1、 1 有理数全章复习与巩固（基础）有理数全章复习与巩固（基础） 撰稿：吴婷婷 审稿：常春芳 【学习目标】【学习目标】 1理解正负数的意义，掌握有理数的概念. 2理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识. 4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用. 5. 体会数学知识中体现的一些数学思想. 【知识网络知识网络】 【要点梳理要点梳理】 要点一、有理数的相关概念要点一、有理数的相关概念 1 1有理数的分类：有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点诠释：要点诠释：（1）用正数、负数表示相
2、反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0 是自然数、是有理数 表示没有 3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 2 表示 表示某种状态 0 0 C表示冰点 表示正数与负数的界点 0 非正非负，是一个中性数 2 2数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线 要点诠释：要点诠释： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大 3 3相反数：相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0 要点诠释：要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点
3、的距离相等，这两点是 关于原点对称的 （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可 （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时， 化简结果为负 4 4绝对值：绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 数 a 的绝对值记作a （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离 要点二、有理数的运算要点二、有理数的运算 1 1 法则：法则： （1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数 相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较
4、大的绝对值减去较小的绝对值一个数同 0 相加，仍得这 个数 （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数即 a-b=a+(-b) （3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同 0 相乘，都得 0 （4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数即 ab=a 1 b (b0) （5）乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都 是正数，0 的任何非零次幂都是 0 (6)有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 要点诠释：要点诠释：“
5、奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：（3）=3， +（3）=3 （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符 号，例如： （3）（2）（6）=36，而（3）（2）6=36 （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数， 则幂为正，例如： 2 ( 3)9， 3 ( 3)27 2 2运算律运算律： （1）交换律: 加法交换律:a+b=b+a； 乘法交换律:ab=ba； (0) |0(0) (0) aa aa aa 3 （2）结合律: 加法结合律： (a+b)+c=a+(b
6、+c)； 乘法结合律： （ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、要点三、有理数的大小比较有理数的大小比较 比较大小常用的方法有： （1）数轴比较法； （2）法则比较法：正数大于 0，0 大于负数，正数大 于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法 （4）作商比较法； （5)倒数比较法 要点四、科学记数法、近似数要点四、科学记数法、近似数及精确度及精确度 1.1.科学记数法：科学记数法：把一个大于 10 的数表示成10na的形式（其中110a，n是正整数） ，此种记法 叫做科学记数法例如：200 000= 5 2 10 2.2.近似数：近似数： 接近准
7、确数而不等于准确数的数， 叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为 6300 ，这里的 6300 就是近似数. 要点诠释：要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.3.精确度：精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近 似数的精确度. 要点诠释：要点诠释： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：精确到哪一位保留几个有效数字这两种的形式的意义不一样，一 般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05 米，而有效数字往往用来比较几
8、个近似数哪个更精确些. 【典型例题】【典型例题】 类型一、有理数相关概念类型一、有理数相关概念 1若一个有理数的：(1)相反数； （2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身则 这个数分别为(1)_；(2)_；(3)_；(4)_； （5）_ 【答案】 （1）0； (2)1 和-1；(3)正数和 0；(4)1 和 0；(5)-1、0 和 1 【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全. 【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 举一反三举一反三： 【高清课堂高清课堂：有理数专题复习有理数专题复习 357133 357133 概念的理解与应用概念的理解与应用】 【变式
9、】(1) 3 2 1的倒数是 ； 3 2 1的相反数是 ； 3 2 1的绝对值是 . -（-8）的相反数是 ； 2 1 的相反数的倒数是_. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8 元的意义是 _ ；如 果这种油的原价是 76 元，那么现在的卖价是 . (3) 上海浦东磁悬浮铁路全长 30km，单程运行时间约为 8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数 法表示约为 mmin. (4) 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则)( 3 2 3bacd_ . (5) 近似数 0.4062 精确到 位，近似数 5.47 105精确到 位，近似数 3.5 万精
10、确到 位， 3.4030 105精确到千位是 . 4 【答案】 （1） 3 5 ； 2 1 3 ； 2 1 3 ；-8；2 （2）降价 5.8 元，70.2 元； （3） 3 3.75 10 ； （4）3； （5）万分；千；千；3.40105 2如果(x-2)2+|y-3|0，那么(2x-y)2005的值为( ) A1 B-1 C22006 D32005 【思路点拨】利用非负数的性质，求出y, x的值再代入计算 【答案】A 【解析】 因为(x-2)2，|y-3|都是非负数，且(x-2)2+|y-3|0， 所以由非负数的性质先求出 x=2， y =3 的值，代入得： (2x-y)2005=120
11、05=1 【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性 3在下列两数之间填上适当的不等号： 2005 2006 _ 2006 2007 【思路点拨】根据“a-b0，a-b0，a-b0 分别得到 ab，ab，ab”来比较两数的大小 【答案】 【解析】法一：作差法 由于 200520062005 20072006 20061 0 200620072006 20072006 2007 ，所以 20052006 20062007 法二：倒数比较法：因为 2006112007 11 2005200520062006 所以 20052006 20062007 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征
12、选择使用 举一反三举一反三： 【变式】比较大小：(1) 1 99 _0.001； (2) 2 3 _-0.68 【答案】 （1） （2） 类型二、有理数的运算类型二、有理数的运算 4 （1） （12）5+（14）（39） （2）32（3）2+3（2）+|4| （3） 152 60 61215 （4） 541 0.75 12 52 （5） 2 3 111131 21121324 42434( 0.2) 【答案与解析】 解： （1） （12）5+（14）（39） =12514+39 =31+39 5 =8 （2）32（3）2+3（2）+|4| =996+4 =16+4 =3 （3） 152 60
13、61215 = 606060 =10258 =23 （4） 541 0.75 12 52 = （ ）（ ）32 = 232 = 30 =24 （5） 2 3 111131 21121324 42434( 0.2) 3 12457551 24 165434 1 5 145755 242424125 40434 1 27056330 125 40 1 121 40 39 120 40 【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号 里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算 举一反三举一反三： 【变式】计算
14、： （1） 11 ( 2)( 2) 22 （2） 2006 4 26 1031 6 【答案】解： （1） 111 ( 2)( 2)( 1)( 2)( 1) 2 ( 2)4 222 （2） 2006 4 26 1031 =-16+4-31 =-15 类型三、数学思想在本章中的应用类型三、数学思想在本章中的应用 5 （1）数形结合思想：有理数 a 在数轴上对应的点如图所示，则 a，-a，1 的大小关系 A-aa1 B1-aa C1-aa Da1-a （2）分类讨论思想：已知|x|5，|y|3求 x-y 的值 （3）转化思想：计算： 31 35() 147 【答案与解析】 解： （1）将-a 在数轴
15、上标出，如图所示，得到 a1-a，所以大小关系为：a1-a 所以正确选项为：D （2）因为| x|5，所以 x 为-5 或 5 因为|y|3，所以 y 为 3 或-3 当 x5，y3 时，x-y5-32 当 x5，y-3 时，x-y5-(-3)8 当 x-5，y3 时，x-y-5-3-8 当 x-5，y-3 时，x-y-5-(-3)-2 故（x-y）的值为2 或8 （3）原式= 331 35( 7)35 77246 14142 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段数形结合“以形助数”或 “以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分
16、类要 做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识” ，将“未知”转化为“已知” 举一反三举一反三： 【变式】若 a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么? 【答案】解：当 a0 时，|a|-aa-a0； 当 a0 时，|a|-a0-00； 当 a0 时，|a|-a-a-a-2a0 所以，对于任何有理数 a，|a|-a 都不会是负数 类型四、规律探索类型四、规律探索 6将 1， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 6 ，按一定规律排列如下： 7 请你写出第 20 行从左至右第 10 个数是_ 【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律 【答案】 1 200 【解析】 认真观察可知，第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数，第 3 行有 3 个数，所以第 20 行 有 20 个数， 从第 1 行到第 20 行共有 1+2+3+20210 个数， 所以第 20 行最后一个数的绝对值应是 1 210 ； 又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第 20 行最后一个数是 1 210 ，以此类推向前 10 个，则 得到第 20 行第 10 个数是 1 200 【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并 将规律表示出来
