1、 1 直线、射线、线段（提高）直线、射线、线段（提高）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系； 2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题； 3利用线段的和差倍分解决相关计算问题 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、直线直线 1概念：概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉 得紧的细线” 、 “一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述 2. 表示方法：表示方法：（1） 可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示， 如图 1 所示， 可表示为直线 AB(或 直线 BA)
2、 （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 2 所示，可以表示为直线l 3.基本性质：基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线简单说成：两点确定一条直线 要点诠释：要点诠释： 直线的特征： （1）直线没有长短，向两方无限延伸 （2）直线没有粗细 （3）两点确定一条直线 （4）两条直线相交有唯一一个交点 4 4. .点与直线的位置关系：点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图 3 所示，点 A 在直线 m 上，也可以说：直线 m 经过点 A （2）点在直线外，如图 4，点 B 在直线 n 外，也可以说：直线 n 不经过点 B 要点二、要点二、线段线段 1 1. .概念：概念：直线上两点
3、和它们之间的部分叫做线段 2 2. .表示方法：表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段 AB 或线段 BA （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图 5 所示，记作：线段 a 3. “作一条线段等于已知线段”的作一条线段等于已知线段”的两种两种方法方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段例如：下图所示，用圆规在射线 AC 上截取 ABa 法二： 用刻度尺作一条线段等于已知线段 例如： 可以先量出线段 a 的长度， 再画一条等于这个长度的线段 2 4. .基本性基本性质：质：两点的所有连线中，线段最短简记为：两点之间，线段最短 如图 6 所示
4、，在 A，B 两点所连的线中，线段 AB 的长度是最短的 要点诠释：要点诠释： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短 （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 （3）线段的比较： 度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短 叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端 点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短 5. .线段的中点：线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如图 7 所示，点 C 是线段 AB 的中点，则 1 2 ACCBAB，或 AB2AC2BC 要点诠释：要点诠释：
5、若点 C 是线段 AB 的中点，则点 C 一定在线段 AB 上 要点三、要点三、射线射线 1. .概念：概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点 如图 8 所示，直线 l 上点 O 和它一旁的部分是一条射线，点 O 是端点 l 2. .特特征征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长 3. .表示方法：表示方法： （1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射 线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图 8 所示，可记为射线 OA （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 8 所示，射线 OA 可记为射线 l 要点诠释：要点诠释： (1)端点
6、相同，而延伸方向不同，表示不同的射线如图 9 中射线 OA，射线 OB 是不同的射线 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线如图 10 中射线 OA、射线 OB、射线 OC 都 表示同一条射线 要点四、要点四、直线、直线、射线射线、线段的区别与联系、线段的区别与联系 1. .直线、射线、线段之直线、射线、线段之间的联系间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系在直线上任取一点，则可将直线分成 两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线 图 6 图 7 图 8 图 9 图 10 3 （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将
7、线段向两方延伸就得到直线 2三者的区别如下表三者的区别如下表 要点诠释：要点诠释： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线” “射线” “线段”字样 【典型例题】【典型例题】 类型一、有关概念类型一、有关概念 1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段 【思路点拨】从图上看，A、D、F 分别是线段 CB、BC、BE 的延长线上的点，也就是说，A、D、F 三点 的位置并不是完全确定的此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了 【答案与解析】 解：直线有一条：直线 AD； 射线有六条：射线 BA、射线 BD、射线 CA、射线 CD、射线 BF、
8、射线 EF； 线段有三条：线段 BC、线段 BE、线段 CE 【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒然而，在叙述线段的延长线的时 候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不 再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点， 第二个字母表示射线方向上的任一点 举一反三：举一反三： 【高【高清课堂：直线、射线、线段清课堂：直线、射线、线段 397363397363 拓展拓展 4 4】 【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么? 画图说明
9、. 4 【答案】 解： 过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.） 两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1） ；要么没有公共点，如图（2） ；不能有两个公共点. 类型二、有关作图类型二、有关作图 2如图(1)所示，已知线段 a，b(ab)，画一条线段，使它等于 2a-2b 【答案与解析】 解：如图(2)所示： (1)作射线 AF； (2)在射线 AF 上顺次截取 ABBCa； (3)在线段 AC 上顺次截取 ADDEb，则线段 EC 就是所要求作的线段 【总结升华】用尺规作图时，要熟悉常用的画图语言，注意保留作图痕迹 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列说法正确的有 ( ) 射线与
10、其反向延长线成一条直线； 直线 a、b 相交于点 m； 两直线相交于两个交点； 直线 A 与直线 B 相交于点 M A3 个 B2 个 C1 个 D4 个 【答案】 C 【变式 2】下列说法中，正确的个数有( ) 已知线段 a，b 且 a-bc，则 c 的值不是正的就是负的； 已知平面内的任意三点 A，B，C 则 AB+BCAC； 延长 AB 到 C，使 BCAB，则 AC2AB； 直线上的顺次三点 D、E、F，则 DE+EFDF A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 类型三、个（条）数或长度的计算类型三、个（条）数或长度的计算 5 3. 根据题意，完成下列填空 如图所示， 1
11、l与 2 l是同一平面内的两条相交直线，它们有 1 个交点，如果在这个平面内，再画第 3 条 直线 3 l，那么这 3 条直线最多有_个交点；如果在这个平面内再画第 4 条直线 4 l，那么这 4 条直线 最多可有_个交点由此我们可以猜想：在同一平面内，6 条直线最多可有_个交点，n(n 为大于 1 的整数)条直线最多可有_个交点(用含有 n 的代数式表示) 【答案】3， 6， 15， (1) 2 n n . 【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好 3 条直线最多可有 2+13 个交点，再类推 4 条直线，5 条直线，6 条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论
12、【总结升华】n(n 为大于 1 的整数)条直线的交点最多可有： (1) 123 .(1) 2 n n n 个 举一反三：举一反三： 【变式 1】平面上有n个点，最多可以确定 条直线 【答案】 (1) 2 n n 【变式 2】一条直线有n个点，最多可以确定 条线段， 条射线 【答案】 (1) 2 n n ，2n 【高清课堂：直线、射线、线段【高清课堂：直线、射线、线段 3 39736397363 拓展拓展 1 1（4 4） 】 【变式 3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点? 【答案】0 个，1 个，2 个，或 3 个. 4. 已知线段 AB14cm，在直线 AB 上有一点 C，且 BC4cm
13、，M 是线段 AC 的中点，求线 段 AM 的长 【思路点拨】题目中只说明了 A、B、C 三点在同一直线上，无法判定点 C 在线段 AB 上，还是在线 段 AB 外(也就是在线段 AB 的延长线上)所以要分两种情况求线段 AM 的长 【答案与解析】 解：当点 C 在线段 AB 上时，如图所示 因为 M 是线段 AC 的中点， 所以 1 2 AMAC 又因为 ACAB-BC，AB14cm，BC4cm， 所以 1 () 2 AMABBC 1 (144)5(cm) 2 当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图所示 6 因为 M 是线段 AC 的中点， 所以 1 2 AMAC 又因为 ACAB+BC
14、，AB14cm，BC4cm， 所以 1 () 2 AMABBC9(cm) 所以线段 AM 的长为 5cm 或 9cm 【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当我们面 临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论 举一反三：举一反三： 【变式】 (武汉武昌区期末联考)如图所示，数轴上线段 AB2(单位长度)，CD4(单位长度)，点 A 在数轴上表示的数是-10，点 C 在数轴上表示的数是 16若线段 AB 以 6 个单位长度/秒的速度向右匀速运 动，同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动 (1)问运动多少秒时，BC8(单位长度) (2
15、)当运动到 BC8(单位长度)时，点 B 在数轴上表示的数是_ (3)P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上时，是否存在关系式3 BDAP PC 若存在，求线段 PD 的长；若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1) 点 B 在数轴上表示的数是-8，设运动 t 秒时，BC8（单位长度） ，则： 当点 B 在点 C 的左边时， 6t+8+2t24 t2(秒) 当点 B 在点 C 的右边时， 6t-8+2t24 t4(秒) 答：当 t 等于 2 秒或 4 秒时，BC8(单位长度) (2) 由（1）知：当 t2(秒)时，B 点坐标为：-8+6t=8+62=4（单位长度） 当 t4(
16、秒)时，B 点坐标为：-8+6t=8+64=16（单位长度） 所以答案为：4 或 16 (3) 存在，若存在，则有：BDAP+3PC，设运动时间为 t(秒)，则： 1当 t3 时，点 B 与点 C 重合，点 P 在线段 AB 上，OPC2 且 BDCD4， AP+3PCAB+2PC2+2PC 所以：2+2PC=4，解得：PC1 此时， PD5 2当 13 3 4 t 时，点 C 在点 A 与点 B 之间，OPC2 7 点 P 在线段 AC 上时 BDCD-BC4-BC AP+3PCAC+2PCAB-BC+2PC2-BC+2PC 由 4-BC=2-BC+2PC， 可得： PC1， 此时 PD5
17、点 P 在线段 BC 上时 BDCD-BC4-BC， AP+3PCAC+4PCAB-BC+4PC2-BC+4PC 由 4-BC=2-BC+4PC，可得： 1 2 PC ，此时 7 2 PD 3当 13 4 t 时，点 A 与在点 C 重合，0PC2 BDCD-AB2，AP+3PC4PC 由 24PC，可得： 1 2 PC ，此时 7 2 PD 4当13 7 42 t 时，0PC4 BDCDBC4BC，AP+3PCAB-BC+4PC2-BC+4PC 由 4BC=2-BC+4PC，可得： 1 2 PC ，此时 7 2 PD 综上可得：存在此关系式，且 PD 的长为 5 或 7 2 . 类型四、路程
18、最短问题类型四、路程最短问题 5. 如图所示，某公司员工分别住 A、B、C 三个住宅区，A 区有 30 人，B 区有 15 人，C 区有 10 人三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的 路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区? 【答案与解析】 解：所有员工步行到停靠点 A 区的路程之和为: 030+10015+(100+200)100+1500+30004500(m)； 所有员工步行到停靠点 B 区的路程之和为: 10030+015+200103000+0+20005000(m)； 所有员工步行到停靠点 C 区的路程之和为： (100+200)30+15200+1009000+3000+012000(m) 因为 4500500012000，所以所有员工步行到停靠点 A 区的路程之和最小，所以停靠点的位置应设 在 A. 【总结升华】本题是线段的概念在现实中的应用，根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的 路程和，选择最小的即可得解. 举一反三：举一反三： 【变式】如图，从 A 到 B 最短的路线是（ ） AA-G-E-B BA-C-E-B CA-D-G-E-B DA-F-E-B 【答案】D
