1、专专升本高等数学升本高等数学（二（二）必必考公式、考公式、必必考试题考试题 与模拟试卷与模拟试卷 高等数学高等数学( (二二) )必考公式必考公式 1.1.预备知识预备知识 2.2.极限与连续极限与连续 3.3.导数及应用导数及应用 4.4.不定积分不定积分 5.5.定积分及应用定积分及应用 6.6.多元函数微分学多元函数微分学 7.概率概率 高等数学高等数学( (二二) )必考题型必考题型 1. 极限与连续极限与连续 (1)直接代入求极限; (2)利用等价无穷小极限;如（ C ） A； B. ； C. ； D. . (3)利用重要极限极限;如（ D ） A； B. ； C. ； D. . (
2、4)利用罗必达法则;如 ( A )A6； B. -6； C. 0； D. 1 (5)分段函数的极限 (6)分段函数的连续性; 如果函数处处连续，则 k = ( C ).A；B. ；C. ；D. 2. 2. 导数及应用导数及应用 (1) 利用导数定义求导; 如果，则（ B ）. A. -6 ； B. -3 ； C. 3 ； D. 6 . 0 tan lim x x x 1012 1 lim(1) 3 x x x 3 e 3 e 1 3 e 1 3 e 3 0 lim sin x x xx 1 , 0 2 ( ) ln(1) ,0 3 x ex f x x kx x 6 7 6 7 7 6 7 6
3、 (3)6 f 0 (3)(3) lim 2 x fxf x (2) 利用导数公式求导;如 (3)利用连锁法则求导;如如果，则= ( C ). A. ； B. ； C. ； D. . (4)隐函数求导;如如果，则= ( D ). A. ； B. ； C. ； D. . (5)参数方程确定的函数求导; (6)切线方程; 曲线在点处的切线方程为（ B ） A. ； B. ； C. ； D. . (7 求)微分;如如果，则= ( C ). A. ； B. ； C. ； D. . (8) 确定单调区间, 极值;如函数的单调增加区间为( B ). A和； B. 和； C. ； D. 再如函数( B ).
4、 A在处取得极小值，在处取得极大值； B. 在处取得极大值，在处取得极小值； C. 在处取得极大值，在处取得极小值； D. 在处取得极小值，在处取得极大值 (9)凹凸区间,拐点;如求曲线的凹凸区间与拐点. 解：解：函数的定义域为, , ,令, 得, 用把分成，两部分. 当时，, 当时，, )3sin( 2 xy y 2 cos(3)x 2 cos(3)x 2 6 cos(3)xx 2 6 cos(3)xx yx xyee y y x ex ey y x ex ey x y ey ex x y ey ex 1 y x 1 (3,) 3 12 93 yx 12 93 yx 12 93 yx 12
5、93 yx 2 ln(sin)yxdy 2tanxdxtanxdx2cotxdxcotxdx 32 64yxx (,04,)(,0)(4,)(0,4)0,4 32 ( )9153f xxxx 1x 105x 22 1x 105x 22 1x 225x 10 1x 225x 10 32 3 10 510 xxy , 2 1010 xxyxy2010 0 y 2 1 x 2 1 x,) 2 1 ,(), 2 1 ( x) 2 1 ,(0 y x), 2 1 (0 y 曲线的凹区间为 凸区间为 拐点为. (10)证明不等式;如试证当时，. 证明：证明：令，易见在内连续，且. 当时，可知为上的严格单调
6、减少函数，即 当时，可知为上的严格单调增加函数， 即.故对任意 有即 3. 3. 不定积分不定积分 (1)原函数的概念;如如果是在区间 I 的一个原函数，则 ( B ). A. ； B. ； C. ； D. . (2) 不定积分的公式;如. (3)换元法;如. (4)分部积分法;如 =. 4. 4. 定积分及应用定积分及应用 (1) 积分上限函数;如设，则（ B ） A. ； B. ； C. ； D. . (2) 定积分的几何意义; (3)N-L 公式;如积分( B ).A. ； B. ；C. ； D. . (4)换元法;如积分( D ).A. ； B. ；C. ； D. . ), 2 1 (
7、), 2 1 ,() 6 65 , 2 1 ( 1xx x ee xxf x ee)( )f x),(0) 1 (fee)( x xf 1xee)( x xf0( )f x 1 ,( ( )(1)0.f xf1xee)( x xf0( )f x), 1 ( )(1)0f xf, 1x( )0,f x . 0ee x x x x ee cosx)(xf( )f x sinxsinxsinxCsinxC C x xx 6 sin )sind(sin 6 5 Cxxx xxx 222 e 2 1 )(de 2 1 de 2 xxxxx xxxx de 4 1 e 4 1 de 4 1 de 4444
8、 Cx xx 44 e 16 1 e 4 1 ( )sin x a F xtdt( )F x sintsinxcostcosx 1 2 1 dx x ln2ln2ln3ln3 ln 3 0 1 xx dx ee 3 4 6 12 (5)分部积分法;如积分( A ).A. -2； B. 2； C. -1； D. 0. (6)反常积分;如广义积分( B ).A.；B. ；C. ；D. . (7)求面积;如求曲线与轴围成的平面图形的面积. 解：解：如图，由得两曲线交点（1，1）. 解一解一 取为积分变量，, 所求面积 . (8)求体积;如用定积分求由所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的 体积. 解：
9、解：如右图，所求体积 = 5. 5. 多元函数微分学多元函数微分学 (1)偏导数;如，求，. 解：解：=8, =, =. (2)全微分;如设，求. 解：解： , . (3)多元函数的极值;如二元函数的（ ） C A. 极小值为； B. 极大值为； 0 cosxxdx 2 0 x xedx 1 3 1 4 1 5 1 6 22 )2(,xyxyx ,)2( , 2 2 xy xy x2 , 0 x 3 2 3 )2( 3 d)2(d 2 1 3 1 0 3 2 1 2 1 0 2 xx xxxxA 0, 1, 0, 1 2 xxyxyx 1 0 22 d) 1(xxV 1 0 24 d) 12(
10、xxx 1 0 35 ) 3 2 5 (x xx 15 28 y xze 8 x z 2 2 x z y z x z y x e 7 2 2 x z y x y xxe56)e8( 67 y z y x e 8 yxyzlnzd 1ln 1 ln,ln yx y xyyx y z yy x z yyxxyyy y z x x z zd1lndlnddd 22 ( , )36f x yxxyyxy (0,0)0f(0,0)0f 1 1 C. 极小值为； D. 极大值为 . 6.6.概率概率 1. 设 A 与 B 相互独立，且pAP)(，qBP)(，则()P AB （ C ） A. 1q； B.
11、1pq； C. (1)(1)pq； D. 1pq . 2. 一盒子内有 10 只球，其中 6 只是白球，4 只是红球，从中取 2 只球，则取出产品中至少有一个是白 球的概率为（ C ） A. 3 5 ； B. 1 15 ； C. 14 15 ； D. 2 5 . 3.设离散型随机变量的分布列为 -3 0 1 P 4/5 2/5 1/3 则的数学期望( ).B A. 7 15 ； B. 7 15 ； C. 17 15 ； D. 17 15 高等数学模高等数学模拟试卷拟试卷 一、选择题：110 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的，把所选项前的字母
12、填在题后的括号内 1当 x2 时，下列函数中不是无穷小量的是（ ） A B C D 2 A-3 B一 1 C0 D不存在 3 A (0,3)9f (0,3)9f B C D 4 A B C D 5 A0 B2x 3 C6x 2 D3x 2 6设(x)的一个原函数为 Inx，则(x)等于（ ） A B C D 7 Ay=x+1 By=x-1 C D 8 A0 Be 一 1 C2(e-1) D 9 A.y 4cos(xy2) B.- y 4cos(xy2) C.y 4sin(xy2) D.- y 4sin(xy2) 10设 100 件产品中有次品 4 件，从中任取 5 件的不可能事件是（ ） A“
13、5 件都是正品” B“5 件都是次品” C“至少有 1 件是次品” D“至少有 1 件是正品” 二、填空题：1120 小题，每小题 4 分，共 40 分把答案填在题中横线上 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 三、解答题：2128 题，共 70 分解答应写出推理、演算步骤 21 22 23 24 25(本题满分 8 分)设事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=06，P(B)=07，求 P(A+B). 26 27 28(本题满分 10 分)求由曲线 y=2-x 2，)，y=2x-1 及 X0 围成的平面图形的面积 S 以及此平面图形 绕 X 轴旋转一周所得旋转体的体积
14、 Vx 高等数学高等数学模拟模拟试卷试卷参考答案及解析参考答案及解析 一、选择题 1 【答案】 应选 C 2 【答案】 应选 D 【解析】 本题考查的知识点是分段函数在分段点处的极限计算分段点处的极限一定要分别计算其 左、右极限后，再进行判定 3 【答案】 应选 A 【提示】 本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式只需注意 e 3是常数即可 4 【答案】 应选 D 5 【答案】 应选 C 【解析】 本题考查的知识点是函数在任意一点 x 的导数定义注意导数定义的结构式为 6 【答案】应选 A 【提示】 本题考查的知识点是原函数的概念，因此有所以选 A 7 【答案】 应选 B 【解析】 本题考查
15、的知识点是：函数 y=(x)在点(x，(x)处导数的几何意义是表示该函数对应曲 线过点(x,(x)的切线的斜率由 可知，切线过点(1，0)，则切线方程为 y=x-1，所以选 B 8 【答案】 应选 C 【解析】 本题考查的知识点是奇、偶函数在对称区间上的定积分计算 注意到被积函数是偶函数的特性，可知 所以选 C 9 【答案】 应选 D 【提示】 z 对 x 求偏导时应将 y 视为常数，则有 所以选 D 10 【答案】 应选 B 【解析】 本题考查的知识点是不可能事件的概念不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事 件由于只有 4 件次品，一次取出 5 件都是次品是根本不可能的，所以选 B 二、填
16、空题 11 【答案】 应填 2 12 13 【答案】应填一 2sin 2x 【提示】 用复合函数求导公式计算即可 14 【答案】应填 4 15 【答案】 应填 1 16 【提示】 凑微分后用积分公式 17 【答案】 应填 2In 2 【解析】 本题考查的知识点是定积分的换元积分法换元时，积分的上、下限一定要一起换 18 19 【答案】 20 【答案】 应填 0 【解析】 本题考查的知识点是二元函数的二阶混合偏导数的求法 三、解答题 21 【解析】 型不定式极限的一般求法是提取分子与分母中的最高次因子，也可用洛必达法则求解 解法 解法 2 洛必达法则 22本题考查的知识点是函数乘积的导数计算 2
17、3本题考查的知识点是凑微分积分法 24本题考查的知识点是定积分的凑微分法和分部积分法 【解析】 本题的关键是用凑微分法将(x)dx 写成 ud 的形式，然后再分部积分 25本题考查事件相互独立的概念及加法公式 【解析】 若事件 A 与 B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)-p(AB)=P(A)+P(B)-p(A)P(日)=06+07-0607=088 26本题考查的知识点是利用导数的图像来判定函数的单调区间和极值点，并以此确定函数的表达 式编者希望通过本题达到培养考生数形结合的能力 【解析】 (1) (2)因为 由上面三式解得=2，b=-9，c=12
18、 27本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法 利用公式法求导的关键是需构造辅助函数 然后将等式两边分别对 x(或 y 或 z)求导读者一定要注意：对 x 求导时，y，z 均视为常数，而对 y 或 z 求导时，另外两个变量同样也视为常数也即用公式法时，辅助函数 F(x，y，z)中的三个变量均 视为自变量 求全微分的第三种解法是直接对等式两边求微分，最后解出出，这种方法也十分简捷有效，建议考生 能熟练掌握 解法 1 等式两边对 x 求导得 解法 2 解法 3 28本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算 【解析】 本题的难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积 S
19、求面积的关 键是确定对 x 积分还是对 Y 积分 确定平面图形的最简单方法是：题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或 少一条都不是题中所要求的 确定对 x 积分还是对 y 积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示本题 如改为对 y 积分，则有 计算量显然比对 x 积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键 在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是戈轴还是 y 轴 由于本题在x轴下面的图形绕x轴旋转成的体积与x轴上面的图形绕x轴旋转的旋转体的体积重合了， 所以只要计算 x 轴上面的图形绕戈轴旋转的旋转体体积即可如果将旋转体的体积写成 上面的这种错误是考生比较容易出现的，所以审题时一定要注意 解 由已知曲线画出平面图形为如图 212 所示的阴影区域
