1、专题五专题五 新定义题新定义题 第三板块第三板块 2021 内 容 索 引 01 02 03 解题策略指导解题策略指导 题型分类突破题型分类突破 素养训练提高素养训练提高 解题策略指导解题策略指导 T 题型概述题型概述 新定义题是指题目提供一定的材料,或介绍一个新概念,或给出一种解法等, 在理解材料的基础上,获得解决问题的方法,从而加以运用,解决问题.其目 的在于考查同学们的阅读理解能力、收集处理信息的能力和运用知识解 决实际问题的能力.题目结构大致分两部分:一部分是材料,另一部分是问 题.新定义题近5年来在安徽中考中出现两次,分值为510分,题型有填空题、 解答题.安徽中考已有几年没出现此类
2、题目了,预计2021年出现可能性较大. F 方法指导方法指导 解决此类题的步骤: (1)理解“新定义”明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例” 提供的解题方法,归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题. 题型分类突破题型分类突破 类型一 基本运算新定义题 例1定义运算ab=a(1-b),下面给出这种运算的几个结论: 2(-2)=6 ab=ba 若a+b=0,则(aa)+(b b)=2ab 若ab=0,则a=0 其中正确结论的序号是_.(在横线上填上你认为正确结
3、论的 序号) 解析 2(-2)=21-(-2)=6, 正确; ab=a(1-b)=a-ab;ba=b(1-a)=b-ab, 不正确; a+b=0,a2+b2=-2ab,(aa)+(bb)=a(1-a)+b(1-b)=a+b-a2-b2=2ab, 正确; ab=0,ab=a(1-b)=0,则a=0或者b=1.不正确. 答案 类型二 几何图形新定义题 例2(2013 安徽,23)我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得 的四边形称为“准等腰梯形”.如图1,四边形ABCD即为“准等腰梯形”,其中 B=C. (1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条直线将 四边形ABC
4、D分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形 和一个梯形(画出一种示意图即可); (2)如图2,在“准等腰梯形”ABCD中B=C.E为边BC上一点,若 ABDE,AEDC,求证: (3)在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中,BAD与 ADC的平分线交于点E.若EB=EC,请问当点E在四边形ABCD内部时(即 图3所示情形),四边形ABCD是不是“准等腰梯形”?为什么?当点E不在四边 形ABCD内部时,情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由) = ; 解 (1)如图,过点D作DEBC交PB于点E,则四边形ABCD分割成一个等腰 梯形BCDE和一个三角形ADE.
5、(2)证明:ABDE, B=DEC,AEDC,AEB=C, B=C,B=AEB,AB=AE. 在ABE 和DEC 中, = , = , ABEDEC, = , = . (3)如图4,作EFAB于F,EGAD于G,EHCD于 H,BFE=CHE=90.AE平分BAD,DE平分 ADC,EF=EG=EH, RtEFBRtEHC,3=4. BE=CE,1=2. 1+3=2+4,即ABC=DCB, 图4 在 RtEFB 和 RtEHC 中, = , = , 四边形ABCD为AD截某等腰三角形所得,且AD不平行BC, 四边形ABCD是“准等腰梯形”. 当点E不在四边形ABCD的内部时,有两种情况: 当点
6、E在四边形ABCD的边BC上时,如图5所示,四边形ABCD为“准等腰梯形”; 当点E在四边形ABCD的外部时,如图6所示,四边形ABCD仍为“准等腰梯形”. 图5 图6 类型三 函数新定义题 例3(2014 安徽,22)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二 次函数为“同簇二次函数”. (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数; (2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过 点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0 x3 时,y2的最大值. 分析 (1)只需任选一个点作为顶点,
7、同号两数作为二次项的系数,用顶点式表示 两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可. (2)由y1的图象经过点A(1,1)可以求出m的值,根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就 可以求出函数y2的表达式,将函数y2的表达式转化为顶点式,利用二次函数的性质 就可以解决问题. 解 (1)设顶点为(h,k)的二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k,当a=2,h=3,k=4时, 二次函数的表达式为y=2(x-3)2+4. 20,该二次函数图象的开口向上. 当a=3,h=3,k=4时,二次函数的表达式为y=3(x-3)2+4. 30,该二次函数图象的开口向上. 两个函数y=2(x-3)2+4与y=3(x
8、-3)2+4的图象顶点相同,开口都向上, 两个函数y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4是“同簇二次函数”. 符合要求的两个“同簇二次函数”可以为y=2(x-3)2+4与y=3(x-3)2+4. (2)y1的图象经过点A(1,1), 212-4m1+2m2+1=1. 整理得m2-2m+1=0.解得m1=m2=1. y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1. y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b-4)x+8. y1+y2与y1为“同簇二次函数”, y1+y2=(a+2)(x-1)2+1=(a+2)x2-2(a+2)x+(a+2)+1. 其中a+20,即a
9、-2. -4 = -2( + 2), 8 = ( + 2) + 1.解得 = 5, = -10. 函数y2的表达式为y2=5x2-10 x+5. y2=5x2-10 x+5=5(x-1)2. 函数y2的图象的对称轴为x=1. 50,函数y2的图象开口向上. 当0 x1时,函数y2的图象开口向上, y2随x的增大而减小.当x=0时,y2取最大值, 最大值为5(0-1)2=5. 当1x3时,函数y2的图象开口向上, y2随x的增大而增大.当x=3时,y2取最大值,最大值为5(3-1)2=20. 综上所述,当0 x3时,y2的最大值为20. 素养训练提高素养训练提高 1.(2020 湖北荆州)定义新
10、运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有 a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例 4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的 情况为( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 答案 C 2.(2020 湖北咸宁)在平面直角坐标系xOy中,对于横、纵坐标相等的点称为 “好点”.下列函数的图象中不存在“好点”的是( ) A.y=-x B.y=x+2 C.y= D.y=x2-2x 2 答案 B 3.(2020 湖南岳阳)对于一个函数,自变量x取c时,函数值y等
11、于0,则称c为这 个函数的零点.若关于x的二次函数y=-x2-10 x+m(m0)有两个不相等的零点 x1,x2(x1x2),关于x的方程x2+10 x-m-2=0有两个不相等的非零实数根 x3,x4(x3x4),则下列关系式一定正确的是( ) A.0 1 31 C.0 2 41 答案 A 4.(2020 山东临沂)我们知道,两点之间线段最短, 因此,连接两点间线段的长度叫做两点间的距离; 同理,连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中,垂线段最短,因此,直线外一点到这条直线的 垂线段的长度,叫做点到直线的距离.类似地,连 接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中,最短 线段的长度,叫做点到曲线的
12、距离.依此定义,如 图,在平面直角坐标系中,点A(2,1)到以原点为圆 心,以1为半径的圆的距离为_. 答案 5-1 5.(2020 江苏南通)【了解概念】 有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形,连接这两个角的顶点的线段 称为对余线. 图 图 【理解运用】 (1)如图,对余四边形ABCD中,AB=5,BC=6,CD=4,连接AC.若AC=AB,求 sinCAD的值; (2)如图,凸四边形ABCD中,AD=BD,ADBD,当2CD2+CB2=CA2时,判断 四边形ABCD是否为对余四边形,并证明你的结论; 【拓展提升】 (3)在平面直角坐标系中,点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),四
13、边形ABCD是对余四边 形,点E在对余线BD上,且位于ABC内部,AEC=90+ABC.设 =u, 点D的纵坐标为t,请直接写出u关于t的函数解析式. 解 (1)过点 A作 AEBC于点 E,过点 C作 CFAD于点 F.AC=AB, BE=CE=3,在 RtAEB中,AE= 2-2= 52-32=4,CFAD,D+ FCD=90 ,B+D=90 ,B=DCF,AEB=CFD=90 , AEBDFC, = , 3 = 5 4,CF= 12 5 ,sinCAD= = 12 5 5 = 12 25. 图 (2)如图中,结论:四边形ABCD是对余四边形. 理由:过点D作DMDC,使得DM=DC,连接
14、CM. 四边形ABCD 中,AD=BD,ADBD,DAB=DBA=45, DCM=DMC=45,CDM=ADB=90, ADC=BDM,AD=DB,CD=DM, 图 ADCBDM(SAS),AC=BM, 2CD2+CB2=CA2,CM2=DM2+CD2=2CD2,CM2+CB2=BM2, BCM=90,DCB=45, DAB+DCB=90,四边形ABCD是对余四边形. (3)如图中,过点D作DHx轴于点H. A(-1,0),B(3,0),C(1,2),OA=1,OB=3,AB=4, AC=BC=2 ,AC2+BC2=AB2,ACB=90, CBA=CAB=45, 四边形ABCD是对余四边形,
15、图 ADC+ABC=90,ADC=45,AEC=90+ABC=135, ADC+AEC=180,A,D,C,E四点共圆,ACE=ADE, CAE+ACE=CAE+EAB=45,EAB=ACE, EAB=ADB,ABE=DBA,ABEDBA, 2 = , = ,u= 4 ,设 D(x,t),由(2)可知,BD2=2CD2+AD2, (x-3)2+t2=2(x-1)2+(t-2)2+(x+1)2+t2,整理得(x+1)2=4t-t2,在 RtADH 中,AD= 2+ 2= ( + 1)2+ 2=2 ,u= 4 = 2 (0t4),即 u= 2 (0tAB,点 B到直线AD的距离为BE. 求BE的长
16、; 若M,N分别是AB,AD边上的动点,求MNC周长的最小值. 解 (1)四边形ABCD是正方形,ABC=BAD=C=D=90, 将BCE绕B点旋转,使BC与BA重合,此时点E的对应点F在DA的延长线 上,BE=BF,CBE=ABF,EBF=ABC=90, EBF+D=180,四边形BEDF为“直等补”四边形. (2)过点C作CFBF于点F,如图1,则CFE=90, 四边形ABCD是“直等补”四边 形,AB=BC=5,CD=1,ADAB, ABC=90,ABC+D=180, D=90,BFAD,DEF=90, 四边形CDEF是矩形,EF=CD=1, 图1 ABE+A=CBE+ABE=90,A=
17、CBF, AEB=BFC=90,AB=BC=5,ABEBCF(AAS), BE=CF,设BE=CF=x,则BF=x-1, CF2+BF2=BC2,x2+(x-1)2=52,解得x=4,或x=-3(舍),BE=4. 如图2,延长CB到点F,使得BF=BC,延长CD到点G, 使得CD=DG,连接FG,分别与AB,AD交于点M,N,过点 G作GHBC,与BC的延长线交于点H,连接CM.则 BC=BF=5,CD=DG=1, ABC=ADC=90,CM=FM,CN=GN, 图2 MNC的周长=CM+MN+CN=FM+MN+GN=FG的值最小, 四边形ABCD是“直等补”四边形,A+BCD=180, BCD+HCG=180,A=HCG,AEB=CHG=90, ABECGH, = = ,AB=5,BE=4,AE= 2-2=3, 4 = 3 = 5 2,GH= 8 5,CH= 6 5,FH=FC+CH= 56 5 ,FG= 2+ 2=8 2, MNC 周长的最小值为 8 2.
