1、 1 绝对值绝对值（基础）（基础） 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1掌握一个数的绝对值的求法和性质； 2进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、绝对值绝对值 1.1.定义：定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值 是 0即对于任何有理数 a 都有： （2）绝
2、对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远， 绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小 （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的 2.2.性质性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0 要点二、要点二、有理数的大小有理数的大小比较比较 1.1.数轴法：数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与 b 在数轴上的位置如 图所示，则 ab 2.2.法则比较法：法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 数为
3、 0 正数与 0：正数大于 0 负数与 0：负数小于 0 要点诠释：要点诠释： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1）分别计算两数的绝对值； （2）比较绝对值的大小； （3） 判定两数的大小 3. 作差法：作差法：设 a、b 为任意数，若 a-b0，则 ab；若 a-b0，则 ab；若 a-b0，ab；反之成 立 4. 求商法：求商法：设 a、b 为任意正数，若1 a b ，则ab；若1 a b ，则ab；若1 a b ，则ab；反 之也成立若 a、b 为任意负数，则与上述结论相反 5. 倒数比较法：倒数比较法：如果两个数都大于 0，那么倒数大的反而小. 【典型例题】【典型例题】 类型一
4、、绝对值类型一、绝对值的的概念概念 1求下列各数的绝对值 (0) |0(0) (0) aa aa aa 2 1 1 2 ，-0.3，0， 1 3 2 【思路点拨思路点拨】 1 1 2 ，-0.3，0， 1 3 2 在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数 的绝对值还可以用绝对值法则来求解 【答案与解析】 解法一：因为 1 1 2 到原点距离是 1 1 2 个单位长度，所以 11 11 22 因为-0.3 到原点距离是 0.3 个单位长度，所以|-0.3|0.3 因为 0 到原点距离为 0 个单位长度，所以|0|0 因为 1 3 2 到原点的距离是 1 3 2 个单位长度，所以 11
5、 33 22 解法二：因为 1 10 2 ，所以 111 111 222 因为-0.30，所以|-0.3|-(-0.3)0.3 因为 0 的绝对值是它本身，所以|0|0 因为 1 30 2 ，所以 11 33 22 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法 1)，一种是 利用绝对值的代数意义求解(如方法 2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是 0再 根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是 0从而求出该数的绝对 值 2已知一个数的绝对值等于 2009，则这个数是_ 【答案】2009 或-2009 【解析】
6、根据绝对值的定义， 到原点的距离是 2009 的点有两个， 从原点向左侧移动 2009 个单位长度， 得到表示数-2009 的点；从原点向右侧移动 2009 个单位长度，得到表示数 2009 的点 【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来无论 哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】求绝对值不大于 3 的所有整数 【答案】绝对值不大于 3 的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3 【高清课堂：绝对值比大小【高清课堂：绝对值比大小 356845 356845 典型例题典型例
7、题 3】 【变式变式 2 2】如果x2，那么x_ _ ； 如果x2，那么x_ 如果x21，那么x ； 如果x3，那么x的范围是 【答案】2-2 或；2-2 或；1 或 3；x3或x-3 【变式变式 3】数轴上的点 A 到原点的距离是 6，则点 A 表示的数为 【答案】6 或-6 3 类型二类型二、比较大小、比较大小 3比较下列有理数大小：(1)-1 和 0； (2)-2 和|-3| ；(3) 1 3 和 1 2 ； （4） 1 _0.1 【答案】(1)0 大于负数，即-10； (2)先化简|-3|3，负数小于正数，所以-23，即-2|-3|； (3)先化简 11 33 ， 11 22 ， 11
8、 23 ，即 11 32 (4)先化简11 ，0.10.1 ， 这是两个负数比较大小： 因为11 ，0.10.1， 而1 0 . 1， 所以10.1 ，即1 0.1 【解析】(2)、(3)、 （4）先化简，再运用有理数大小比较法则 【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值 的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断 举一反三：举一反三： 【高清课堂：绝对值比大小【高清课堂：绝对值比大小 356845356845 典型例题典型例题 2 2】 【变式变式 1 1】比大小： 6 5 3_ 7 6 3 ； -|-3.2|_-(+3.2)
9、； 0.0001_1000； 1.38_1.384； _3.14 【答案】；=； 【变式变式 2 2】 （山东临沂）下列各数中，比1 小的数是（ ） A0 B1 C2 D2 【答案】C 【变式变式 3 3】数 a 在数轴上对应点的位置如图所示，则 a，-a，-1 的大小关系是( ) A-aa-1 B-1-aa Ca-1-a Da-a-1 【答案】C 类型类型三、绝对值非负性的应用三、绝对值非负性的应用 4. 已知|2-m|+|n-3|0，试求 m-2n 的值 【思路点拨】 由a0 即绝对值的非负性可知， 2-m0， n-30， 而它们的和为 0 所以 2-m0，|n-3|0因此，2-m0，n-
10、30，所以 m2，n3 【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|0 4 且|2-m|0，|n-3|0 所以|2-m|0，|n-3|0 即 2-m0，n-30 所以 m2，n3 故 m-2n2-23-4 【总结升华】 若几个数的绝对值的和为 0， 则每个数都等于 0， 即|a|+|b|+|m|0 时， 则 ab m0 类型四、绝对值的实际应用类型四、绝对值的实际应用 5正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是 6 个足球的质量检测结果，用正数记 超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15， -40裁判员应该选择哪个足球用于这
11、场比赛呢?请说明理由 【答案】 因为+10+15-20-25+30-40，所以检测结果为+10 的 足球的质量好一些所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛 【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好这个偏差可以 用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大 【点评】绝对值越小，越接近标准. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有 0.002L 的误差现 抽查 6 瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数检查结果如下 表： +0.0018 -0
12、.0023 +0.0025 -0.0015 +0.0012 +0.0010 请用绝对值知识说明： (1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)? (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？ 【答案】(1)绝对值不超过 0.002 的有 4 瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010 的这四瓶 (2)第 6 瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量 【变式变式 2 2】一只可爱的小虫从点 O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左 爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在 爬行过程中，如果小虫每爬行 1cm 就奖励 2 粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|5+3+10+8+6+12+1054(cm) 小虫得到的芝麻数为 542108(粒)
