菱形 ABCD的 高等于 AB的一半, 菱形 ABCD的面积为 AB 2,正方形 ABCD的面积为 AB2. 菱形 ABCD的面积与正方形 ABCD的面积之比是 .故选 B. 6.A 解析 四边形 ABCD是菱形, OA=OC=6,OB=OD,ACBD, AC=12.DHAB,BHD=90 , OH= BD. 菱形 ABCD的面积= ACBD= 12BD=48, BD=8,OH= BD=4. 7.AD=DC(答案不唯一) 解析 邻边相等的平行四边形是菱形,试添加一个条件,可以 为:AD=DC. 8.(1)证明 四边形 ABCD为菱形
8、, 点 O为 BD的中点.点 E为 AD中点, OE为ABD的中位线,OEFG. OGEF,四边形 OEFG为平行四边形. EFAB,平行四边形 OEFG为矩形. (2)解 点 E为 AD的中点,AD=10, AE= AD=5. EFA=90 ,EF=4, 在 RtAEF中,AF= - - =3. 四边形 ABCD为菱形,AB=AD=10, OE= AB=5. 四边形 OEFG为矩形,FG=OE=5, BG=AB-AF-FG=10-3-5=2. 9.A 解析 由方格的特点可知,选项 A阴影部分的面积为 6,选项 B,C,D阴影部分的面积均为 5 如果能拼成正方形,那么选项 A拼接成的正方形的边
9、长为 ,选项 B,C,D拼接成的正方形的边长 为 .观察图形可知,选项 B,C,D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图 1所示的 5个 图形,由此可拼接成如图 2所示的边长为 的正方形. 图 1 图 2 而根据正方形的性质、勾股定理可知,选项 A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边 长为 的正方形,故选 A. 10.B 解析 连接 BD,交 AC于点 O,如图, 菱形 ABCD的边长为 13,点 E,F分别是边 CD,BC的中点, ABCD,AB=BC=CD=DA=13,EFBD. AC,BD是菱形的对角线,AC=24, ACBD,AO=CO=12,OB=OD, 又ABCD,EFB
10、D, DEBG,BDEG, 四边形 BDEG是平行四边形, BD=EG. 在COD中,OCOD,CD=13,CO=12, OB=OD - =5, BD=2OD=10, EG=BD=10. 故选 B. 11.C 解析 四边形 ABCD是矩形,AB=3,BC=4, BD= =5. 设 AE的长度为 x, 由折叠可得:ABEMBE, EM=AE=x,DE=4-x,BM=AB=3,DM=5-3=2.在 RtEMD中,EM2+DM2=DE2, x2+22=(4-x)2, 解得 x= ,DE=4- . 设 CF的长度为 y, 由折叠可得CBFNBF, NF=CF=y,DF=3-y,BN=BC=4,DN=5
11、-4=1. 在 RtDNF中,DN2+NF2=DF2, y2+12=(3-y)2, 解得 y= ,DF=3- . 在 RtDEF中, EF= . 12.2 解析 将ADF绕点 A顺时针旋转 90 得到ABG, AG=AF,GB=DF,BAG=DAF, EAF=45 ,BAD=90 , BAE+DAF=45 , BAE+BAG=45 ,即GAE=45 . GAE=FAE.又 AE=AE, GAEFAE(SAS), GE=EF. 设 BE=x,则 CE=6-x,EF=GE=DF+BE=3+x, DF=3,CF=3. 在 RtCEF中,由勾股定理,得 (6-x)2+32=(x+3)2, 解得 x=2
12、,即 BE=2. 13.3 解析 P由 E往 A运动,Q由 F往 C运动,且点 P的速度是点 Q的速度的 2 倍,当 P与 A重合时,Q在 FC中点时,线段 PQ取得最大值.过 Q作 QNAB于 N,则 AN=QN=3, 此时线段 PQ= =3 .连接 DE,HE,则 DE= ,所以 DHDE-HE,当 D,H,E三点共线时 DH取得最小值,此时 HE= ,故 DH最小值为 . 14.2 解析 如图,过点 A和点 E作 AGBC,EHBC于点 G和 H, 得矩形 AGHE, GH=AE=2. 在菱形 ABCD中,AB=6,B=60 , BG=3,AG=3 =EH, HC=BC-BG-GH=6-
13、3-2=1. EF平分菱形面积, FC=AE=2, FH=FC-HC=2-1=1. 在 RtEFH中,根据勾股定理,得 EF= =2 . 15.(1)证明 由旋转的性质得 AE=AN,BAE=DAN. 四边形 ABCD是正方形, BAD=90 ,即BAN+DAN=90 , BAN+BAE=90 ,即EAN=90 . MAN=45 , MAE=EAN-MAN=90 -45 =45 . 在AEM和ANM中, AEMANM(SAS). (2)解 设正方形 ABCD的边长为 x,则 BC=CD=x. BM=3,DN=2 CM=BC-BM=x-3,CN=CD-DN=x-2. 由旋转的性质得 BE=DN=2, ME=BE+BM=2+3=5. 由(1)已证:AEMANM MN=ME=5. 又四边形 ABCD是正方形, C=90 , 则在 RtCMN中,CM2+CN2=MN2,即(x-3)2+(x-2)2=52, 解得 x=6或 x=-1(不符题意,舍去), 故正方形 ABCD的边长为 6.
