1、 - 1 - 数数列单元测试题列单元测试题 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1010 个小题,每小题个小题,每小题 5 5 分,共分,共 5050 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符号题目要求的。一项是符号题目要求的。) ) 1已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且满足S3 3 S2 2 1,则数列an的公差是( ) A.1 2 B1 C2 D3 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 8a2a50,则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a5 a3 B. S5 S3 C. an1 an D.Sn 1 Sn 3设数列an满足 a1
2、0,anan12,则 a2011的值为( ) A2 B1 C0 D2 4已知数列an满足 log3an1log3an1(nN*)且 a2a4a69,则 log1 3(a 5a7a9)的值是 ( ) A5 B1 5 C5 D.1 5 5已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn,且An Bn 7n45 n3 ,则使得an bn为正偶数 时,n 的值可以是( ) A1 B2 C5 D3 或 11 6 各项都是正数的等比数列an的公比 q1, 且 a2, 1 2a3, a1成等差数列, 则 a3a4 a4a5的值为( ) A.1 5 2 B. 51 2 C. 51 2 D. 51
3、2 或 51 2 7已知数列an为等差数列,若a11 a100 的最大 值 n 为( ) A11 B19 C20 D21 8等比数列an中,a1512,公比 q1 2,用 n表示它的前 n 项之积:na1 a2 an, 则 n中最大的是( ) A11 B10 C9 D8 9已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a11,S3a5,am2011,则 m( ) A1004 B1005 C1006 D1007 10已知数列an的通项公式为 an6n4,数列bn的通项公式为 bn2n,则在数列an的前 100 项中与数列bn中相同的项有( ) A50 项 B34 项 C6 项 D5 项 二二、填空
4、题、填空题( (本大题共本大题共 5 5 个小题,每小题个小题,每小题 5 5 分,共分,共 2525 分,把正确答案填在题中横线上分,把正确答案填在题中横线上) ) 11 已知数列an满足: an11 1 an, a12, 记数列an的前 n 项之积为 Pn, 则 P2011_. 12秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数列an, 已知 a11,a22,且 an2an1(1)n (nN*),则该医院 30 天入院治疗流感的人数 共有_人 13已知等比数列an中,各项都是正数,且 a1,1 2a3,2a2 成等差数列,则a3a10 a1a8 _. - 2
5、- 14在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列, 且从上到下所有公比相等,则 abc 的值为_ a c b 6 1 2 15数列an中,a11,an、an1是方程 x2(2n1)x 1 bn0 的两个根,则数列bn的前 n 项和 Sn_ 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 个小个小题,共题,共 7575 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) ) 16(本小题满分 12 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Snpn22nq(p,qR),nN*. (1)求 q 的值; (2)若 a38,数列b
6、n满足 an4log2bn,求数列bn的前 n 项和 17(本小题满分 12 分)等差数列an的各项均为正数,a13,前 n 项和为 Sn,bn为等比数列, b11,且 b2S264,b3S3960. (1)求 an与 bn; (2)求 1 S1 1 S2 1 Sn的值 18(本小题满分 12 分)已知数列bn前 n 项和为 Sn,且 b11,bn11 3Sn. - 3 - (1)求 b2,b3,b4的值; (2)求bn的通项公式; (3)求 b2b4b6b2n的值 19(本小题满分 12 分)已知 f(x)mx(m 为常数,m0 且 m1)设 f(a1),f(a2),f(an)(n N)是首
7、项为 m2,公比为 m 的等比数列 (1)求证:数列an是等差数列; (2)若 bnanf(an),且数列bn的前 n 项和为 Sn,当 m2 时,求 Sn; (3)若 cnf(an)lgf(an),问是否存在 m,使得数列cn中每一项恒小于它后面的项?若存在, 求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由 20(本小题满分 13 分)将函数 f(x)sin1 4x sin 1 4(x2) sin 1 2(x3)在区间(0,)内的全部最值 - 4 - 点按从小到大的顺序排成数列an(nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn2nan,数列bn的前 n 项和为 Tn,求 Tn的表达式
8、21(本小题满分 14 分)数列an的前 n 项和为 Sn,且 Snn(n1)(nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足:an b1 31 b2 321 b3 331 bn 3n1,求数列bn的通项公式; (3)令 cnanbn 4 (nN*),求数列cn的前 n 项和 Tn. - 5 - 数数列列单元测试题单元测试题 命题人:张晓光命题人:张晓光 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1 10 0 个小题,每小题个小题,每小题 5 5 分,共分,共 5050 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符号题目要求的。一项是符号题目要
9、求的。) ) 1已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且满足S3 3 S2 2 1,则数列an的公差是( ) A.1 2 B1 C2 D3 答案 C解析 设an的公差为 d,则 Snna1nn1 2 d, Sn n 是首项为 a1,公差为d 2的等差数列, S3 3 S2 2 1,d 21,d2. 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 8a2a50,则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a5 a3 B. S5 S3 C. an1 an D.Sn 1 Sn 答案 D解析 等比数列an满足 8a2a50,即 a2(8q3)0,q2,a5 a3q 24, an1 an q2,S5 S3 a
10、11q5 1q a11q3 1q 1q 5 1q3 11 3 ,都是确定的数值,但Sn 1 Sn 1q n1 1qn 的值随 n 的变化 而变化,故选 D. 3设数列an满足 a10,anan12,则 a2011的值为( ) A2 B1 C0 D2 答案 C解析 a10,anan12,a22,a30,a42,a50,即 a2k10, a2k2,a20110. 4已知数列an满足 log3an1log3an1(nN*)且 a2a4a69,则 log1 3(a5a7a9)的值是 ( ) A5 B1 5 C5 D.1 5 答案 A分析 根据数列满足 log3an1log3an1(nN*)由对数的运算
11、法则,得出 an1 与 an的关系,判断数列的类型,再结合 a2a4a69 得出 a5a7a9的值 解析 由 log3an1log3an1(nN*)得, an13an, 数列an是公比等于 3 的等比数列, a5a7a9(a2a4a6)3335,log1 3(a5a7a9)log33 55. 5已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn,且An Bn 7n45 n3 ,则使得an bn为正偶数 时,n 的值可以是( ) A1 B2 C5 D3 或 11 答案 D解析 an与bn为等差数列,an bn 2an 2bn a1a2n1 b1b2n1 A2n1 B2n1 14n38
12、2n2 7n19 n1 ,将选项代入检验知选 D. 6 各项都是正数的等比数列an的公比 q1, 且 a2, 1 2a3, a1成等差数列, 则 a3a4 a4a5的值为( ) - 6 - A.1 5 2 B. 51 2 C. 51 2 D. 51 2 或 51 2 答案 C解析 a2,1 2a3,a1 成等差数列,a3a2a1, an是公比为 q 的等比数列,a1q2a1qa1,q2q10,q0,q 51 2 . a3a4 a4a5 1 q 51 2 ,故选 C. 7已知数列an为等差数列,若a11 a100 的最大 值 n 为( ) A11 B19 C20 D21 答案 B解析 Sn有最大
13、值,a10,d0,a11 a101, a110,a10a110,S2020a1a20 2 10(a10a11)0,故选 B. 8等比数列an中,a1512,公比 q1 2,用 n表示它的前 n 项之积:na1 a2 an, 则 n中最大的是( ) A11 B10 C9 D8 解析:na1a2anan1 q1 2n129n 1 2 n1n 2 (1)nn1 2 2n 219n 2 ,当 n9 时,n最大故选 C 9已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a11,S3a5,am2011,则 m( ) A1004 B1005 C1006 D1007 答案 C解析 由条件知 a11 3a132 2
14、 da14d , a11 d2 , ama1(m1)d12(m1)2m12011,m1006,故选 C. 10已知数列an的通项公式为 an6n4,数列bn的通项公式为 bn2n,则在数列an的前 100 项中与数列bn中相同的项有( ) A50 项 B34 项 C6 项 D5 项 答案 D解析 a12b1,a28b3,a314,a420,a526,a632b5,又 b10 2101024a100,b9512,令 6n4512,则 n86,a86b9,b8256,令 6n4256, nZ,无解,b7128,令 6n4128,则 n22,a22b7,b6646n4 无解,综上知, 数列an的前
15、100 项中与bn相同的项有 5 项 二、填空题二、填空题( (本大题本大题共共 5 5 个小题,每小题个小题,每小题 5 5 分,共分,共 2525 分,把正确答案填在题中横线上分,把正确答案填在题中横线上) ) 11 已知数列an满足: an11 1 an, a12, 记数列an的前 n 项之积为 Pn, 则 P2011_. 答案 2 解析 a12, a211 2 1 2, a3121, a41(1)2, an的周期为 3, 且 a1a2a3 1,P2011(a1a2a3)670 a2011(1)670 a12. 12秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构
16、成数列an, 已知 a11,a22,且 an2an1(1)n (nN*),则该医院 30 天入院治疗流感的人数 - 7 - 共有_人 答案 255 解析 an2an1(1)n (nN*),n 为奇数时,an2an,n 为偶数时,an2an 2,即数列an的奇数项为常数列,偶数项构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列 故这 30 天入院治疗流感人数共有 15(1521514 2 2)255 人 13已知等比数列an中,各项都是正数,且 a1,1 2a3,2a2 成等差数列,则a3a10 a1a8 _. 答案 32 2 解析 a1, 1 2a3,2a2成等差数列, a3a12a2, 设数列an公
17、比为 q, 则 a1q 2a 12a1q, a10,q22q10,q1 2,an0,q 21, a3a10 a1a8 q232 2. 14在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列, 且从上到下所有公比相等,则 abc 的值为_ a c b 6 1 2 答案 22 解析 由横行成等差数列知,6 下边为 3,从纵列成等比数列及所有公比相等知,公比 q 2, b224由横行等差知c下边为46 2 5, 故c5210, 由纵列公比为2知a123 8,abc22. 15数列an中,a11,an、an1是方程 x2(2n1)x 1 bn0 的两个根,则数列bn的前 n
18、项和 Sn_ 答案 n n1解析由题意得 anan 12n1,又annan1(n1),a11 ann,又 an an1 1 bn,bn 1 nn1.Snb1b2bn1 1 n1. 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 个小题,共个小题,共 7 75 5 分,解答应写出文字说明,证明过程分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤或演算步骤) ) 16(本小题满分 12 分)(2011 甘肃天水期末)已知等差数列an的前 n 项和为 Snpn22nq(p, qR),nN*. (1)求 q 的值; (2)若 a38,数列bn满足 an4log2bn,求数列bn的前 n 项和 解析 (1
19、)当 n1 时,a1S1p2q, 当 n2 时,anSnSn1pn22nqp(n1)22(n1)q2pnp2 an是等差数列,p2q2pq2,q0. (2)a38,a36pp2,6pp28,p2, an4n4, 又 an4log2bn,得 bn2n 1,故b n是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 所以数列bn的前 n 项和 Tn12 n 12 2n1. 17(本小题满分 12 分)等差数列an的各项均为正数,a13,前 n 项和为 Sn,bn为等比数列, - 8 - b11,且 b2S264,b3S3960. (1)求 an与 bn; (2)求 1 S1 1 S2 1 Sn的值 解:(1)
20、设an的公差为 d,bn的公比为 q,则 d 为正数,an3(n1)d,bnqn 1, 依题意有 S2b26dq64 S3b393dq2960 , 解得 d2 q8 或 d6 5 q40 3 (舍去), 故 an32(n1)2n1,bn8n 1. (2)由(1)知 Sn35(2n1)n(n2), 所以 1 S1 1 S2 1 Sn 1 13 1 24 1 35 1 nn2 1 2 11 3 1 2 1 4 1 3 1 5 1 n 1 n2 1 2 11 2 1 n1 1 n2 3 4 2n3 2n1n2. 18(本小题满分 12 分)已知数列bn前 n 项和为 Sn,且 b11,bn11 3S
21、n. (1)求 b2,b3,b4的值; (2)求bn的通项公式; (3)求 b2b4b6b2n的值 解析 (1)b21 3S1 1 3b1 1 3,b3 1 3S2 1 3(b1b2) 4 9,b4 1 3S3 1 3(b1b2b3) 16 27. (2) bn11 3Sn bn1 3Sn1 解 bn1bn1 3bn,bn1 4 3bn, b21 3,bn 1 3 4 3 n2 (n2) bn 1 n1 1 3 4 3 n2n2 . (3)b2,b4,b6b2n是首项为1 3,公比 4 3 2的等比数列, b2b4b6b2n 1 31 4 3 2n 1 4 3 2 3 7( 4 3) 2n1
22、- 9 - 19(本小题满分 12 分)已知 f(x)mx(m 为常数,m0 且 m1)设 f(a1),f(a2),f(an)(n N)是首项为 m2,公比为 m 的等比数列 (1)求证:数列an是等差数列; (2)若 bnanf(an),且数列bn的前 n 项和为 Sn,当 m2 时,求 Sn; (3)若 cnf(an)lgf(an),问是否存在 m,使得数列cn中每一项恒小于它后面的项?若存在, 求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由 解析 (1)由题意 f(an)m2 mn 1,即 ma nm n1. ann1,an1an1, 数列an是以 2 为首项,1 为公差的等差数列 (2)由
23、题意 bnanf(an)(n1) mn 1, 当 m2 时,bn(n1) 2n 1, Sn2 223 234 24(n1) 2n 1 式两端同乘以 2 得, 2Sn2 233 244 25n 2n 1(n1) 2n2 并整理得, Sn2 222324252n 1(n1) 2n2 22(2223242n 1)(n1) 2n2 222 212n 12 (n1) 2n 2 2222(12n)(n1) 2n 22n2 n. (3)由题意 cnf(an) lgf(an)mn 1 lgmn1(n1) mn1 lgm, 要使 cncn1对一切 nN*成立, 即(n1) mn 1 lgm1 时,lgm0,所以
24、 n1m(n2)对一切 nN*恒成立; 当 0m1 时,lgmm 对一切 nN *成立, 因为n1 n21 1 n2的最小值为 2 3,所以 0m 2 3. 综上,当 0m1 时,数列cn中每一项恒小于它后面的项 20(本小题满分 13 分)将函数 f(x)sin1 4x sin 1 4(x2) sin 1 2(x3)在区间(0,)内的全部极值 点按从小到大的顺序排成数列an(nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn2nan,数列bn的前 n 项和为 Tn,求 Tn的表达式 解析 (1)化简 f(x)sin1 4x sin 1 4(x2) sin 1 2(x3) sinx 4co
25、s x 4 cosx 2 1 4sinx 其极值点为 xk 2(kZ), 它在(0,)内的全部极值点构成以 2为首项, 为公差的等差数列, an 2(n1) 2n1 2 (nN*) (2)bn2nan 2(2n1) 2 n - 10 - Tn 21 23 2 2(2n3) 2n1(2n1) 2n 2Tn 21 2 23 23(2n3) 2n(2n1) 2n1 相减得,Tn 21 22 2 22 232 2n(2n1) 2n1 Tn(2n3) 2n3 21(本小题满分 14 分)数列an的前 n 项和为 Sn,且 Snn(n1)(nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足:an
26、 b1 31 b2 321 b3 331 bn 3n1,求数列bn的通项公式; (3)令 cnanbn 4 (nN*),求数列cn的前 n 项和 Tn. 解析 (1)当 n1 时,a1S12, 当 n2 时,anSnSn1n(n1)(n1)n2n,知 a12 满足该式 数列an的通项公式为 an2n. (2)an b1 31 b2 321 b3 331 bn 3n1(n1) an1 b1 31 b2 321 b3 331 bn 3n1 bn1 3n 11 得, bn1 3n 11an1an2,bn12(3n 11), 故 bn2(3n1)(nN*) (3)cnanbn 4 n(3n1)n 3nn, Tnc1c2c3cn(13232333n3n)(12n) 令 Hn13232333n3n, 则 3Hn132233334n3n 1 得,2Hn332333nn3n 1313 n 13 n3n 1 Hn2n13 n13 4 , 数列cn的前 n 项和 Tn2n13 n13 4 nn1 2 .